第8章--梁的弯曲变形1.ppt

第第8 8章章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形.在在在在平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的情情情情形形形形下下下下，梁梁梁梁的的的的轴轴轴轴线线线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成平平平平面面面面曲曲曲曲线线线线，梁梁梁梁的的的的横横横横截截截截面面面面变变变变形形形形后后后后依依依依然然然然保保保保持持持持平平平平面面面面。由由由由于于于于发发发发生生生生弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形，梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位置置置置发发发发生生生生改改改改变变变变，这这这这种种种种改变称为改变称为改变称为改变称为位移位移位移位移。位位位位移移移移是是是是各各各各部部部部分分分分变变变变形形形形累累累累加加加加的的的的结结结结果果果果。位位位位移移移移与与与与变变变变形形形形有有有有着着着着密密密密切切切切联联联联系系系系，但但但但又又又又有有有有严严严严格格格格区区区区别别别别。杆杆杆杆件件件件横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位移移移移不不不不仅仅仅仅与与与与变变变变形形形形有有有有关关关关，而而而而且且且且还还还还与与与与杆杆杆杆件件件件所所所所受受受受的的的的约约约约束束束束有关。有关。有关。有关。第8章 梁的弯曲变形.本本本本章章章章将将将将在在在在分分分分析析析析变变变变形形形形与与与与位位位位移移移移关关关关系系系系的的的的基基基基础础础础上上上上，建建建建立立立立确确确确定定定定梁梁梁梁位位位位移移移移的的的的小小小小挠挠挠挠度度度度微微微微分分分分方方方方程程程程及及及及其其其其积积积积分分分分的的的的概概概概念念念念，同同同同时时时时还还还还介介介介绍绍绍绍工工工工程程程程上上上上应应应应用用用用的的的的叠叠叠叠加加加加法法法法以以以以及及及及梁梁梁梁的的的的刚刚刚刚度度度度设设设设计准则。计准则。计准则。计准则。第8章 梁的弯曲变形.基本概念基本概念基本概念基本概念 工程中的叠加法工程中的叠加法工程中的叠加法工程中的叠加法 梁的刚度设计梁的刚度设计梁的刚度设计梁的刚度设计 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 第第8 8章章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 .基本概念基本概念 第第8章章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线 梁的挠度与转角梁的挠度与转角梁的挠度与转角梁的挠度与转角 梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 .梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线 基本概念基本概念 .梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线 基本概念基本概念 梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯矩矩矩矩作作作作用用用用下下下下发发发发生生生生弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形。如如如如果果果果在在在在弹弹弹弹性性性性范范范范围围围围内内内内加加加加载载载载，梁梁梁梁的的的的轴轴轴轴线线线线在在在在梁梁梁梁弯弯弯弯曲曲曲曲后后后后变变变变成成成成一一一一连连连连续续续续光光光光滑滑滑滑曲曲曲曲线线线线。这这这这一一一一连连连连续续续续光光光光滑滑滑滑曲曲曲曲线称为线称为线称为线称为弹性曲线弹性曲线弹性曲线弹性曲线，或，或，或，或挠度曲线挠度曲线挠度曲线挠度曲线。.梁的挠度与转角梁的挠度与转角 基本概念基本概念 .梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形后后后后，横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位置置置置将将将将发发发发生生生生改改改改变变变变，这这这这种种种种位位位位置的改变称为置的改变称为置的改变称为置的改变称为位移位移位移位移。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用w w表示；表示；表示；表示；变变变变形形形形后后后后的的的的横横横横截截截截面面面面相相相相对对对对于于于于变变变变形形形形前前前前位位位位置置置置绕绕绕绕中中中中性性性性轴轴轴轴转转转转过过过过的角度，称为转角用的角度，称为转角用的角度，称为转角用的角度，称为转角用 表示；表示；表示；表示；梁的挠度与转角梁的挠度与转角 基本概念.横横截截面面形形心心沿沿水水平平方方向向的的位位移移，称称为为轴轴轴轴向向向向位位位位移移移移或或水平位移水平位移水平位移水平位移，用，用u u表示。表示。在在在在小小小小变变变变形形形形情情情情形形形形下下下下，上上上上述述述述位位位位移移移移中中中中，水水水水平平平平位位位位移移移移u u u u与与与与挠度挠度挠度挠度w w w w相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。梁的挠度与转角梁的挠度与转角 基本概念.梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线 基本概念基本概念 根根根根据据据据上上上上一一一一章章章章所所所所得得得得到到到到的的的的结结结结果果果果，弹弹弹弹性性性性范范范范围围围围内内内内的的的的挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线在在在在一一一一点点点点的的的的曲曲曲曲率率率率与与与与这这这这一一一一点点点点处处处处横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩、弯弯弯弯曲曲曲曲刚刚刚刚度度度度之之之之间间间间存存存存在在在在下下下下列列列列关系：关系：关系：关系：.在在OxwOxw坐坐标标系系中中，挠挠度度与与转转角角存存在下列关系：在下列关系：梁的挠度与转角梁的挠度与转角 基本概念 在在小小变变形形条条件件下下，挠挠曲曲线线较较为为平平坦坦，即即 很很小小，因因而而上上式式中中tantan。于是有于是有w w w w（x x），称为挠度方程），称为挠度方程。.基本概念 梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关 .基本概念基本概念 梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关 三种承受弯曲的梁三种承受弯曲的梁 ABAB段段各各横横截截面面都都受受有有相相同的弯矩（同的弯矩（MMFaFa）作用。）作用。三三种种情情形形下下，ABAB段段梁梁的的曲曲率率（1 1）处处处处对对应应相相等等，因因而而挠挠度度曲曲线线具具有有相相同同的的形形状状。但但是是，在在三三种种情情形形下下，由由于于约约束束的的不不同同，梁梁的的位位移移则不完全相同。则不完全相同。对对于于没没有有约约束束的的梁梁，因因为为其其在在空空间间的的位位置置不不确确定定，故无从确定其位移。故无从确定其位移。.基本概念 梁的位移分析的工程意义.基本概念基本概念 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 位位移移分分析析中中所所涉涉及及的的梁梁的的变变形形和和位位移移，都都是是弹弹性性的的。工工程程设设计计中中，对对于于结结构构或或构构件件的的弹弹性性位位移移都都有有一一定定的的限限制制。弹弹性性位位移移过过大大，也也会会使使结结构构或或构构件件丧丧失失正正常常功功能能，即即发发生生刚度失效。刚度失效。机机械械传传动动机机构构中中的的齿齿轮轮轴轴，当当变变形形过过大大时时(图图中中虚虚线线所所示示)，两两齿齿轮轮的的啮啮合合处处将将产产生生较较大大的的挠挠度度和和转转角角，这这不不仅仅会会影影响响两两个个齿齿轮轮之之间间的的啮啮合合，以以致致不不能能正正常常工工作作；而而且且还还会会加加大大齿齿轮轮磨磨损损，同同时时将将在在转转动动的的过过程程中中产产生生很很大大的的噪噪声声；此此外外，当当轴轴的的变变形形很很大大使使轴轴在在支支承承处处也也将将产产生生较较大大的的转转角角，从从而而使使轴轴和和轴轴承承的的磨磨损损大大大大增增加加，降降低低轴轴和轴承的使用寿命。和轴承的使用寿命。.基本概念基本概念 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 工工工工程程程程设设设设计计计计中中中中还还还还有有有有另另另另外外外外一一一一类类类类问问问问题题题题，所所所所考考考考虑虑虑虑的的的的不不不不是是是是限限限限制制制制构构构构件件件件的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移，而而而而是是是是希希希希望望望望在在在在构构构构件件件件不不不不发发发发生生生生强强强强度度度度失失失失效效效效的的的的前前前前提提提提下下下下，尽尽尽尽量量量量产产产产生生生生较较较较大大大大的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移。例例例例如如如如，各各各各种种种种车车车车辆辆辆辆中中中中用用用用于于于于减减减减振振振振的的的的板板板板簧簧簧簧，都都都都是是是是采采采采用用用用厚厚厚厚度度度度不不不不大大大大的的的的板板板板条条条条叠叠叠叠合合合合而而而而成成成成，采采采采用用用用这这这这种种种种结结结结构构构构，板板板板簧簧簧簧既既既既可可可可以以以以承承承承受受受受很很很很大大大大的的的的力力力力而而而而不不不不发发发发生生生生破破破破坏坏坏坏，同同同同时时时时又又又又能能能能承承承承受受受受较较较较大大大大的的的的弹弹弹弹性性性性变变变变形形形形，吸吸吸吸收收收收车车车车辆辆辆辆受受受受到到到到振振振振动动动动和和和和冲冲冲冲击击击击时时时时产产产产生生生生的的的的动动动动能能能能，受受受受到到到到抗抗抗抗振振振振和和和和抗抗抗抗冲冲冲冲击击击击的的的的效效效效果。果。果。果。.小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 第8章 梁的弯曲变形.小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程 积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定 约束条件与连续条件约束条件与连续条件约束条件与连续条件约束条件与连续条件 小挠度微分方程及其积分.小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分.力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式高等数学中的曲率公式高等数学中的曲率公式高等数学中的曲率公式高等数学中的曲率公式 小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 .小挠度情形下小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与号与号与号与w w坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。