北师大版八年级数学上册第二章实数.doc

第二章：实数
本章的知识网络结构：

知识梳理
一．数的开方主要知识点：
【1】平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：
4. 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
5. 当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。
6. 当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1.
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，则x= 　 ；的平方根是
（4）当x 时，有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？

【算术平方根】：
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
例2.
（1）下列说法正确的是 （ ）
A．1的立方根是； B．；（C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3）的算术平方根是 。
（4）若有意义，则___________。
（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。
（6）已知：A=是的算术平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。
（7）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x － y的值.

【立方根】
（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.
（1）64的立方根是           
（2）若，则b等于（ ）
　A. 1000000　 B. 1000　 C. 10 　D. 10000
（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【无理数】
（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个
A 2 B 3 C 4 D 5
【实数】
（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例5.
（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。
（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
b
0
a

A、 B、 C、 D、
（3）比较大小(填“>”或“<”).
3 ， ， ， ，
（4）数 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
（5）将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若，且，则：= 。
（7）计算：

（8）已知：，
求代数式的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
①
②
③，……
（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。

课后练习
重点考查题型：
一、考查题型：
1． －1的相反数的倒数是　　　　　
2． 已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b）的相反数　　　　　
3． 数－3．14与－Л的大小关系是　　　　　
4． 和数轴上的点成一一对应关系的是　　　　　　
5． 和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是　　　　　　
6． 在实数中Л,－,0, ,－3．14, 无理数有（　　）
（A）1　个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个
7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（　　）
（A）非负数　　（B）非正数　　（C）负数　　（D）正数
8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（　　　）
（A）x＋3　　（B）－x－3　　（C）－x＋3　　（D）x－3
9．下列说法正确是（　　）
（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数
（B） 带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数
10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：
（1） c-b和d-a
（2） bc和ad
二、考点训练：
*1．判断题：
（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（　）
（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（　）
（3）两个无理数之和一定是无理数；（　）
（4）两个无理数之积不一定是无理数；（　）
（5）任何有理数都有倒数；（　）　　（6）最小的负数是－1；（　）
（7）a的相反数的绝对值是它本身；（　）
（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（　）
2．把下列各数分别填入相应的集合里
－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －,, (－)0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
无理数集合｛　　　　　 　　 　｝　　
负分数集合｛　　　　 　　　　｝
整数集合｛　　　 　　　 　　｝　
非负数集合｛ 　　　　　　　　 ｝
*3．已知1<x<2，则|x－3|+等于（　　　）
（A）－2x　（B）2　（C）2x　　（D）－2
4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？
－3, －1， 3， － 0．3， 3－1， 1 +， 3
互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数：
*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值　

6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，
求+4m-3cd= 。
*7．已知＝0，求ａ＋ｂ= 。
三、解题指导：　　　　　　　　　
1．下列语句正确的是（　　）
（A）无尽小数都是无理数　（B）无理数都是无尽小数
（C）带拫号的数都是无理数　（D）不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是（　　　）
（A）整数　 （B）有理数　 （C）无理数　　（D）实数
3．零是（　　　）
（A） 最小的有理数 （B）绝对值最小的实数　
（C）最小的自然数　 （D）最小的整数
4.如果a是实数，下列四种说法：
（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，
（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（　　）
（A）0　　（B）1　　（C）2　　　（D）3
*5．比较下列各组数的大小：
（1） 　　 (2) 　 (3)a<b<0时, 　
6．若a,b满足=0,则的值是
*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|
（1） 判定a+b,a+c,c-b的符号
（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为
9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。
10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？
11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？
12．把下列语句译成式子：
（1）a是负数　 　；（2）a、b两数异号 　　；
（3）a、b互为相反数　　　　；（4）a、b互为倒数　　　　；
(5)x与y的平方和是非负数　　　　　；
（6）c、d两数中至少有一个为零　　　 ；
（7）a、b两数均不为0　　　　　。
*13.数轴上作出表示，，－的点。
四．独立训练：
1．0的相反数是　　，3－л的相反数是　　， 的相反数是　　　；－л的绝对值是　　　，0　的绝对值是　　，－的倒数是　　　　　　
2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是　　　。
A表示的数是－，且AB＝，则点B表示的数是　　　　。
－,л,(1－)0,－,0．1313…, －3－1 ,1．101001000…
(两1之间依次多一个0),中无理数有　　 　，整数有　 　　，负数有　 　　。
4. 若a的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝，则a=
5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是
6．实数可分为（　　　）
（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数
*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于（　　　）
　　（A）1　　 （B）－1　　 （C） （D）
8．当a为实数时，=－a在数轴上对应的点在（　　　）
(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧
*9．代数式＋＋的所有可能的值有（　　　）
（A）2个　　　（B）3个　　　（C）4个　　（D）无数个
10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图
（1）比较a－b与a+b的大小　　　　　　　
（2）化简|b－a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜
试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，
且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。
＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：－