圆锥曲线典型高考题总结.pdf

资源描述

1、1.（2010 辽宁）设椭圆：的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆C22221(0)xyabab相交于 A，B 两点，直线的倾斜角为 60o，Cl2AFFB （）求椭圆的离心率；C（）如果=，求椭圆的方程|AB154C【解析】设，由题意知0，0.1122(,),(,)A x yB xy1y2y（）直线的方程为，其中.l3()yxc22cab联立得22223(),1yxcxyab22224(3)2 330abyb cyb解得221222223(2)3(2),33b cab cayyabab因为，所以.2AFFB 122yy即 2222223(2)3(2)233b cab caabab得离心

2、率 23cea（）因为，所以.21113AByy22224 315343abab由得.所以，得 a=3，.23ca53ba51544a 5b 椭圆 C 的方程为22195xy2.（2013 安徽）如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，21,FFC22ax22by0ba是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，ACB2AFC=601FA2F（）求椭圆的离心率；C（）已知的面积为 40，求 a,b 的值ABF13【解析】（）1216022cF AFacea （）设；则2BFm12BFam 在中，12BFF22212122122cos120BFBFFFBFFF 2223(2)5ammaamma 面

3、积1AFBxyOAF1F2B211133sin60()40 3225210,5,5 3SF FABaaaacb 3.(2014 新课标 1)已知点，椭圆：的离心率为，A(0,2)E22221(0)xyabab32是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点FEAF2 33O（)求的方程；E（）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方AlE,P QOPQl程【解析】22 3(c,0)=3.3Fcc（I）设，由条件知，得 2223,=2,1.2cabaca又所以221.4xEy故的方程为（）1122:=2,(,),(,).lxl y kxP x yQ xy当轴时不合题意，故设22214x

4、ykxy将代入得22(14)16120.kxkx2221,22382 43=16(43)0,.441kkkkxk当即时，22212241431.41kkPQkxxk 从而22.1OPQdOPQk又点到直线的距离所以的面积2214 43=.241OPQkSd PQk224443,0,.44OPQtkttSttt设则474,20.2ttkt 因为当且仅当，即时等号成立，且满足OPQ所以，当的面积最大时，的方程为772222yxyx 或4.（2010 安徽文）椭圆 E 经过点 A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x轴上，离心率21e(1)求椭圆 E 的方程；(2)求F1AF2的角平分线

5、所在直线的方程.解：（1）设椭圆 E 的方程为由 e=，得22221xyab12=，b2=a2-c2=3c2.将 A（2,3）代入，有，解ca122222143xycc22131cc得：c=2,椭圆 E 的方程为2211612xy（）由()知 F1（-2,0），F2（2,0），所以直线 AF1的方程为 y=(X+2)，34即 3x-4y+6=0.直线 AF2的方程为 x=2.由椭圆 E 的图形知，F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.设 P（x，y）为F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有34625xyx 若 3x-4y+6=5x-10，得 x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍

6、去.于是 3x-4y+6=-5x+10，即 2x-y-1=0.所以F1AF2的角平分线所在直线的方程为 2x-y-1=0.5.(2015 浙江理)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称2212xy,A B12ymx（1）求实数的取值范围；m（2）求面积的最大值（为坐标原点）AOBO 解：（1）由题意知，可设直线的方程为.0m AB1yxbm 由消去，得.221,21xyyxbm y222112()102bxxbmm 因为直线与椭圆有两个不同的交点，1yxbm 2212xy所以。224220bm 将线段中点代入直线方程解得。AB2222(,)22mbm bMmm12ymx2222mbm 由得或。63

7、m 63m（2）令，则，且到直线166(,0)(0,)22tm 42223222|112ttABtt O的距离为。AB22121tdt设的面积为，所以，当且仅当AOB()S t221112()|2()22222S tABdt时，等号成立.212t 故面积的最大值为.AOB226.（2016 全国 1）设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴222150 xyx不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；EAEB（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M,N 两点，过 B

10、AF（）若，求椭圆的离心率23cos5AF BE【解析】：（）由得。11|3|,|4AFFBAB11|3,|1AFFB因为的周长为 16，所以由椭圆定义可得2ABF12416,|28aAFAFa故。21|2|835AFaAF（）设，则且，由椭圆定义可得1|FBk0k 1|3,|4AFkABk22|23,|2AFakBFak在中，由余弦定理可得2ABF22222222|2|cosABAFBFAFBFAF B即2226(4)(23)(2)(23)(2)5kakakakak化简可得，而，故()(3)0akak0ak3ak于是有，212|3|,|5AFkAFBFk因此，可得22222|BFAFAB12

11、AFAF故为等腰直角三角形从而，所以椭圆的离心率12AFF22ca22cea8.（2015 安徽）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐E222210 xyababOA标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线0a，B0 b，MAB2BMMA的斜率为OM510（）求的离心率；Ee（）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点C0b，NACNAB的纵坐标为，求的方程72E【解析】（1）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，M21(,)33ab510OMk5210ba进而得，故225,2ab cabb2 55cea（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐AB15xybbN标为，设