111 小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 .小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 .小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 采用向下的采用向下的采用向下的采用向下的w w坐标系，有坐标系，有坐标系，有坐标系，有 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程MM(x x)，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对x x作不定积分作不定积分作不定积分作不定积分,得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：度方程与转角方程：度方程与转角方程：度方程与转角方程：其中其中其中其中C C、D D为积分常数。为积分常数。为积分常数。为积分常数。.积分常数的确定积分常数的确定 约束条件与连续条件约束条件与连续条件 小挠度微分方程及其积分.积积积积分分分分法法法法中中中中常常常常数数数数由由由由梁梁梁梁的的的的约约约约束束束束条条条条件件件件与与与与连连连连续续续续条条条条件件件件确确确确定定定定。约约约约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：束条件是指约束对于挠度和转角的限制：束条件是指约束对于挠度和转角的限制：束条件是指约束对于挠度和转角的限制：积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 在在在在固固固固定定定定铰铰铰铰支支支支座座座座和和和和辊辊辊辊轴轴轴轴支支支支座座座座处处处处，约约约约束束束束条条条条件件件件为为为为挠挠挠挠度度度度等等等等于零：于零：于零：于零：w w=0;=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w w1 1=w w2 2，1 1 1 12 2 2 2等等。等等。等等。等等。在在在在固固固固定定定定端端端端处处处处，约约约约束束束束条条条条件件件件为为为为挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角都都都都等等等等于于于于零零零零：w w=0=0，0 0。.例题例题8-18-1求：求：求：求：加力点加力点加力点加力点B B的挠度和支承的挠度和支承的挠度和支承的挠度和支承A A、C C处的转角。处的转角。处的转角。处的转角。已知：简支梁受力如图示。已知：简支梁受力如图示。已知：简支梁受力如图示。已知：简支梁受力如图示。F FP P、EIEI、l l均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 .解：解：解：解：1 1 确定梁的约束力确定梁的约束力确定梁的约束力确定梁的约束力 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题例题例题 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 因为因为因为因为B B处作用有集中力处作用有集中力处作用有集中力处作用有集中力F FP P，所以需要分为，所以需要分为，所以需要分为，所以需要分为ABAB和和和和BCBC两段两段两段两段建立弯矩方程。建立弯矩方程。建立弯矩方程。建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得梁在支承梁在支承梁在支承梁在支承A A、C C二处的约束力分别二处的约束力分别二处的约束力分别二处的约束力分别如图中所示。如图中所示。如图中所示。如图中所示。22 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程.ABAB段段段段 解：解：解：解：2 2 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程BCBC段段段段 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题例题例题 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 于是，于是，于是，于是，ABAB和和和和BCBC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为.解：解：3将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题 1 1 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 .解：解：解：解：3 3 将弯矩表达式代入小挠将弯矩表达式代入小挠将弯矩表达式代入小挠将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分度微分方程并分别积分度微分方程并分别积分度微分方程并分别积分 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题例题例题 1 1 1 1 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 积分后，得积分后，得积分后，得积分后，得 其中，其中，其中，其中，C C1 1、D D1 1、C C2 2、D D2 2为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和ABAB段与段与段与段与BCBC段梁交界处的连续条件确定确定。段梁交界处的连续条件确定确定。段梁交界处的连续条件确定确定。段梁交界处的连续条件确定确定。.