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八年级上册数学期末复习讲义
第十二章 平面直角坐标系
一、平面内点的坐标特征
1、 各象限内点P（a ，b）的坐标特征：
第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0
说明：一、三象限，横、纵坐标符号相同，即ab>0；二、四象限，横、纵坐标符号相反即ab<0。
2、 坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征：
x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0
（说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。）
3、 两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征：
一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b
二、对称点的坐标特征
点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）；
关于y轴的对称点是（－a ，b）；
关于原点的对称点是（－a ，－b）
三、点到坐标轴的距离
点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣
四、（1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴；
（2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。
五、点的平移坐标变化规律
坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x－a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。
（说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。简记为“右加左减，上加下减”）
六、在平面直角坐标系中求图形的面积
常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可。补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分。
【例1】在如图的直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为_______平方单位．
解析：△ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积。
3×4－=5．所以填5．
【点拨】1）“补”的思想；2）三角形的面积公式：“底乘高除以2”你还记得吗？
【例2】如图，在四边形ABCD中，A、B、C、D的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD的面积。
分析：四边形ABCD可以分成三角形ADC与三角形ABC。
解：三角形ADC的面积为=6，
三角形ABC的面积为=6，
所以四边形ABCD的面积为6+6=12．
【点拨】1）“割”的思想；2）三角形的底和高要一眼看出。
【例3】在直角坐标系中，已知点A（－5，0），点B（3，0），△ABC的面积为12，试确定点C的坐标特点．
解：设点C的纵坐标为b，则根据题意，
得×AB×│b│=12．
∵AB=3+5=8，
∴×8×│b│=12． ∴b=±3．
∴点C的纵坐标为3或－3，即点C在平行于x轴且到x轴的距离为3的直线上．
【点拨】1）数形结合是解答此类题的较好方法，最好画个图看看。
2）考虑要全面，不要漏掉纵坐标为－3的情况。
3）如果在该题加一个条件“点C在y轴上”，那么点C的坐标就是（0，3）或（0，－3）。

第十三章 一次函数
一、函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 ，y是x的函数。
思考：下面２个图形中，哪个图象是y关于x的函数

二、函数有几种表示方式？
（1）解析式法
（2）列表法
（3）图象法

三、确定函数自变量的取值范围
1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数；
2、自变量以分式形式出现，自变量的取值范围是使分母不为0的数；
3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方数≥0）的数；
4、 自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为0的数。
（说明：（1）当一个函数解析式含有几种代数式时，自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分；
（2） 当函数解析式表示具有实际意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式有意义外，还必须符合实际意义。）

四、一次函数
1、 一般形式：y=k x＋b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=k x（k≠0），此时y是x的正比例函数。

2、 一次函数的图像与性质
y=kx＋b (k≠0)
k>0
k<0

b>0

直线经过一、二、三象限

直线经过一、二、四象限

b=0

直线经过一、三象限及原点

直线经过二、四象限及原点

b<0

直线经过一、三、四象限

直线经过二、三、四象限
性质
（1） y随x的增大而增大（直线自左向右上升）
（2） 直线一定经过一、三象限
（1） y随的增大而减小（直线自左向右下降）
（2） 直线一定经过二、四象限

3、确定一次函数图像与坐标轴的交点
（1）与x轴交点：，求法：令y=0，得k x＋b=0，再解方程，求x；
（2）与y轴交点：（0，b），求法：令x=0，求y。

4、确定一次函数解析式———待定系数法
确定一次函数解析式，只需x和y的两对对应值即可求解。具体求法为：
y=k1 x
y=k2 x

y=k3 x

y=k4 x

k1>k2>k3> k4(按顺时针依次减小）
（1） 设函数关系式为：y=k x＋b；
（2）代入x和y的两对对应值，得关于k、b的方程组；
（3）解方程组，求出k和b。

5、 k和b的意义
（1）∣k∣决定直线的“平陡”。∣k∣越大，直线越陡（或越靠近y轴）；∣k∣越小，直线越平（或越远离y轴）；
（2）b表示在y轴上的截距。（截距有正负之分）
6、 由一次函数图像确定k、b的符号
（1） 直线上升，k>0；直线下降，k<0；
（2）直线与y轴正半轴相交，b>0；直线与y轴负半轴相交，b<0

7、两条直线的位置关系

8、 x=a和y=b的图象
x=a的图象是经过点（a，0）且垂直于x轴的一条直线；
y=b的图象是经过点（0 ，b）且垂直于y轴的一条直线。

9、由一次函数图像确定x和y的范围
（1）当x>a（或x<a）时，求y的范围。求法：直线x=a右侧（或左侧）图象所对应的y的取值范围。
（2）当y>b（或y<b）时，求x的范围。求法：直线y=b上方（或下方）图象所对应的x的取值范围。
（3）当a<x<b时，求y的范围。求法：直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围。
（4）当a<y<b时，求x的范围。求发：直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。

例如：如图

10、一次函数图象的平移
设m>0，n>0
（1）左右平移：直线y=k x＋b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k（x－m）＋b或y=k（x＋m）＋b。
（2）上下平移：直线y=k x＋b向上（或向下）平移n个单位后的解析式为y=k x＋b＋n或y=k x＋b－n
（说明：规律简记为“左加右减，上加下减”，左右对x而言，上下对y而言。）

11、 由图象确定两个一次函数函数值的大小

求一次函数表达式的常用方法
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最后得到一次函数的表达式。

　　一次函数部分是历届中考的重要部分，有些同学对这一部分有抵触心理，感觉很难学很害怕学，因此学习过后成绩也很不理想，其实只要牢记这些基础知识再加以灵活的运用，相信一次函数也就没那么可怕了！

第十四章 三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类： 2、按角分类：
不等边三角形 直角三角形
三角形 三角形 锐角三角形
等腰三角形（等边三角形是特例） 斜三角形
钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3、 三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高

（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题
假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。）

第十五章 全等三角形
一、性质：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2：全等三角形有哪些性质？
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

二、判定：
1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）
E
F
D
A
C
B
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC ≌△DEF

E
F
D
A
C
B
2、“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）
在△ABC和△DEF中
∵ ∠B=∠E
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF

3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
E
F
D
A
C
B
在△ABC和△DEF中
∵ ∠B=∠E
∠C=∠F
AB=DE
∴△ABC≌△DEF

4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）
E
F
D
A
C
B
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF
另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法。
A
B
C
D
E
F
“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∵ AB=DE

AC=DF
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF
三、方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：

找第三边
（1）：已知两边---- 找夹角
找是否有直角

找这边的另一个邻角(ASA)
已知一边和它的邻角—— 找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角 (AAS)
(2): 已知一边一角---
已知一边和它的对角—— 找一角(AAS)
已知角是直角，找一边(HL)
(3): 已知两角--- 找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)

要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）
2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）

如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。

四、学习全等三角形应注意以下几个问题：
1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”、“余角”等。
第十六章 轴对称图形与等腰三角形
一、轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。（说明：轴对称图形的对称轴可以是一条，可能是多条或无数条。）
2、 轴对称性质：
（1） 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。
（2） 如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、 线段的垂直平分线
1、定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
2、性质：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。
P
A
B
ｌｌ

∵ 直线l垂直平分AB，点P在l上

∴ PA=PB

A
B
P
3、 判定：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

∵ PA=PB

∴ 点P在AB的垂直平分线上

三、等腰三角形
1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等。简称“等边对等角”。

推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角等于60°。
（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。
（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。简称“等角对等边”。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、等边三角形
1、 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、 性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°。
3、 判定：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

五、角的平分线
1、性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。

2、判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

六、直角三角形
1、 定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。