高等几何讲义(第2章).ppt

高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)SDACB(B/)A/C/D/第二章第二章 射影平面射影平面_1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面1.中心射影中心射影设 与 /是二相交平面，S 是不在 和/上的一定点，取作射影中心对上的任意点 A，作直线SA交/于 A/将点 A/称作点 A 在/上的中心射影中心射影，从中心 S 引出的直线 SA 称为投射线投射线高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)SM/1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面中心射影具有性质中心射影具有性质：1.将点变成点；2.将直线变成直线；3.保持点与直线的结合关系这是平行射影也具有的性质但中心射影不保持平行性，这与平行射影不同！(如图)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面另外，中心射影不是双射(如上图中的点 M；再如下图中，直线间的中心射影下，点 P 无对应点)分析分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线方法方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射新问题新问题：无穷远元素如何表示？SPMM/Q/P/Q高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面无穷远元素的坐标表示无穷远元素的坐标表示分析分析：平面仿射坐标系下，二直线 (1):A1x+B1y+C1=0，(2):A2x+B2y+C2=0，注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标C1C2B1B2B1B2A1A2A1A2C1C2B1B2A1A2，若相交，则交点坐标为：注意注意：此坐标与比值C1C2B1B2A1A2C1C2B1B2A1A2:是一一对应的高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面另外，注意到当一组直线平行于固定方向时，其中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必不同可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面2.点的齐次仿射坐标点的齐次仿射坐标定义定义 设=O;e1,e2 是平面仿射坐标系在之下，满足下述条件的有序实数组(x1,x2,x3)(0,0,0)称为平面上点的齐次仿射坐标点的齐次仿射坐标：1若 0，则(x1,x2,x3)与(x1,x2,x3)为同一点的齐次仿射坐标；2若 x3 0，则(x1,x2,x3)是(非齐次)仿射坐标为 x=x1/x3,y=x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标；3齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点无穷远点注意注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标与齐次仿射坐标之间互化的方法高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面引入了无穷远点的平面称为扩大扩大(仿射仿射)平面平面，引进了无穷远点的直线称为扩大直线扩大直线注意注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原来的作为点集的仿射平面或欧氏平面高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面3.直线的齐次仿射坐标方程直线的齐次仿射坐标方程仿射坐标系下，直线的方程为 Ax By C 0扩大直线的齐次仿射坐标方程为：Ax1 Bx2 Cx3 0(A、B、C不全为0)(1)无穷远直线无穷远直线：x3 0 (2)例例设 0 为非无穷远直线，0 为无穷远直线，则 0(,为参数)表示什么图形？答：答：为一束平行直线直线(1)上的无穷远点为(B,A,0)当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)；当不平行于 y 轴时，无穷远点可写为(1,A/B,0)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面因 k A/B 是直线(1)的方向数，故 方向数为 k 的直线上的无穷远点为(1,k,0)；方向数为 的直线上的无穷远点为(0,1,0)可见，方向数与无穷远点一一对应几个结论：几个结论：1.每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点；2.平行直线有同一无穷远点；3.不平行直线有不同无穷远点；4.