12、点关于直线的对称点的坐标为，则线段的51(,)22bbNABS17(,)2xNS中点的坐标为又点在直线上，且,从而T1517(,)4244xbbTAB1NSABkk 有，解得，所以，115174244157122552xbbbbbbx3b 3 5b 故椭圆的方程为E221459xy9.(2016 全国 3)已知抛物线 C：的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线分别交22yx12,l lC 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点.（I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（II）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.解：由题设.设

13、，则，且)0,21(Fbylayl:,:210ab.)2,21(),21(),21(),2(),0,2(22baRbQaPbbBaA记过两点的直线为，则的方程为.3 分BA,ll0)(2abybax（）由于在线段上，故.FAB01ab记的斜率为，的斜率为，则AR1kFQ2k.222111kbaabaababaabak所以.5 分FQAR（）设与轴的交点为，lx)0,(1xD则.2,2121211baSxabFDabSPQFABF由题设可得，所以（舍去），.221211baxab01x11x设满足条件的的中点为.AB),(yxE当与轴不垂直时，由可得.ABxDEABkk)1(12xxyba而

14、，所以.yba2)1(12xxy当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.ABxED12 xy10.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有13422yxmmxy 4不同的两点关于该直线对称。解：解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦),(111yxP),(222yxPmxy 4),(yxP的中点，则，21PP12432121 yx12432222 yx两式相减得，0)(4)(322212221yyxx即0)(4)(321212121yyyyxxxx，xxx221yyy221412121xxyy这就是弦中点轨迹方程。xy321PPP它与直线的交点必须在椭圆内mxy 4联立，得则

15、必须满足，mxyxy43mymx322433xy即，解得22433)3(mm1313213132m11.已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是AB222210 xyababxP的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.ABOABOP证明设且，1122,A x yB xy12xx则，（1），（2）2211221xyab2222221xyab得：，122222121222xxyyab，.2121221212bxxyyxxayy 2121221212ABbxxyykxxayy 又，（定值）.1212OPyykxx221ABOPbkka 22ABOPbkka 12.已知,椭圆 C 过点 A

16、（1,）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.（1）求椭圆 C 的方程；（2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）由 c=1,利用待定系数法设椭圆方程为,代入 A可得3(1,)2椭圆方程为；（2）直线 AE 方程为,代入消去得,设 E（,）,F（,）则由根与系数的关系得,直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代替 k,可得,故直线 EF 的斜率.试题解析：（1）由题意,c=1,可设椭圆方程为.因为 A 在椭圆上,所以,解得=3,=（舍去）.

17、所以椭圆方程为.y QPNMFOx13.（2007 年高考全国卷）如图 6，已知椭圆的左、右焦点分别为，12322yx21,FF过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边1FDB,2FCA,BDAC 形面积的最小值。解解由方程可知，则。设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴的夹角为。代入弦长公式得，。故四边形的面积为，。所以四边形面积的最小值为。14.(全国卷 II)、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上PQMN2212yx Fy的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面PF FQ MF FN0PF MF PMQN积的最小值和最大值解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦

18、，相交于焦点 F(0,1)，且PQMN，直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 K，又 PQ 过点F(0,1)，故 PQ 的方程为=+1ykx将此式代入椭圆方程得(2+)+21=02k2xkx设 P、Q 两点的坐标分别为(，)，(，)，则1x1y2x2y2212222222,22kkkkxxkk 从而222221212228(1)|()()(2)kPQxxyyk亦即222 2(1)|2kPQk(1)当0 时，MN 的斜率为，同上可推得k1k2212 2(1(1)|12()kMNk 故四边形面积22222222114(1)(1)4(2)1|122(2)(2)52kkkkS

19、PQ MNkkkk令=得u221kk4(2)12(1)5252uSuu=2u221kk当=1 时=2，S=且 S 是以为自变量的增函数ku169u1629S当=0 时，MN 为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2k2212综合知四边形 PMQN 的最大值为 2，最小值为。16915.（2013 全国 2）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M：=1(a b 0)的右焦点+的直线x+y=0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为.312（）求 M 的方程（）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 的面积

20、最大值.【解】（）设 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)=kAB=b2x 21+a2y 21=a2b2b2x 22+a2y 22=a2b2)y 1 y 2x 1 x 2b2(x 1+x 2)a2(y 1+y 2)b2x 0a2y 0OP 的斜率为 =2，直线x+y=0 的斜率为1 kAB=112x 0y 031=a2=2b2 2b2a2由题意知直线x+y=0 与x轴的交点 F(，0)是椭圆的右焦点，则才 c=333a2 b2=3 联立解得、解得 a2=6，b2=3所以 M 的方程为：+=1 （）联立方程组，解得 A(,)、B(0,)，求得|AB|=x+y 3=0+=1)4 333334 63依题意可设直线 CD 的方程为：y=x+mCD 与线段 AB 相交 m 5 333联立方程组消去x得：3x 2+4mx+2m2 6=0 (*)y=x+m+=1)设 C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，则|CD|2=2(x 3 x 4)2=2(x 3+x 4)2 4x 3x 4=(9 m2)169四边形 ACBD 的面积 S=|AB|CD|=128 699 m2当 n=0 时，S 最大，最大值为.8 63所以四边形 ACBD 的面积最大值为.8 63

展开阅读全文