九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题.pdf

九年级九年级三角函数三角函数知识点、例题、中考真题知识点、例题、中考真题1 1、勾勾股股定定理理：直直角角三三角角形形两两直直角角边边、的的平平方方和和等等于于斜斜边边 的的平平方方。abc222cba2 2、如如下下图图，在在R Rt tA AB BC C 中中，C C 为为直直角角，则则A A 的的锐锐角角三三角角函函数数为为(A A 可可换换成成B B)：定定 义义表达式表达式取值范围取值范围关关 系系正正弦弦斜边的对边AAsincaA sin 1sin0A(A(A 为锐角为锐角)余余弦弦斜边的邻边AAcoscbA cos 1cos0A(A(A 为锐角为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA正正切切的邻边的对边AtanAAbaA tan0tanA(A(A 为锐角为锐角)余余切切的对边的邻边AAAcotabA cot0cotA(A(A 为锐角为锐角)BAcottan BAtancot(倒数倒数)AAcot1tan1cottan AA 3 3、任任意意锐锐角角的的正正弦弦值值等等于于它它的的余余角角的的余余弦弦值值；任任意意锐锐角角的的余余弦弦值值等等于于它它的的余余角角的的正正弦弦值值。BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAA4 4、任任意意锐锐角角的的正正切切值值等等于于它它的的余余角角的的余余切切值值；任任意意锐锐角角的的余余切切值值等等于于它它的的余余角角的的正正切切值值。BAcottanBAtancot)90cot(tanAA)90tan(cotAA5 5、00、3030、4545、6060、9090特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值(重要重要)三角函数三角函数003030454560609090sin0 02122231 1cos1 12322210 0tan0 0331 13-cot-31 1330 0 6 6、正弦、余弦的增减性：、正弦、余弦的增减性：当当 009090时，时，sinsin随随的增大而增大，的增大而增大，coscos随随的增大而减小。的增大而减小。7 7、正切、余切的增减性：、正切、余切的增减性：当当 009090时，时，tantan随随的增大而增大，的增大而增大，cotcot随随的增大而减小。的增大而减小。A90B90得由BA对边邻边斜边ACBbac A90B90得由BA8 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。所有未知的边和角。依据：依据：边的关系：边的关系：；角的关系：角的关系：A+B=90A+B=90；边角关系：三角函数的定义。边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中注意：尽量避免使用中222cba间数据和除法间数据和除法)9 9、应用举例：、应用举例：(1)(1)仰角仰角：视线在水平线上方的角；：视线在水平线上方的角；俯角俯角：视线在水平线下方的角。：视线在水平线下方的角。仰 仰仰 仰 仰仰 仰 仰仰 仰仰 仰仰 仰 :ih lhl(2)(2)坡面的铅直高度坡面的铅直高度和水平宽度和水平宽度 的比叫做坡度的比叫做坡度(坡比坡比)。用字母。用字母 表示，即表示，即。坡度一般写成。坡度一般写成的形式，如的形式，如hlihil1:m等。等。1:5i 把坡面与水平面的夹角记作把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角叫做坡角)，那么，那么。tanhil1010、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3 3，OAOA、OBOB、OCOC、ODOD 的方向角分别是：的方向角分别是：4545、135135、225225。1111、指北或指南方向线与目标方向、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于线所成的小于 9090的水平角，叫做方向角。如图的水平角，叫做方向角。如图 4,OA4,OA、OBOB、OCOC、ODOD 的方向角分别的方向角分别是：北偏东是：北偏东 3030（东北方向）（东北方向），南偏东南偏东 4545（东南方向）（东南方向），南偏西南偏西 6060（西南方向）（西南方向），北偏西北偏西 6060（西北方向）（西北方向）。1212、解斜三角形所根据的定理(在ABC 中)正弦定理：=2R.(R 是ABC 外接圆半径).SinCcSinBbSinAa余弦定理：c2=a2+b22abCosC；b2=c2+a22ca CosB；a2=c2+b22cbCosA.互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180 A)=sinA，Cos(180 A)=cosA，tan(180 A)=cotA，cotA(180A)=tanA.SABCabsinC=bcsinA=casinB.212121 三角函数中考试题分类例题解说河北 王树梅锐角三角函数是初中数学的重要组成部分，也是中考热点内容之一，而锐角三角函数的概念及锐角三角函数值的求法又是这一章的基础，学好这部分知识对进一步学习锐角三角函数的应用有着至关重要的意义。2007 年中考这部分试题主要涉及以下几类。