初三数学相似三角形典例和练习[含答案解析].pdf

WORD 完美格式 专业知识编辑整理 初三数学相似三角形初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1.理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。2.会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3.能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。WORD 完美格式 专业知识编辑整理 （二）重要知识点介绍：1.比例线段的有关概念：在比例式：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，使 AC2=ABBC，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2.比例性质：基本性质：abcdadbc 合比性质：abcdabbcdd 等比性质：abcdmnbdnacmbdnab()0 3.平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。WORD 完美格式 专业知识编辑整理 则，ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4.相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5.相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题典型例题】例 1.（1）在比例尺是 1：8000000 的中国行政区地图上，量得 A、B 两城市的距离是 7.5 厘米，那么 A、B 两城市的实际距离是_千米。（2）小芳的身高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是 18 米，则此建筑物的高是_米。解：解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（1）应填 600 （2）应填 14.4。例 2.如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式错误的是：_ AADABAEACBCECFEAFB.CDEBCADBDDEFABCFCB.WORD 完美格式 专业知识编辑整理 分析：分析：由，可知，、都正确。而不能得到，DEBCEFABABDDEBCADBD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线，中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比CDEBC例这一性质来写结论，即DEBCADABAEAC 例 3.如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC上一点，且APD=60，BPCDABC123，求的边长 解：解：ABC 是等边三角形 C=B=60 又PDC=1+APD=1+60 APB=1+C=1+60 PDC=APB PDCAPB PCABCDPB 设 PC=x，则 AB=BC=1+x WORD 完美格式 专业知识编辑整理 ，xxx12312 AB=1+x=3。ABC 的边长为 3。例 4.如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形，（1）求证：AEFCEA （2）求证：AFB+ACB=45 分析：分析：因为AEF、CEA 有公共角AEF 故要证明AEFCEA 只需证明两个三角形中，夹AEF、CEA 的两边对应成比例即可。证明：证明：（1）四边形 ABEG、GEFH、HFCD 是正方形 AB=BE=EF=FC=a，ABE=90 ，AEaECa22 ，AEEFaaECAEaa22222 AEEFECAE 又CEA=AEF CEAAEF WORD 完美格式 专业知识编辑整理 （2）AEFCEA AFE=EAC 四边形 ABEG 是正方形 ADBC，AG=GE，AGGE ACB=CAD，EAG=45 AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45 例 5.已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于点 O，EF 经过点 O 且和两底平行，交 AB 于 E，交 CD 于 F 求证：OE=OF 证明：证明：ADEFBC ，OEBCAEABOEADEBAB OEBCOEADAEABEBABABAB 1 111BCADOE 同理：111BCADOF OE=OF11OEOF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 论：ADEFBCADBCOE111 ADEFBCOEOFEF12 ADEFBCADBCOE1111122EFOF即112ADBCEF 这是梯形中的一个性质，由此可知，在这是梯形中的一个性质，由此可知，在 ADAD、BCBC、EFEF 中，中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例 6.已知：如图，ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于E，DFAC 于 F 求证：AEAFACAB 分析：分析：观察 AE、AF、AC、AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过，可得：，于是得到，同理ABDADEABADADAEADAEAB2可得到，故可得：，即ADAFACAEABAFACAEAFACAB2 证明：证明：在ABD 和ADE 中，ADB=AED=90 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 BAD=DAE ABDADE ABADADAE AD2=AEAB 同理：ACDADF 可得：AD2=AFAC AEAB=AFAC AEAFACAB 例 7.如图，D 为ABC 中 BC 边上的一点，CAD=B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC 的长。分析：分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解：解：在ADC 和BAC 中 CAD=B，C=C ADCBAC ADABDCACACBC 又AD=6，AD=8，BD=7 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 DCACACDC734 解得：DC=9即DCACACDC34734 例 8.