解：解：解：解：4 4 利用约束条件和连续条利用约束条件和连续条利用约束条件和连续条利用约束条件和连续条件确定积分常数件确定积分常数件确定积分常数件确定积分常数 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题例题例题 1 1 1 1 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 在支座在支座在支座在支座A A、C C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x x0 0，w w1 10;0;x xl l，w w2 200因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以ABAB段与段与段与段与BCBC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等段梁交界处的挠度和转角必须分别相等段梁交界处的挠度和转角必须分别相等段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:x xl l/4/4，w w1 1w w2 2;x xl l/4/4，1 1 1 1=2 2.解：解：解：解：4 4 利用约束条件和连续条利用约束条件和连续条利用约束条件和连续条利用约束条件和连续条件确定积分常数件确定积分常数件确定积分常数件确定积分常数 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题例题例题 1 1 1 1 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 x x0 0，w w1 10;0;x xl l，w w2 200 x xl l/4/4，w w1 1w w2 2;x xl l/4/4，1 1 1 1=2 2D D1 1D D2 2=0=0.解：解：解：解：5 5 确定转角方程和挠度方确定转角方程和挠度方确定转角方程和挠度方确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角程以及指定横截面的挠度与转角程以及指定横截面的挠度与转角程以及指定横截面的挠度与转角 积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件积分常数的确定约束条件与连续条件-例题例题例题例题 1 1 1 1 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：得到梁的转角和挠度方程为：得到梁的转角和挠度方程为：得到梁的转角和挠度方程为：ABAB段段段段 BCBC段段段段 据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B B处的挠度和支承处处的挠度和支承处处的挠度和支承处处的挠度和支承处A A和和和和C C的转角分的转角分的转角分的转角分别为别为别为别为.确定约束力确定约束力,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结积分法小结 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程.积分法积分法叠加法叠加法第第8 8章章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 .若若若若材材材材料料料料的的的的应应应应力力力力一一一一应应应应变变变变关关关关系系系系满满满满足足足足胡胡胡胡克克克克定定定定律律律律，又又又又在在在在弹弹弹弹性性性性范范范范围围围围内内内内加加加加载载载载，则则则则位位位位移移移移与与与与力力力力之之之之间间间间均均均均存存存存在在在在线线线线性性性性关关关关系系系系。因因因因此此此此，不不不不同同同同的的的的力力力力在在在在同同同同一一一一处处处处引引引引起起起起的的的的同同同同一一一一种种种种位位位位移可以相互叠加。移可以相互叠加。移可以相互叠加。移可以相互叠加。工程中的叠加法工程中的叠加法 .在在在在很很很很多多多多的的的的工工工工程程程程计计计计算算算算手手手手册册册册中中中中，已已已已将将将将各各各各种种种种支支支支承承承承条条条条件件件件下下下下的的的的静静静静定定定定梁梁梁梁，在在在在各各各各种种种种典典典典型型型型载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用下下下下的的的的挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角表达式一一列出，简称为挠度表。表达式一一列出，简称为挠度表。表达式一一列出，简称为挠度表。表达式一一列出，简称为挠度表。基基基基于于于于杆杆杆杆件件件件变变变变形形形形后后后后其其其其轴轴轴轴线线线线为为为为一一一一光光光光滑滑滑滑连连连连续续续续曲曲曲曲线线线线和和和和位位位位移移移移是是是是杆杆杆杆件件件件变变变变形形形形累累累累加加加加的的的的结结结结果果果果这这这这两两两两个个个个重重重重要要要要概概概概念念念念，以以以以及及及及在在在在小小小小变变变变形形形形条条条条件件件件下下下下的的的的力力力力的的的的独独独独立立立立作作作作用用用用原原原原理理理理，采采采采用用用用-叠叠叠叠加加加加法法法法-由由由由现现现现有有有有的的的的挠挠挠挠度度度度表表表表可可可可以以以以得得得得到到到到在在在在很很很很多多多多复复复复杂杂杂杂情情情情形形形形下下下下梁梁梁梁的的的的位位位位移。移。移。移。工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于叠加法应用于 多个载荷作用的情形多个载荷作用的情形 工程中的叠加法.