两点确定唯一直线符号约定：符号约定：齐次坐标为(x1,x2,x3)的点记为 x；点x的任一组确定的齐次坐标记为(x)(x1,x2,x3)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面例例1 三点a、b、c共线 它们的齐次坐标满足a3 b3 c3a2 b2 c2a1 b1 c1=0证明证明：若有至少二点相同，则显然成立不同三点共线 存在直线 A1x1 A2x2 A3x3 0，使三点坐标均满足此方程，即关于 A1、A2、A3 的齐次线性方程组a1A1 a2A2 a3A3 0b1A1 b2A2 b3A3 0 有非零解 c1A1 c2A2 c3A3 0a3 b3 c3a2 b2 c2a1 b1 c1 0高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)注注：在代数观点下，可说 三点共线 此三点的坐标三数组线性相关例例2 求点 a(2,3,1)、b(1,4,0)确定的直线解解：设a、b确定的直线上的动点为 x(x1,x2,x3)，则有1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面故所求直线方程为：4x1 x2 5x3 0 x2 34x1 21 0，x210高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)1.1.扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面扩大仿射平面一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为x1x2x3a1a2a3 0b1b2b3或(x)(a)(b)，、R 且 2 2 0其参数方程为：x1 a1 b1x2 a2 b2，、R 且 2 2 0 x3 a3 b3高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面1.射影平面及其性质射影平面及其性质将无穷远元素与普通元素平等对待的扩大仿射平面称为射影平面射影平面射影平面上的点称为射影点射影点，简称点点，射影平面上的直线称为射影直线射影直线，简称直线直线对以下几者在几何和代数上的理解：1.非全零有序三数组(x1,x2,x3)；2.给定非全零有序三数组(x1,x2,x3)，作 集合(x1,x2,x3)|0；3.对二确定的非全零有序三数组(x)、(y)，作 集合(x)(y)|2 2 0高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面射影平面上直线的特殊性质：射影平面上直线的特殊性质：1.直线是“封闭”的；2.任二不同直线有且仅有一个交点 3.对射影平面的区域划分(如图)IIIab普通平面acb射影平面IIIIII射 影 平 面IIIIIIVI普 通 平 面IIIIII高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面2*.射影平面射影平面 P2 的定义及模型的定义及模型射影平面射影平面 P 2 的定义的定义射影平面 P2 是由点与直线两类元素组成的集合它与向量空间 V3 有下面的关系：1P2 的点一一对应于 V3 的一维子空间；2P2 的直线一一对应于 V3 的二维子空间；3在 P2 中，若点对应的一维子空间包含在直线对应的二维子空间中，则称点与直线结合点与直线结合在射影平面 P2 中，点用小写英文字母 a、b、x、y、表示；直线用小写希腊字母、表示高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面射影平面射影平面P 2的几何模型的几何模型扩大仿射平面模型扩大仿射平面模型若扩大仿射平面上点 x 齐次坐标为(x1,x2,x3)，则 1.点 x 对应于 V3 中非零向量(x1,x2,x3)生成的一维子空间；2.过点 a 和点 b 的直线 ab 对应于由非零向量(a)和(b)生成的二维子空间；3.点 c 与直线 ab 的结合对应于由(c)生成的一维子空间包含在由(a)和(b)生成的二维子空间高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)olmnab2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面丛模型丛模型 2.丛的平面对应于 V3 中的二维子空间丛是射影平面的一个模型：丛的直线 射影平面的点；丛的平面 射影平面的直线所谓丛丛，指三维欧氏空间中过原点 o 的全体直线和平面的集合，o 称为丛的中心丛的中心 1.丛的直线对应于 V3 中的一维子空间；高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面半球面模型半球面模型规定规定：对径点合为一点 1.点看作射影点；2.大圆及截口都看作射影直线以球心为中心，可建立半球面模型与扩大仿射平面模型的一一对应关系cc/oakbab高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面3.