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G，求证：AG2=AFFC 证明：证明：在矩形 ABCD 中，AD=BC，ADC=BCE=90 又E 是 CD 的中点，DE=CE RtADERtBCE AE=BE FGAB AEBEAGBF AG=BF 在 RtABC 中，BFAC 于 F RtBFCRtAFB AFBFFBFC BF2=AFFC AG2=AFFC WORD 完美格式 专业知识编辑整理 例 9.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHAB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。分析：分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：解：延长 BA、CD 交于点 P CHAB，CD 平分BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC ：SSPADPBC 19 SSPCHPBC12 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 ：四边形SSPADAHCD 27 四边形SAHCD 21 SPAD 6 SPBC 54 SSHBCPBC1227一、填空题 1.已知，则_abab2295ab：2.若三角形三边之比为 3：5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是_cm 3.如图，ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6，则 DE=_；ADE 与ABC 的面积之比为：_。4.已知线段 a=4cm，b=9cm，则线段 a、b 的比例中项 c为_cm。5.在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么 AE=_ 6.已知三个数 1，2，请你添上一个数，使它能构成3一个比例式，则这个数是_ WORD 完美格式 专业知识编辑整理 7.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，EFBC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则 EF=_ 8.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，BDCD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：_二、选择题 1.如果两个相似三角形对应边的比是 3：4，那么它们的对应高的比是_ A.9：16B.：2 C.3：4D.3：73 2.在比例尺为 1：m 的某市地图上，规划出长 a 厘米，宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是_米2 A.B.C.D.104mab1042mababm104abm2410 3.已知，如图，DEBC，EFAB，则下列结论：WORD 完美格式 专业知识编辑整理 AEECBEFCADBFABBC EFABDEBCCECFEABF 其中正确的比例式的个数是_ A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 4.如图，在ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一点，AD=12，在 AB 上取一点 E，使 A、D、E 三点为顶点组成的三角形与ABC 相似，则 AE 的长是_ A.16B.14C.16 或 14D.16 或 9 5.如图，在 RtABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，AEAD，交 CB 的延长线于点 E，则下列结论正确的是_ A.AEDACBB.AEBACD C.BAEACED.AECDAC WORD 完美格式 专业知识编辑整理 三、解答题：1.如图，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求 GF 的长。2.如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，且AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。3.如图，BE 为ABC 的外接圆 O 的直径，CD 为ABC的高，求证：ACBC=BECD 4.如图，RtABC 中，ACB=90，AD 平分CAB 交BC 于点 D，过点 C 作 CEAD 于 E，CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G，AEAD=16，AB，4 5 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 （1）求证：CE=EF （2）求 EG 的长 参考答案参考答案 一、填空题：1.19：132.243.3；1：4 4.65.12 6.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：等。2 222、7.14.48.16 6二、选择题：1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 三、解答题：1.解：解：ADEGBC 在ABC 中，有EGBCAEAB 在ABD 中，有EFADBEAB AE：AB=2：3 BE：AB=1：3 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 EGBCEFAD2313，BC=9，AD=6 EG=6，EF=2 GF=EGEF=4 2.解：解：过点 B 作 BECD 于点 E，CDB=60，CBD=75 DBE=30，CBE=CBDDBE=7530=45 CBE 是等腰直角三角形。AB=3AD，设 AD=k，则 AB=3k，BD=2k DE=k，BE3k BCk6 ，BDBCkk2623 BCABkk6323 BDBCBCAB ABCCBD 3.连结 EC，BCBC E=A 又BE 是O 的直径 BCE=90 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 又CDAB ADC=90 ADCECB ACEBCDBC 即 ACBC=BECD 4.（1）AD 平分CAB CAE=FAE 又AECF CEA=FEA=90 又AE=AE ACEAFE（ASA）CE=EF （2）ACB=90，CEAD，CAE=DAC CAEDAC ACADAEAC ACAEAD216 在 RtACB 中 BCABAC22224 51664()BC 8 又CE=EF，EGBC FG=GB EG 是FBC 的中位线 EGBC124