二次函数与几何综合典题(含答案详解).pdf

二次函数与几何综合典题题二次函数与几何综合典题题例 1已知抛物线的顶点坐标为（3，-2），且与轴两交点间的距)0(2acbxaxyx离为 4，求其解析式。例 2.已知二次函数的图像与轴交于不同的两点 A、B，点 A 在)0(2acbxaxyx点 B 的左边，与轴交于点 C，若AOC 与BOC 的面积之和为 6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析式。例 3.已知二次函数的图像过点 E（2，3），对称轴为1，它的)0(2acbxaxyx图像与轴交于两点 A。x10,)0(),0,(22212121 xxxxxBx且（1）求二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点 P，使POA 的面积等于EOB 的面积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。例 4.如图，抛物线与轴、轴分别相交于 A（-1，0）、)0(2acbxaxyxyB（3，0）、C(0，3)三点，其顶点为 D。（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）求四边形 ABDC 的面积；（3）试判断BCD 与COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。例 5：如图，已知抛物线的图像与 X 轴交于 A、C 两点。4:21 xyl（1）若抛物线与关于轴对称，求的解析式；2l1lx2l（2）若点 B 是抛物线上一动点（B 不与 A,C 重合），以 AC 为对角线，A，B，C 三点为1l顶点的平行四边形的第四个顶点记为 D，求证：点 D 在上；2l（3）探索：当点 B 分别位于在轴上、下两部分的图像上时，平行四边形 ABCD 的面1lx积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。例 6.如图，已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线mn0562 xxmn的图像经过点 A（，0）、B（0，）。cbxxy2mn（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D。试求出点 C、D 的坐x标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上一点，过点 P 作 PH轴，与抛物线交于 H 点，若直线 BC 把xPCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点坐标。答案：答案：1根据题意得：，32ab2442aba。联立以上三式得：，44)(4)(22122121acabxxxxxx21a3b。抛物线解析式为：。25c253212xxy另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为：，又与 x 轴两交点间的距离为 4，3x两交点坐标分别为（1,0）、（5,0）。设表达式为，代入顶点坐标得：)5)(1(xxay，解得：，。)53)(13(2a21a253212xxy2.顶点坐标（2，-a）代入顶点坐标公式得：，（太好了，一箭三)3)(1()34(34)2(222xxaxxaaaxaxaxay雕！），点 A、点 B 的坐标分别为：（1,0）、（3,0），AB=2.ac3，62333aa1a这个二次函数的解析式为。343422xxyxxy或3（1）由题意知：，cba24312ab又。102)(2)(2212212221acabxxxxxx联立式可得：，解析式为：3,2,1cba322xxy（2）存在这样的点 P。由（1）可知，4)1()1)(3(3222xxxxxy点 A 的坐标为（），点 B 的坐标为（3，0），顶点坐标（1，4）。0,1设点 P 的坐标为（t，），则POA 的高为，底边 OA=1。322tt322ttEOB 的底边为 3，高为 3，EOB 的面积=。293321令，29321212tt，94，=，解得：。9322tt322tt9131131或t点 P 的坐标为（，）或（，）.131913194（1）设抛物线的解析式为，代入点 C 的坐标（0，3）得：)1)(3(xxay，解得：。解析式为。)10)(30(3 a1a32)1)(3(2xxxxy（2）由（1）可知，点 D 的坐标为（1,4）.4)1(3222xxxy作 DEAB，垂足为 E，则点 E 的坐标为（1,0）。四边形 ABDC 的面积=。9422124313121）（梯形BDEOCDEAOCSSS（3）BCD 与COA 相似。理由如下：由 A、B、C、D 四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA=；10312BC=，CD=，23332222OBOC21)34(22BD=。，BCDCOA。524)13(222OACDCOBCCABD5（1）与关于 x 轴对称，。2l1l4)4(22xxy（2）设点 B 的坐标为（），四边形 ABCD 为平行四边形，点 A、C 关于4,2mm原点 O 对称，点 B 和点 D 关于原点 O 对称，点 D 的坐标为（）。代4,2mm入的表达式可知左边等于右边，点 D 在上。2l2l（3）点 A、C 是抛物线与 x 轴的交点，点 A、C 的坐标分别为42 xy（）和（2,0），AC=4.平行四边形 ABCD 的面积=2ABC 的面积=0,2。1144212yy 当点 B 在 x 轴上方时，随的增大而增大，14ySABCD四边形ABCDS四边形1y此时既没有最大值也没有最小值；ABCDS四边形 当点 B 在 x 轴下方时，且，随的增大14ySABCD四边形041yABCDS四边形1y而减小，有最大值没有最小值。当取最小值时，有最大ABCDS四边形1y4ABCDS四边形值，最大值为 16；此时点 B、D 在轴上，ACBD，平行四边形 ABCD 是菱形。y 综上所述，当点 B 在 x 轴下方时，平行四边形 ABCD 有最大面积 16，此时的四边形为菱形。6（1）解方程得：，mn，0562 xx5,121xx，点 A、B 的坐标分别为（1，0），（0，5）。把 A、B5,1nm的坐标代入得：解这个方程组，得，cbxxy2501ccb5,4cb抛物线的解析式为。542xxy（2）由（1）知，点 D 的坐标为（），抛物9)2(5422xxxy92，线对称轴为直线，点 C 的坐标为（）。2x05，由点 B、C 的坐标可知直线 BC 的表达式为，过点 D 直线 DE，交直线 BC5 xy于点 E（如图 1），则点 E 的坐标为（），线段3,2DE=6，BCD 的面积=.155621)(21CBxxDE（3）如图 2，设点 P 的坐标为（t，0），则点 H 的坐标为（t，），若 HP 与直线 BC 交于点 F，点 F 的坐标542tt为（t，t+5）。若，则，3:2:PCFHCFSSPCHPCFSS53即，PHPCPFPC215321)54(5352ttt解得：；若，则，（舍去）5,3221tt2:3:PCFHCFSSPCHPCFSS52，解得：。)54(5252ttt（舍去）5,2321tt综上所述，若直线 BC 把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，则点 P 的坐标为（）或（）0,320,23