射影坐标与射影坐标变换射影坐标与射影坐标变换射影平面上，所有点、所有直线地位应平等，但无穷远直线仍有特殊性：其方程为 x3 0下面引入射影坐标为此进行下述分析：射影平面上的点 x，在代数上其坐标可分解为：(x1,x2,x3)x1(1,0,0)x2(0,1,0)x3(0,0,1),(2.1)其中，(1,0,0)、(0,1,0)分别是 x 轴、y 轴上的无穷远点 o(1)、o(2)在坐标，(0,0,1)是仿射坐标系的原点 o(3)的坐标 因 o(1)、o(2)、o(3)的齐次坐标也可写为：(1,0,0)、(0,2,0)、(0,0,3)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面结论结论：为得到齐次仿射坐标，须以每三点不共线的四点构成齐次仿射标架 o(1),o(2),o(3);e，其中，o(1)、o(2)是无穷远点，而点 e 的作用则在于由表达式：(e)(o(1)(o(2)(o(3)限制点o(1)、o(2)、o(3)的坐标选取任意性等价于要求(1,2,3)是点 e(1,1,1)的齐次仿射坐标故又可写成分解式：(x1,x2,x3)(x1/1)(1,0,0)(x2/2)(0,2,0)(x3/3)(0,0,3)，(2.2)代数形式上，(x1/1,x2/2,x3/3)与(x1,x2,x3)应表示同一点的坐标高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面为定义射影坐标，先证明下述引理引理引理 给定射影平面上每三点不共线的四点 a(i)(i 1,2,3)和 e，则在齐次仿射标架 下，对 e 的任意取定的坐标(e)，存在 a(i)的唯一一组坐标，使 (e)(a(1)(a(2)(a(3)证明证明：任取定三点a(i)的齐次仿射坐标(a(i)/因每三点不共线，故必有 (e)1(a(1)/2(a(2)/3(a(3)/，其中123 0 令(a(i)i(a(i)/，则存在性得证 设a(i)的另一组坐标(a(i)*也满足 (e)(a(1)*(a(2)*(a(3)*，高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面则有(a(1)*(a(2)*(a(3)*(a(1)(a(2)(a(3)又因(a(i)*i(a(i)，故 (1 1)(a(1)(2 1)(a(2)(3 1)(a(3)0现因(a(1)、(a(2)、(a(3)线性无关，故 1 2 3 1，故唯一性得证高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面射影坐标的定义射影坐标的定义：设o(1)、o(2)、o(3)和 e 是射影平面上取定的每三点不共线的四点，其取定的一组齐次仿射坐标依次为(o(1)*、(o(2)*、(o(3)*和(e)*，且满足 (e)*(o(1)*(o(2)*(o(3)*若任意点 x 的齐次仿射坐标(x)*关于(o(1)*,(o(2)*,(o(3)*的分解式为 (x)*x1(o(1)*x2(o(2)*x3(o(3)*，则称有序数组(x1,x2,x3)为点 x 关于射影坐标系射影坐标系(或射影标架射影标架)o(1),o(2),o(3);e 的射影坐标射影坐标 o(1)，o(2)，o(3)称为基本点基本点，e 称为单位点单位点 三角形 o(1)o(2)o(3)称为坐标三角坐标三角(点点)形形高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面1.射影标架中各点坐标(如图)；2.射影坐标是一种齐次坐标：(1)射影坐标是不全为零的有序三数组；(2)同一点的两组射影坐标成比例；e(1,1,1)o(1)(1,0,0)o(2)(0,1,0)o(3)(0,0,1)(3)成比例的有序三数组表示同一点高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)例例1 设在齐次仿射坐标系下，有点 o(1)(1,1,2)、o(2)(0,1,2)、o(3)(3,1,4)、e(1,0,2)和 x(1,1,0)求点 x 关于 o(1),o(2),o(3);e的射影坐标 解解：因 (1,0,2)(2)(1,1,2)(3)(0,1,2)(3,1,4)(2,2,4)(0,3,6)(3,1,4)，又 (1,1,0)2(2,2,4)2(0,3,6)(3,1,4)，故 x 关于 的坐标为(2,2,1)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)ee1e2o(1)o(2)o(3)O仿射坐标系与射影坐标系的关系：仿射坐标系与射影坐标系的关系：仿射坐标系是特殊的射影坐标系，当射影坐标三 点形的一边取成扩大仿射平面上的无穷远直线时，则射影坐标系就特殊化为仿射坐标系2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面下面讨论射影坐标系 o(1),o(2),o(3);e 到射影坐标系 /o/(1),o/(2),o/(3);e/的坐标变换式设点 x 关于二坐标系的坐标分别为(x)(x1,x2,x3)、(x)/(x1/,x2/,x3/)再设在下，(o/(i)(a1i,a2i,a3i)(i 1,2,3)，(e/)(a11 a12 a13,a21 a22 a23,a31 a32 a33)则 /的坐标变换式坐标变换式为：x1 a11x/1 a12x/2 a13x/3 x2 a21x/1 a22x/2 a23x/3，x3 a31x/1 a32x/2 a33x/3高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面证明证明：代数上，对 x 在 下坐标进行相应运算：其中，A (aij)为变换矩阵 