当当当当梁梁梁梁上上上上受受受受有有有有几几几几种种种种不不不不同同同同的的的的载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用时时时时，都都都都可可可可以以以以将将将将其其其其分分分分解解解解为为为为各各各各种种种种载载载载荷荷荷荷单单单单独独独独作作作作用用用用的的的的情情情情形形形形，由由由由挠挠挠挠度度度度表表表表查查查查得得得得这这这这些些些些情情情情形形形形下下下下的的的的挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角，再再再再将将将将所所所所得得得得结结结结果果果果叠叠叠叠加加加加后后后后，便便便便得到几种载荷同时作用的结果。得到几种载荷同时作用的结果。得到几种载荷同时作用的结果。得到几种载荷同时作用的结果。叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 工程中的叠加法工程中的叠加法 .已知已知已知已知：简支梁受力简支梁受力简支梁受力简支梁受力如图示，如图示，如图示，如图示，q q、l l、EIEI均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。求求求求：C C截面的挠度截面的挠度截面的挠度截面的挠度w wC C；B B截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角 B B例题例题例题例题8-28-28-28-2 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 工程中的叠加法工程中的叠加法 .工程中的叠加法工程中的叠加法 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 解：解：解：解：1 1.将梁上的载荷变将梁上的载荷变将梁上的载荷变将梁上的载荷变为为为为3 3种简单的情形。种简单的情形。种简单的情形。种简单的情形。.叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 2 2.由挠度表查得由挠度表查得3 3种情形下种情形下C C截截面的挠度面的挠度；B B截面的转角截面的转角。工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 3.3.应用叠加法，将简单载荷作用应用叠加法，将简单载荷作用应用叠加法，将简单载荷作用应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加时的结果分别叠加时的结果分别叠加时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，分将上述结果按代数值相加，分将上述结果按代数值相加，分将上述结果按代数值相加，分别得到梁别得到梁别得到梁别得到梁C C截面的挠度和支座截面的挠度和支座截面的挠度和支座截面的挠度和支座B B处处处处的转角的转角的转角的转角:工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于叠加法应用于 间断性分布载荷作用的情形间断性分布载荷作用的情形 工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 对于间断性分布载荷作用的情形，对于间断性分布载荷作用的情形，对于间断性分布载荷作用的情形，对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力根据受力根据受力根据受力与约束等效的要求与约束等效的要求与约束等效的要求与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变，可以将间断性分布载荷，变，可以将间断性分布载荷，变，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。载荷，最后应用叠加法。载荷，最后应用叠加法。载荷，最后应用叠加法。工程中的叠加法工程中的叠加法 .已知已知已知已知：悬臂梁受力悬臂梁受力悬臂梁受力悬臂梁受力如图示，如图示，如图示，如图示，q q、l l、EIEI均均均均为已知。为已知。为已知。为已知。求求求求：C C截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和转角转角转角转角w wC C 和和和和 C C 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 例题例题例题例题8-8-8-8-3 3 工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 解：解：解：解：1 1.首先，将梁上的载荷首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形变成有表可查的情形 为利用挠度表中关于梁全为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，长承受均布载荷的计算结果，计算自由端计算自由端C C处的挠度和转角，处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效为了不改变原来载荷作用的效果，在果，在ABAB段还需再加上集度段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。相同、方向相反的均布载荷。工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 分别画出这两种情形下的挠分别画出这两种情形下的挠分别画出这两种情形下的挠分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度度曲线大致形状。于是，由挠度度曲线大致形状。