回归课堂教学 落实核心素养——一道中考题的错解分析及教学思考.pdf

中学数学教学参考（中旬）-492023年第6 期中考频道回归课堂教学落实核心素养一一道中考题的错解分析及教学思考汪土根（浙江省常山县教师进修学校）王亚君（浙江省常山县城关中学）摘要：义务教育阶段核心素养“三会”的落实，要回归常态课教学中。以2 0 2 2 年衢州市中考压轴题为例，从学生解答错误中发现其数学学习过程中存在的问题，通过正解呈现突破学生的思维困惑，从而引导教师多元注重教材挖掘，寻找发展核心素养的切入点。关键词：中考题；错解分析；课堂教学；核心素养文章编号：10 0 2-2 17 1（2 0 2 3）6-0 0 49-0 32022年笔者参加衢州市中考数学阅卷工作，主要批阅第2 4题，从中发现考生多种精彩的解法，但大部分考生只做出其中的一小部分，总体得分率不高。通过评卷，笔者强烈感受到课堂教学不能满足于让学生掌握碎片化的知识，而是要渗透数学思想，引导他们在探究知识的过程中不断积累数学活动经验，落实核心素养。下面笔者就阅卷中学生的典型错误及正解呈现谈谈自己的体会和思考。1试题呈现如图1，在菱形ABCD中，AB=5，B D 为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，联结DE交BC于点F，B G 平分ZCBE交DE于点G。(1)求证：ZDBG=90。(2)若BD=6,DG=2GE。求菱形ABCD的面积；求tan/BDE的值。（3)若BE=AB，当ZDAB的大小发生变化时（0 ZD A B 18 0），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值。2典型错误及解法剖析第（1)问起点低，比较容易，学生基本可以顺利解答，此处不再赘述。下面重点分析第（2）问和第（3）问。第（2)问求菱形ABCD的面积，学生主要从三个方面进行思考：（1)菱形面积等于对角线乘积的一半；（2)菱形面积等于底乘以高；（3）通过等积变换求2.1第（2)问错解剖析错解1：如图2，联结AC，分别交BD,DE于点O,H。在菱形 ABCD 中,BO=DO,AO=CO,ACLBD。因为BD=6,所DCFGABE图1错解2：如图3，过点D作DMIAE,垂足为M。令AM=,则 BM=5一。在 RtA D M和RtD MB 中，由勾股定理得菱形的面积。DCFGABE图2以BO=3。在RtA O B 中,因为AB=5,所以AO=4,所以 AC=8,所以 S菱形ABCD=ACBD=8X6=48。剖析：此解法思路简捷，多数学生利用该方法解决问题。这源于平时的课堂教学中学生积累了这方1面的数学活动经验，但是由于记忆混淆，没有乘以2最终导致答案错误。因此，学生在平时的学习中要“知其然”，更要“知其所有然”，这样才能减少“会而不对”的失误。ACDO正解：S菱形ABCD=SACD+SACB2ACBO_AC（D O+B O)_ A C BD8X624。2222DCFG五AMBE图352-=62（5-),解得=1.4。所以DM=VAD*-AM=V52-1.4=V23.04，所以S菱形ABCDAB.DM=5V23.04。析：此解法基于底乘以高求菱形面积，所以作高线是常规思路，用“双勾股”来解决问题，较多学生小子土只月们充足的时间动手计提升运算能力日常的课堂教学中，教师要给学生提供机会，给予他的学生能列出算式却解不出结果或者算错。因此，在能想到，但是用勾股定理求DM的长，运算能力较弱中考频道2023年第6 期50中学数学教学参考（中旬）正解：DM=VAD?-AM=V52-1.42=4.8,所以S菱形ABCD=ABDM=5X4.8=24。错解3：如图4,延长DC,BG交于点P。在菱形ABCD中,BC=CD=AB=5,CD/AB,所以ZEBP=ZP。因为BG平分ZCBE，所以EBP=/CBP,所以ZCBP=ZP,所以 CP=CB=CD，所以 DP=10。在RtD B P 中，由勾股定理得BP=8,所以S菱形ABCD=2SD CB=S D B P=6 X 8=48。析：此解法利用等积变换求面积，思维开阔，还需要进行等量代换，对学生综合素养要求较高，需要他们具有很强的应用意识。能想到此解法的学生数学活动经验非常丰富，但遗憾的是部分学生三角形面积公式记错导致最终错误。6X8正解：SS菱形ABCD=2SADCB=SD B P24。22.2第（2）问错解剖析及典型解法错解：如图5，分别过D，G 作AE的垂线，垂足分别为M,N,则GN/DM,所以GNE G NS E D M,所以DMEG。易得DMBSEDBGGN1B NG,所以 tan/BDEBDDM3剖析：由第（2)问的思路延伸出图5，显得较为自然。这种通过构造“K”字型相似解决问题的思路，学生较容易想到，但在转化对应边时出错。这种解法要求学生具有扎实的几何直观、运算能力等综合素养。正解：由第（2)问得BM=BA一AM=5一1.4=3.6,DM=4.8,所以GN=1.6。易得DMBSB NG,BGGN1.6-4所以tan/BDE:BDBM3.69此问求锐角三角函数值，初中阶段一般将此锐角转化为某个直角三角形的内角，用对应边的比来求值。以下是笔者阅卷中发现的优美解法。2.2.1利用现有含此锐角的直角三角形由（1)得RtD B G 为含ZBDE的现有直角三角形，求tanB D E 的值，就等于求它的对边比邻边的值。