2017年高考全国卷I-数学试题及答案.pdf

1绝密绝密启用前启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000和n=n+1BA1 000和n=n+2CA1 000和n=n+1DA1 000和n=n+29已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C23D把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C210已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D1011设xyz为正数，且235xyz，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量a a，b b的夹角为60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2 b b|=.14设x，y满足约束条件21210 xyxyxy，则32zxy的最小值为.15已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。417（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 2，0.0080.0920.（12分）5已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12分）已知函数)f x（ae2x+(a2)exx.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23选修45：不等式选讲（10分）已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.62017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2B3B4C5D6C7B8D9D10A11D12A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1314-515162 32 33315cm三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）由题意可得21sin23sinABCaSbcAA，化简可得2223sinabcA，根据正弦定理化简可得：2222sin3sinsinCsinsinsinC3ABAB。（2）由2sinsinC123coscossinsinC coscos123coscos6BAABBBCABC，因此可得3BC，将之代入2sinsinC3B中可得：231sinsinsincossin0322CCCCC，化简可得3tan,366CCB，7利用正弦定理可得31sin3sin232abBA，同理可得3c，故而三角形的周长为32 3。18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明：/,ABCD CDPDABPD,又,ABPA PAPDP,PA、PD都在平面PAD内，故而可得ABPAD。又AB在平面PAB内，故而平面PAB平面PAD。（2）解：不妨设2PAPDABCDa，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：0,0,2,2,0,0,2,2,0,2,2,0PaAaBaaCaa，因此可得2,0,2,2,2,2,2,2,2PAaaPBaaaPCaaa ，假设平面PAB的法向量1,1nx y，平面PBC的法向量2,1nm n，故而可得11220122200nPAaxaxnPBaxayay ，即11,0,1n，同理可得2222200222202nPCamanamnPBamanan ，即220,12n。8因此法向量的夹角余弦值：1213cos,3322n n 。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为33。19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 2，0.0080.09解：（1）1611010.997410.95920.0408P XP X 由题意可得，X满足二项分布16,0.0016XB，因此可得16,0.0016160.00160.0256EX（2）由（1）可得10.04085%P X，属于小概率事件，1故而如果出现(3,3)的零件，需要进行检查。9由题意可得AAAAAA9.97,0.21239.334,310.606，2故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时：9.97 169.2210.0215x，15110.0915ixx。20.（12分）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，32）不可能同时在椭圆上，P3（1，32），P4（1，32）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32），代入椭圆方程可得：2131,124baa，故而可得椭圆的标准方程为：2214xy。（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A为：1ykx,P2B为：11yk x.联立22221418014ykxkxkxxy，假设11,A x y，22,B xy此时可得：2222228 114 1814,41 414 11 4 11kkkkABkkkk，10此时可求得直线的斜率为：222221212214 114414 118 18414 11ABkkkkyykkxxkkk，化简可得2112ABkk，此时满足12k 。当12k 时，AB两点重合，不合题意。1当12k 时，直线方程为：22221814414112kkyxkkk，2即2244112kkxyk ，当2x 时，1y ，因此直线恒过定点2,1。21.（12分）已知函数)f x（ae2x+(a2)exx.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.解：（1）对函数进行求导可得 222111xxxxfxaeaeaee。当0a 时，110 xxfxaee恒成立，故而函数恒递减1当0a 时，1110lnxxfxaeexa，故而可得函数在1,lna上单调递2减，在1ln,a上单调递增。（2）函数有两个零点，故而可得0a，此时函数有极小值11lnln1faaa，要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，故而可得1ln100aaa，令 1gln1aaa，对函数进行求导即可得到 21g0aaa，故而函数恒递增，又 g 10，1gln101aaaa，因此可得函数有两个零点的范围为0,1a。11（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.解：将曲线C 的参数方程化为直角方程为2219xy，直线化为直角方程为11144yxa （1）当1a 时，代入可得直线为1344yx，联立曲线方程可得：22134499yxxy，解得21252425xy 或30 xy，故而交点为21 24,25 25或3,0（2）点3cos,sin,xy到直线11144yxa 的距离为3cos4sin41717ad，即：3cos4sin417a，化简可得1743cos4sin174aa，根据辅助角公式可得135sin21aa，又55sin5，解得8a 或者16a。23选修45：不等式选讲（10分）已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.解：将函数 11g xxx化简可得 2121121xxg xxxx 12（1）当1a 时，作出函数图像可得 f xg x的范围在F和G点中间，联立224yxyxx 可得点171,1712G，因此可得解集为1711,2。（2）即 f xg x在1,1内恒成立，故而可得22422xaxxax恒成立，根据图像可得：函数yax必须在12,l l之间，故而可得11a。