于是，由挠度度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的表中关于承受均布载荷悬臂梁的表中关于承受均布载荷悬臂梁的表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由计算结果，上述两种情形下自由计算结果，上述两种情形下自由计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为端的挠度和转角分别为端的挠度和转角分别为端的挠度和转角分别为 2 2再将处理后的梁分解为简单再将处理后的梁分解为简单再将处理后的梁分解为简单再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。载荷引起挠度和转角。载荷引起挠度和转角。载荷引起挠度和转角。工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 两种情形下自由端的挠度和转两种情形下自由端的挠度和转角分别为角分别为 3 3再将处理后的梁分解为简单载再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。引起挠度和转角。工程中的叠加法工程中的叠加法 .叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题 4 4将简单载荷作用的结果叠加将简单载荷作用的结果叠加 工程中的叠加法工程中的叠加法 .梁的刚度设计梁的刚度设计 第第8 8章章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 刚度设计准则刚度设计准则刚度设计准则刚度设计准则 刚度设计举例刚度设计举例刚度设计举例刚度设计举例 提高刚度的途径举例提高刚度的途径举例提高刚度的途径举例提高刚度的途径举例 .刚度设计准则刚度设计准则 梁的刚度设计.对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。大会增加轴承的磨损等等。大会增加轴承的磨损等等。大会增加轴承的磨损等等。梁的刚度设计梁的刚度设计 .刚度设计准则刚度设计准则刚度设计准则刚度设计准则 梁的刚度设计梁的刚度设计梁的刚度设计梁的刚度设计 对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是刚度设计就是刚度设计就是刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角角角角(或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，限制在一定范围内，限制在一定范围内，限制在一定范围内，即满足弯曲即满足弯曲即满足弯曲即满足弯曲刚度设计准则刚度设计准则刚度设计准则刚度设计准则：上述二式中上述二式中上述二式中上述二式中 w w 和和和和 分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。.刚度设计举例刚度设计举例 梁的刚度设计梁的刚度设计 .梁和轴的刚度设计梁和轴的刚度设计 刚度设计示例刚度设计示例 已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为F FP P，F FP P20kN20kN，a almlm，l l2m2m，E E=206GPa=206GPa，其他尺寸如图所示。，其他尺寸如图所示。，其他尺寸如图所示。，其他尺寸如图所示。规定轴承规定轴承规定轴承规定轴承B B处的许用转角处的许用转角处的许用转角处的许用转角 =0.5=0.5。试求：根据刚度要求确定该轴的直径试求：根据刚度要求确定该轴的直径试求：根据刚度要求确定该轴的直径试求：根据刚度要求确定该轴的直径d d。B.梁和轴的刚度设计梁和轴的刚度设计 刚度设计示例刚度设计示例 解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承以保证轴承以保证轴承以保证轴承B B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。骤计算。骤计算。骤计算。1 1查表确定查表确定查表确定查表确定B B处的转角处的转角处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B处的转角为处的转角为处的转角为处的转角为 B.梁和轴的刚度设计梁和轴的刚度设计 刚度设计示例刚度设计示例 B2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，根据设计要求，根据设计要求，根据设计要求，其其中中，的的单单位位为为radrad（弧弧度度），而而 的的单单位位为为（）（度度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径 .提高刚度的途径举例提高刚度的途径举例 提高刚度的途径提高刚度的途径.提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（EI）有关。对于梁，其有关。对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方量级成比例。梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方量级成比例。因此减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩因此减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I外，外，主要是减小梁的长度主要是减小梁的长度l，当梁的长度无法减小时，则可增加中间当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的支座。例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支挠度，以提高加工精度，可在卡盘与