DC.PFB4E图4DCFGAMBNE图5思路4：如图6，过点E作EK/AC交DB的延长线于点BKK,则EK/AC/BG,所以BDEG,所以BK=OB=3,所以如图4，由第（2)问得BP=8，易得DGPSBGEG1BG.1E G B,所以所以,所以 BG=GPDG2BP38BG4。在RtD B G 中，所以tanBDE3BD9反思：在RtD B G 中，利用现有的条件直接求出BG的长，就能解决问题，此思路简洁明了。2.2.2构造含此锐角的直角三角形思路1:如图2，由（1)可知ZDBG=90，所以BG/AC,所以 DH=HG。因为 DG=2GE,所以 DH=HG=GE。由DC/AB易得CDHSA E H,所以CHDH118所以 CH=AC所以 OH=AHEH23384OH4OC-CH=4,tan/BDE33OD9思路2：如图2,设OH=a,则CH=4一a,AH=.解件一号。所以CH4一14十a,由此可得AH4+a2OH4tan/BDEOD9思路3：如图2，由（1)可知BG/AC,所以DOHOHDH1BGD B G,E B G S E A H,所以BGDG2AHEG1设 OH=a,则 BG=2a,AH=4a,所以 AO=EH24OH4AH-OH=3a=4,所以 a=所以tan/BDE3OD9反思：以上三种思路都是利用菱形的对角线互相垂直这一性质构造RtD O H，思路大同小异，但都要何古观麦美DCFGABEK图6A B O E B K,所以EK=AO=4,所以tan/BDE=EK4DK9反思：此思路是利用比值构造平行线得到“A”字型相似及“X”字型全等，方法灵活，计算量小，要求学生熟练掌握几何基本图形，考查几何直观素养。2.3第(3）问错解剖析错解1：如图7，当DAB=90时，过点G作GT工10BE，垂足为T。此时GT为定值,ET令BT=3中学数学教学参考（中旬）-512023年第6 期中考频道，由BG平分ZCBE,GT/BC易得GT=BT=,所以TE=5一。因为 GT/AD,所以E G T S E D A,所以GTADET5-5所以解得所以GT为定值AE5103510ET33剖析：学生用特殊值如90，6 0 等代入求解。从特殊情况人手思考问题可以快速获得答案，固然能为解题带来帮助，但是特殊不能代替一般，这里没有体现数学的严谨性。正解：如图8，过G作GT/AD交AE于点T，此时GT为定值。以下求解过程同上，此处从略。错解2:因为GT为定值，所以点G在以T为圆心、GT为半径的圆上运动。如图9，因为TB=TG,BG平分CBE，所以GT/BC。以下过程同上。或者如图10，因为BH为直径，所以BGH=EG-HE90,所以GH/DB,所以因为GT/AD,DEBEEGTETEHE5-GT所以所以所以DEAEAEBE105-2GT510解得GT,所以ET=5一GT533GBTEA9剖析：这里学生把结论当条件用导致错误。对于存在性问题，到底是“前推后”还是“后推前”，可能教师也很少去思考，“后推前”只考虑了必要性，没有考虑充分性，不够严密。不过初中阶段遇到的绝大多数存在性问题都是充分且必要的，从而使错误被掩盖。正解：如图11,过G作GHIBG交 BE 于 H,则 GH/DB。联结AC分别交DB,DE于O,K。由BE=AB可得EG=1510GK=DK,所以 EH=BE所以BH取3331510BH的中点T,联结GT,则GTBHET233DCFG五ABTE图7DCGABTE图：DGABTHE图10DCKGEABTH图11错解3：如图8，过G作GT/AD交AE于T，由BG平分ZCBE,GT/BC得GT=BT，但因不会求解，导致半途而废。当然绝大部分学生是空白的，有畏惧感，不知道该题已知什么，未知什么，感到无所适从。正解：如图11，此时GT为定值。理由如下：EGBE由(1)可知BG/AC,所以1,所以EG=GKABDKDOGK。同理=1,所以 DK=GK。因为GT/GKOBGTEGET1AD,所以EGTSE D A,所以ADEDAE35110所以GT此时ETAE3333反思：由第（2)问的条件发现BE=AB，逆向思考得DG=2GE，即不管DAB如何变化，G始终是DE的一个三等分点。由此联想到构造平行线得到“A”型相似，从而得到不变的GT。充分抓住变中的不变及题目前后的联系是解决问题的关键，需要学生具有较强的推理意识、几何直观等素养。3教学思考3.1注重教材，加强运算能力运算能力是数学核心素养的一个重要方面。在解题中，有思路但解不出的现象屡见不鲜，关键就是运算能力跟不上。本题第（2)问错解2 所暴露的问题就说明了这一点。因此，教师应重视教材资源的充分挖掘，加大力度正确引导，让学业评价与选拔考试无缝对接、有机融合，实现提质增效。3.2强调过程，发展数学思维课堂教学不仅要关注学生知识技能的掌握，更要关注他们的思维过程。有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，要让学生在发展数学思维的探究过程中，形成对数学知识的理解和有效的学习策略。从学生实际出发，创设合适的、真实的问题情境，引导他们学会多角度、多层次思考问题，通过一题多解、一题多变发展思维的深刻性、广阔性、严密性和灵活性。3.3善于反思，积累活动经验课堂教学要及时引导学生进行反思小结，提升他们思考问题的能力，根据问题解决的需要合理选择策略和方法。因此，课堂教学中教师应帮助学生有效总结经验，体悟基本数学思想和方法在解决问题中的意义，积累数学活动经验。