一、三角函数的定义一、三角函数的定义例 1：（滨州市）如图 1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，A关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）AA的值越大，梯子越陡B的值越大，梯子越陡sin Acos AC的值越小，梯子越陡D陡缓程度与的函数值无关tan AA 分析：由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选 A。例 2：（孝感市）在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=4，则 cosA=.分析：本题主要考查三角函数的概念。根据 AB=5，BC=4，可求得AC=3，所以 cosA=35点评：和三角函数定义有关的中考题，多以选择题或填空题的形式出现，解决问题的关键是正确理解三角函数的概念，找准对边、邻边和斜边。二、确定特殊角的三角函数值二、确定特殊角的三角函数值例 3：（南京市）如果是等腰直角三角形的一个锐角，则的atan值是（）122212分析：本题可根据特殊角的三角函数值直接求解。由是等腰直角三角形的一个锐角得=450，而 tan450=1，故aa选 C。三、利用特殊角的三角函数值计算三、利用特殊角的三角函数值计算例 4：（辽宁省十二市）计算：242(2cos45sin60)4 解：232 62(2)224原式662222点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。四、求线段的长度四、求线段的长度例 5：（云南省）已知：如图 3，在ABC 中，B=45，C=60，AB=6。求 BC 的长（结果保留根号）分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图 4，过点 A 作 ADBC 于点 D。在RtABD 中，B=45，则 AD=BD。不妨设 AD=x，又 AB=6，所以有 x 2 x 2=62，解得 x=，即 AD=BD=3。在 RtACD 中，由ACD=60得CAD=3 30而 tan30=，即，解得 CD=。因此CDAD3 2CDBC=BD+DC=+。3 6下面也是 2007 年关于锐角三角函数的中考题，请同学们自己完成。图 2ACB图 1图 3图 4ACBcba图 51、（江西省）如图 5，在中，分别是的对边，若，则RtABC90Cabc，ABC，2ba tan A 2、（大连市）在ABC 中，C90，AB10cm，sinA，则 BC 的长为_cm。543、（丽水市）如图 6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3 米，AC，则梯子的长度为 米。3cos4BACAB4、（天津市）的值等于（）45cos45sinA.B.C.D.1 2213 35、（连云港市）计算：02122sin456、（岳阳市）计算：|2-3|sin245 10)21()13(7、（眉山市）计算：sin450cos300tan600 22)3(8、（中山市）如图 7，RtABC 的斜边 AB5，cosA。53(1)用尺规作图作线段 AC 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)；(2)若直线 l 与 AB、AC 分别相交于 D、E 两点，求 DE 的长。答案：1、。2、8。3、4。4、A。5、2。6、。1212 7、-。8、2。12 中考真题选编要点一：锐角三角函数的基本概念要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题一、选择题1.（2009漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（）tanA B C D35433445【解析】选 C.tan43角的邻边角的对边2.（2008威海中考）在ABC 中，C90，tanA，则 sinB（）13A B C D 101023343 1010图 6ABC图 7ACB【解析】选 D.,设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得31tanABBCA,10)3(2222kkkBCACAB3 10sin10ACBAB3.（2009齐齐哈尔中考）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为32，2AC，则sin B的值是（）A23 B32 C34 D43【解析】选 A.连接 CD,由O的半径为32.得 AD=3.sin B=.32sinADACD4.（2009湖州中考）如图，在中，则下列结论正确的是（）RtABCACBRt1BC 2AB AB C D3sin2A 1tan2A 3cos2B tan3B【解析】选 D 在直角三角形 ABC 中，所以 AC；所以，1BC 2AB 31sin2A3cos2A；，；3tan3A 3sin2B1cos2Btan3B 5.（2008温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知，则的值是（）RtABCCDAB2CD 3AC sin BA B C D23323443【解析】选 C.由是斜边上的中线，得 AB=2CD=4.CDRtABCABsin B43ABAC6.