x/1(o/(1)x/2(o/(2)x/3(o/(3)x/1a11(o(1)a21(o(2)a31(o(3)x/2a12(o(1)a22(o(2)a32(o(3)x/3a13(o(1)a23(o(2)a33(o(3)a11x/1 a12x/2 a13x/3(o(1)a21x/1 a22x/2 a23x/3(o(2)a31x/1 a32x/2 a33x/3(o(3)x1x2x3x/1x/2x/3其矩阵形式为：A，det A 0(2.3)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面(a11x/1a12x/2a13x/3,a21x/1a22x/2a23x/3,a31x/1a32x/2a33x/3)，即 x 在 下的一组坐标为：而(x1,x2,x3)也为 x 在下的一组坐标，故于是得定理定理1 射影坐标系 o(1),o(2),o(3);e 到射影坐标系/o/(1),o/(2),o/(3);e/的坐标变换是满秩线性变换(2.3)，且其变换矩阵A的第一、二、三列分别是/的第一、二、三个基点在 下满足关系(o/(1)(o/(2)(o/(3)(e/)的射影坐标 x1 a11x/1 a12x/2 a13x/3 x2 a21x/1 a22x/2 a23x/3 x3 a31x/1 a32x/2 a33x/3高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面例例2 设在射影坐标系 o(1),o(2),o(3);e 里，有点 o/(1)(1,2,4)，o/(2)(2,1,0)，o/(3)(3,0,1)，e/(9,5,5)求从 到/o/(1),o/(2),o/(3);e/的坐标变换式 解解：因 (9,5,5)2(1,2,4)(2,1,0)3(3,0,1)(2,4,8)(2,1,0)(9,0,3)，故所求坐标变换为：x1x2x3x/1x/2x/3 2 2 9 4 1 0 8 0 3 高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面4.直线与点列直线与点列 一维射影坐标一维射影坐标定理定理2 射影坐标系下，直线方程是三元齐一次方程；反之，三元齐一次方程的图形是直线 证明证明：齐次仿射坐标系*下，直线的齐次坐标方程为：A1x*1 A2x*2 A3x*3 0 (A12 A22 A32 0)(1)又齐次仿射坐标系*到射影坐标系 的坐标变换式为：x*1x*2x*3x1x2x3 b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33 高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)因(bij)为满秩矩阵而 A1、A2、A3不全为零，故 B1、B2、B3也不全为零，即直线在射影坐标系下的方程(2)为齐一次方程反之，对于 下的三元齐一次方程(2)，经坐标变换后，必可得*下的直线方程(1)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面代入(1)整理得：B1x1 B2x2 B3x3 0 (2)其中，(B1,B2,B3)(A1,A2,A3)b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33 高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面类似于齐次仿射坐标系下三点共线的条件，在射影坐标系下，点 x 与二不同点 a、b 共线 这也是直线 ab 的方程其参数方程为：(x)(a)(b)，,R且 2 2 0(2.4)x3 a3 b3x2 a2 b2x1 a1 b1 0高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面一条定直线上全体点的集合称为点列点列，此直线称为点列的底底点列与底相互确定称以 为底的点列为点列点列 式(2.4)也称为点列 的坐标式坐标式，定点 a、b 称为点列的基点基点(,)是齐次参数(2.4)可改写为：(x)(a)(b)，其中 /，且约定当 时表示点 b 为非齐次参数点列是一种一维基本形在点列 上任取三不同定点a、b、e，选定其二维射影坐标(a)、(b)、(e)，使(e)(a)(b)，则得点列 上的一个射影坐标系 a,b;e，称为一维一维射影坐标系射影坐标系a、b称为基点基点，e称为单位点单位点高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面任意点 x 的二维射影坐标(x)可分解为：(x)1(a)2(b)，(2.5)有序系数组(1,2)称为点 x 关于 a,b;e的齐齐次射影坐标次射影坐标 下，a(1,0)、b(0,1)、e(1,1)若将(2.5)改写为：(x)(a)(b)，(2.6)其中 1/2，且约定当 时表示点 a，则称 为此点列的点 x 在 a,b;e 下的非齐次射非齐次射影坐标影坐标 下，a、b、e的非齐次射影坐标依次为,0,1xbae高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面注意注意(2.4)和和(2.5)的区别的区别一维射影坐标与一维仿射坐标的联系：特别，若将 a,b;e的第一个基点 a 取成 上唯一的无穷远点，则一维射影坐标特殊化成一维仿射坐标此时，扩大直线上的唯一无穷远点 a 的齐次仿射坐标为(1,0)，非齐次仿射坐标为 