高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.pdf

1平面向量平面向量【基本概念与公式基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.1.向量向量：既有大小又有方向的量。记作：或。AB a2.2.向量的模向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。|AB|a3.3.单位向量单位向量：长度为 1 的向量。若是单位向量，则。e|1e 4.4.零向量零向量：长度为 0 的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】005.5.平行向量（共线向量）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.6.相等向量相等向量：长度和方向都相同的向量。7.7.相反向量相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA 8.8.三角形法则：三角形法则：；（指向被减数）ABBCAC ABBCCDDEAE ABACCB 9.9.平行四边形法则平行四边形法则：以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。,a b abab10.10.共线定理共线定理：。当时，同向；当时，反向。/abab0ab与0ab与11.11.基底基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.12.向量的模：向量的模：若，则，(,)ax y22|axy22|aa2|()abab13.13.数量积与夹角公式：数量积与夹角公式：；|cosa bab cos|a bab 14.14.平行与垂直：平行与垂直：；1221/ababx yx y121200aba bx xy y 题型题型 1.1.基本概念判断正误基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是。ABCD （5）若，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。ABCD 2（6）若与共线，与共线，则与共线。（7）若，则。abbcacmambab（8）若，则。（9）若与不共线，则与都不是零向量。manamnabab（10）若，则。（11）若，则。|a bab/ab|ababab题型题型 2.2.向量的加减运算向量的加减运算1.设表示“向东走 8km”,表示“向北走 6km”,则 。ab|ab2.化简 。()()ABMBBOBCOM 3.已知,则的最大值和最小值分别为 、。|5OA|3OB|AB 4.已知的和向量，且，则 ，。ACABAD 为与,ACa BDb AB AD 5.已知点 C 在线段 AB 上，且,则 ，。35ACAB AC BC AB BC 题型题型 3.3.向量的数乘运算向量的数乘运算1.计算：2(253)3(232)abcabc2.已知，则 。(1,4),(3,8)ab 132ab题型题型 4 4 根据图形由已知向量求未知向量根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示。ABCDBCAB AC ，AD2.在平行四边形中，已知，求。ABCD,ACa BDb ABAD 和题型题型 5.5.向量的坐标运算向量的坐标运算1.已知，则点的坐标是 。(4,5)AB (2,3)AB2.已知，则点的坐标是 。(3,5)PQ (3,7)PQ3.若物体受三个力,则合力的坐标为 。1(1,2)F 2(2,3)F 3(1,4)F 4.已知，求，。(3,4)a (5,2)b abab32ab35.已知,向量与相等，求的值。(1,2),(3,2)AB(2,32)axxyAB,x y6.已知，则 。(2,3)AB (,)BCm n(1,4)CD DA 7.已知是坐标原点，且，求的坐标。O(2,1),(4,8)AB30ABBC OC题型题型 6.6.判断两个向量能否作为一组基底判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12,e e A.B.C.D.1212eeee 和1221326eeee 和4122133eeee 和221eee 和2.已知，能与构成基底的是（）(3,4)a aA.B.C.D.3 4(,)5 54 3(,)5 534(,)554(1,)3 题型题型 7.7.结合三角函数求向量坐标结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，求的坐标。OA|2OA 150 xOAOA 2.已知是原点，点在第一象限，求的坐标。OA|4 3OA 60 xOAOA 题型题型 8.8.求数量积求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），|3,|4abab60a b()aab（3），（4）。1()2abb(2)(3)abab2.已知，求（1），（2），（3），(2,6),(8,10)ab|,|aba b(2)aab（4）。(2)(3)abab4题型题型 9.9.求向量的夹角求向量的夹角1.已知，求与的夹角。|8,|3ab12a bab2.已知，求与的夹角。(3,1),(2 3,2)ab ab3.已知，求。(1,0)A(0,1)B(2,5)CcosBAC题型题型 10.10.求向量的模求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。|3,|4abab60|ab|23|ab2.已知，求（1），（5），（6）。(2,6),(8,10)ab|,|ab|ab1|2ab3.已知，求。|1|2ab，|32|3ab|3|ab题型题型 11.11.求单位向量求单位向量 【与与平行的单位向量：平行的单位向量：】a|aea 1.与平行的单位向量是 2.与平行的单位向量是 (12,5)a 1(1,)2m 。题型题型 12.12.向量的平行与垂直向量的平行与垂直1.已知，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值(1,2)a(3,2)b kkab3abk时向量与平行？kab3ab52.已知是非零向量，且，求证：。aa ba c bc()abc题型题型 13.13.三点共线问题三点共线问题1.已知，求证：三点共线。(0,2)A(2,2)B(3,4)C,A B C2.设，求证：三点共线。2(5),28,3()2ABab BCab CDab ABD、3.已知，则一定共线的三点是 。2,56,72ABab BCab CDab 4.已知，若点在直线上，求的值。(1,3)A(8,1)B(21,2)CaaABa5.已知四个点的坐标，是否存在常数，使(0,0)O(3,4)A(1,2)B(1,1)Ct成立？OAtOBOC 题型题型 14.14.判断多边形的形状判断多边形的形状1.若，且,则四边形的形状是 。3ABe 5CDe|ADBC 2.已知，证明四边形是梯形。(1,0)A(4,3)B(2,4)C(0,2)DABCD63.已知，求证：是直角三角形。(2,1)A(6,3)B(0,5)CABC4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。(1,8),(4,1),(1,3)OAOBOC ABC题型题型 15.15.平面向量的综合应用平面向量的综合应用1.已知，当为何值时，向量与平行？(1,0)a(2,1)b kkab3ab2.已知，且，求的坐标。(3,5)a ab|2b b3.已知同向，则，求的坐标。ab与(1,2)b 10a b a4.已知，则 。(1,2)a(3,1)b(5,4)c c a b5.已知，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；(,3)am(2,1)b abm（2）若与的夹角为锐角，求的范围。abm6.已知，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹(6,2)a(3,)bm mabab角为锐角？7.已知梯形的顶点坐标分别为，且，ABCD(1,2)A(3,4)B(2,1)D/ABDC，求点的坐标。2ABCDC78.已知三个顶点的坐标分别为，ABC(3,4)A(0,0)B(,0)C c（1）若，求的值；（2）若，求的值。0AB AC c5c sin A