5.Desargues定理定理平面内不共线三点及每两点连线构成的图形称为三点形三点形；平面内不共点三直线及每两线交点构成的图形称为三线形三线形 其中的点称为顶点顶点，直线称为边边高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面sabcpqra/b/c/直线 ab 与 cd 的交点记为(ab)(cd)定理定理3 若二三点形对应顶点连线共点，则其对应边交点共线证法一证法一：若二三点形有对应顶点(边)重合，或者对应顶点连线所共点正好是某顶点，则命题显然成立以下仅讨论一般情况各点如图建立射影坐标系 a,b,c;s，则 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，s(1,1,1)进而可设 (a/)(1,1,1)(1,0,0)(1,1,1)同理可设 (b/)(1,1,1)，(c/)(1,1,1)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)sabcpqra/b/c/2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面由以上点的坐标可求得相关直线的方程：b c：x1 0，b/c/：()x1 x2 x3 0，故 (p)(0,)同理，(q)(,0,)，(r)(,0)因 0 0 0 0，故 p、q、r三点共线高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面证法二证法二：任意选定 s 的射影坐标(s)，则可调整两个三点形各顶点坐标，使 (s)(a)(a/)(b)(b/)(c)(c/)，进行代数变形，得 (b)(c)(b/)(c/)(p)，(c)(a)(c/)(a/)(q)，(a)(b)(a/)(b/)(r)，故(p)(q)(r)0，所以，p、q、r 三点共线高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)zxybdcefa2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面Desargues定理的逆定理：定理定理4 若二三线形对应边交点共线，则其对应点连线共点此定理将在4看到其必然成立将Desargues定理及其逆定理中对应顶点连线交点称为此二三角形的透视中心透视中心，对应边交点所在直线称为此二三角形的透视轴透视轴，并说这两个三角形是透视的透视的例例3 已知三角形三高线 ad，be，cf，求证：(bc)(ef)，(ca)(fd)，(ab)(de)共线高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)证明证明：因三高线ad，be，cf 共点于o，故三点形 abc 与 def 的对应顶点连线共点于o 所以，它们的对应边交点(bc)(ef)，(ca)(fd)，(ab)(de)共线例例4 证明：任意四边形各对对边中点的连线及两对角线中点连线相交于一点2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面aa/bcb/c/ehgf证明证明：如图，因 a，b 是四边形邻边中点，故ab|hf同理a/b/|hf从而ab|a/b/即(ab)(a/b/)为无穷远点同理，(bc)(b/c/)为无穷远点，(ca)(c/a/)为无穷远点高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)所以，三点形 abc与三点形 a/b/c/对应边交点共线于无穷远直线因此，其对应顶点连线共点得证例例5 P44习题132.2.射影平面射影平面射影平面射影平面/xzax/a/poyy/q 证明：证明：设/o，任取定过 z 的直线分别交、/于 y、y/因三点形 axy 与三点形a/x/y/对应顶点连线共点，故其对应边交点o、p、q共线 即动点 p在直线oq上 反之，可证oq上任一点必在该轨迹上高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)例例6 二维射影几何可以用非齐次坐标研究吗？为什么？答：答：不能，因为射影平面是由仿射平面添加了无穷多个点（无穷远点）而得的，这些新点无非齐次坐标2.2.射影平面射影平面射影平面射影平面高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)abco/b/c/3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭1.扩大欧氏平面上的交比扩大欧氏平面上的交比距离是保距变换下的不变量；简单比是仿射变换的基本不变量中心射影会改变简单比对共线四点a、b、c、d，定义交比交比：ac bdbc ad(ab;cd)(abc)(abd)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)oabcda/b/c/d/h可以证明：交比在中心射影下不变交比在中心射影下不变(如图)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭证明证明：如图，在以 o 为中心的中心射影下，上的a、b、c、d 依次变为a/、b/、c/、d/以 h 记 o 到直线的距离，则 h ac 2oac的面积 oa oc sincoa，所以 ac oa oc sincoa/h同理 bc ob oc sincob/h，ad oa od sindoa/h，bd ob od sindob/h高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭 从而 (ab;cd)ac bd/bc ad sincoasindob/sindoasincob sinc/oa/sind/ob/sind/oa/sinc/ob/a/c/b/d/b/c/a/d/(a/b/;c/d/)为将交比推广到射影平面，注意到齐次仿射坐标与射影坐标在代数上的相似性，下面在齐次坐标下，对交比进行分析我们有高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭引理引理 若共线四点 a、b、c、d 的各自一组齐次仿射坐标满足：(c)*1(a)*2(b)*，(d)*1(a)*2(b)*，则 (ab;cd)21/12证明证明：设直角坐标系下，点 a(a1,a2)与点 b(b1,b2)所在直线上有另外二点 c(c1,c2)、d(d1,d2)，则存在实数、(0,1)，使c1 a1 (1)b1c2 a2 (1)b2d1 a1 (1)b1d2 a2 (1)b2，(1)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)不妨 a1 b1，则若任意选定四点的齐次坐标(a)*、(b)*、(c)*、(d)*，且设 (c)*1(a)*2(b)*，(d)*1(a)*2(b)*因存在非零实数 u、v，使 (a)*u(a1,a2,1)，(b)*v(b1,b2,1)，故3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭(1)(1)(2)(abc)(abd)(ab;cd)c1a1c1b1d1a1d1b1高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)(c)*(1ua1 2vb1,1ua2 2vb2,1u 2v)，(d)*(1ua1 2vb1,1ua2 2vb2,1u 2v)由(3.1)，c、d 的另一组齐次坐标为：(c)(a1 (1)b1,a2 (1)b2,1)，(d)(a1 (1)b1,a2 (1)b2,1)分别比较c、d的两组齐次坐标，得3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭故由(2)，得 (ab;cd)21/12 1u1u 2v，1u1u 2v高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭2.射影平面上交比的定义射影平面上交比的定义利用上面的引理，可将交比推广到射影平面上设 a、b、c、d 是射影平面上，一点列的四不同点，则有定义共线四点a、b、c、d的交比交比(ab;cd)为 (ab;cd)(2/1)/(2/1)21/12其中，a、b 称为基础点基础点，c、d 称为分点分点可以证明：交比与坐标系的选取及坐标三数组的交比与坐标系的选取及坐标三数组的选取无关选取无关因而是有意义的(c)1(a)2(b)(d)1(a)2(b)，(2.7)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭证明证明：若在射影标架 下，对共线四点有 (c)1(a)2(b)，(1)(d)1(a)2(b)(2)设射影标架*到射影标架 的坐标变换为：(x)*T A(x)T，det A 0，则在*下，则各点坐标为：(a)*T a A(a)T，(b)*T b A(b)T，(c)*T c A(c)T，(d)*T d A(d)T而由(1)、(2)，有 A(c)T 1 A(a)T 2 A(b)T，A(d)T 1 A(a)T 2 A(b)T故在射影标架*下，有高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)(c)*1(c/a)(a)*2(c/b)(b)*，(3)(d)*1(d/a)(a)*2(d/b)(b)*(4)将(3)、(4)与(1)、(2)比较可知，射影平面上，交比定义与坐标系以及同一坐标系下坐标的选取无关3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭定理定理1 射影平面上，由二维射影坐标给出的共线四不同点a、b、c、d的交比为其中 k l，并取1、2、3中适当适当二值(ab;cd)ak ckal clbk dkbl dlak dkal dlbk ckbl cl高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭证明证明：任意取定四点坐标，则可设 (c)1(a)2(b)，(d)1(a)2(b)考虑其第一式，即相容方程组：ci 1ai 2bi，(i 1,2,3)因 a、b为不同二点，(k,l 1,2,3且 k l)中必有非零者故行列式ak bkal bl不妨 0，则可解得a1 b1a2 b2高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭a1 b1a2 b2，c1 b1c2 b2 1 a1 b1a2 b2，a1 c1a2 c2 2 利用交比定义即得证故c1 b1c2 b2，a1 c1a2 c2 2 1同理d1 b1d2 b2，a1 d1a2 d2 2 1高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭例例1 已知四点 a(1,2,0)、b(3,1,1)、c(1,5,1)、d(7,7,3)，求交比(ab;cd)解法解法1：(定义法)因 (1,5,1)2(1,2,0)(3,1,1)，(7,7,3)2(1,2,0)3(3,1,1)，故(ab;cd)(1)(2)/(23)1/3 解法解法2：(定理法)取 k 1，l 2，则315113727171735211);(cdab高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭推论推论1 已知一点列不同四点的一维齐次射影坐标：p(i)(i,i)(i 1,2,3,4)，则证明证明：设此点列的基点a、b的二维射影坐标分别为(a)、(b)，则 (p(i)i(a)i(b)(ia1 ib1,ia2 ib2,ia3 ib3)，由定理 1 即得 ja1 jb1 ha1 hb1 ja2 jb2 ha2 hb2a1 b1a2 b2 j h j h又，(p(1)p(2);p(3)p(4)1 31 32 42 41 41 42 32 3高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭推论推论2 若共线四点 p(i)(i 1,2,3,4)的一维非齐次射影坐标为 p(i)(i)(i 1,2,3,4)，则例例2 已知一点列四点 a(3)、b()、c(1)、d(0)，求交比(ab;cd)解法解法1：四点齐次坐标分别为：a(3,1)、b(1,0)、c(1,1)、d(0,1)，故(ab;cd)3 11 11 00 13 01 11 10 143(p(1)p(2);p(3)p(4)(13)(24)(14)(23)解法解法2：(ab;cd)(3 1)(0)/(3 0)(1)4/3高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭对对 的处理的处理：将 看作无穷大量例例3 试证：在仿射平面上，共线四点 p(i)(i 1,2,3,4)的交比就是两个简单比之比，即(p(1)p(2);p(3)p(4)(p(1)p(2)p(3)/(p(1)p(2)p(4)证明证明：设p(i)的仿射坐标为(xi,yi)，则齐次坐标为(xi,yi,1)不妨四点所在直线不平行于y轴，则(p(1)p(2);p(3)p(4)x1 x3 1 1x2 x4 1 1 x1 x4 1 1 x2 x3 1 1(x1 x3)(x2 x4)/(x1 x4)(x2 x3)(p(1)p(2)p(3)/(p(1)p(2)p(4)特别地，在欧氏平面上，有 (p(1)p(2);p(3)p(4)p(1)p(3)p(2)p(4)/p(1)p(4)p(2)p(3)高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭3.交比与射影坐标的关系交比与射影坐标的关系定理定理2 若在一点列上建立了射影坐标系 =a,b;e，则其上任意点 x 在 下的非齐次坐标为 (ab;ex)证明证明：因 (e)(a)(b)，而 (x)1(a)2(b)，故 (ab;ex)1/2=高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)xeo(1)o(2)o(3)e(1)x(1)x(3)x(2)e(2)e(3)定理定理3 在射影坐标系 o(1),o(2),o(3);e下，点 x 的坐标(x1,x2,x3)与交比有以下关系：3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭(o(1)o(3);e(2)x(2)x1/x3；(o(2)o(3);e(1)x(1)x2/x3；(o(1)o(2);e(3)x(3)x1/x2证明证明：如图，可计算得x(2)(x1,0,x3)，e(2)(1,0,1)，故 (e(2)(o(1)(o(3)，(x(2)x1(o(1)x3(o(3)，所以，(o(1)o(3);e(2)x(2)x1/x3其余同理可证高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭4.交比的性质及分组交比的性质及分组对于共线四点1、2、3、4，可证明下述性质：性质性质1.(34;12)(12;34)；性质性质2.(21;43)(12;34)；性质性质3.(21;34)1/(12;34)(12;43)；性质性质4.(13;24)1 (12;34)证明证明：只证性质4，其余类似 因四点不同，可设 (3)(1)(2)，(4)(1)(2)，则 (2)(1)(3)，(4)()(1)(3)，故(13;24)()/()1/，而(12;34)/，所以性质 4 成立高高 等等 几几 何何(Higher Geometry)3.3.交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭交比与调和共轭其他性质：设1、2、3、4、5、6为六不同共线点，则有 1.(12;34)(12;45)(12;35)；2.(12;34)(12;56)(12;36)(12;54)共线四点1、2、3、4产生的24个交比可分为六组：1(12;34)(21;43)(34;12)(43;21)；2(12;43)(21;34)(43;