（2007泰安中考）如图，在中，于，若，则的ABC90ACBCDABD2 3AC 3 2AB tanBCD值为（）ACBD（A）（B）（C）（D）2226333答案：B二、填空题二、填空题7.（2009梧州中考）在ABC 中，C90，BC6 cm，53sinA，则 AB 的长是 cm【解析】解得 AB=10cm,536sinABABBCA答案：108.（2009孝感中考）如图，角的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（3，4），则 sin 【解析】因为 P（3，4），所以 OP5，所以；4sin5答案：；459.（2009庆阳中考）如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm，DEAB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2【解析】解得 DE=6cm.cm2.5310sinDEADDEA10 660LINGSABDE答案：60三、解答题三、解答题10.(2009河北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CDAB，且 CD=24 m，OECD 于点 E已测得 sinDOE=1213AOBECD（1）求半径 OD；（2）根据需要，水面要以每小时 0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1）OECD 于点 E，CD=24（m），ED=12CD=12（m）在 RtDOE 中，sinDOE=EDOD=1213，OD=13（m）（2）OE=22ODED=2213125=（m）将水排干需：50.5=10（小时）11.（2009綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，垂足为，连接ABCDEBCAEBCDFAEFDE（1）求证：；ABEDFA（2）如果，求的值10ADAB，=6sinEDFDABCEF【解析】（1）在矩形中，ABCD 90BCADADBCB，DAFAEB DFAEAEBC，90AFDB=AEAD ABEDFA（2）由（1）知ABEDFA6ABDF在直角中，ADF22221068AFADDF2EFAEAFADAF在直角中，DFE2222622 10DEDFEF210sin102 10EFEDFDE12.（2008宁夏中考）如图，在ABC中，C=90，sinA=54，AB=15，求ABC的周长和 tanA的值【解析】在RtABC中,C=90,AB=15Asin=ABBC=54,12BC 912152222BCABAC周长为 36,BC124tanA.AC9313.（2008肇庆中考）在 RtABC 中，C=90，a=3，c=5，求 sinA 和 tanA 的值.【解析】在 Rt ABC 中，c=5，a=3 22acb2235 4 53sincaA 43tanbaA14.（2007芜湖中考）如图，在ABC 中，AD 是 BC 上的高，tancosBDAC(1)求证：AC=BD；(2)若，BC=12，求 AD 的长12sin13C【解析】(1)AD 是 BC 上的高，ADBCADB=90，ADC=90 在 RtABD 和 RtADC 中，=，=tan BADBDcosDACADAC又已知tancosBDAC=AC=BD ADBDADAC(2)在 RtADC 中，故可设 AD=12k，AC=13k12sin13C 22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值要点二、特殊角的三角函数值一、选择题一、选择题1.（2009钦州中考）sin30的值为（）A32B22C12D33答案：C2.（2009长春中考）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC，则点B的坐标为（）A(21)，B(12)，C(211)，D(121)，答案：C3.(2009定西中考)某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米答案：C4.（2008宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（）23)10sin(50607080答案：5.（2008毕节中考）A（cos60，tan30）关于原点对称的点 A1的坐标是（）A1323，B3323，C1323，D1322，答案：A6.（2007襄樊中考）计算：等于（）2cos 45tan60 cos30A（A）（B）（C）（D）1223答案：C二、填空题二、填空题7.（2009荆门中考）104cos30 sin60(2)(20092008)=_【解析】104cos30 sin60(2)(20092008)3314()122213()1232 答案：238.（2009百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部 B 与钢缆固定点 C 的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为 60，则这条钢缆在电线杆上的固定点 A 到地面的距离 AB 是 米（结果保留根号）答案：4 3 9.（2008江西中考）计算：（1）1sin60 cos302A 【解析】1sin60 cos302A.412143212323答案：1410.（2007济宁中考）计算的值是 。sin60tan45cos30答案：0三、解答题三、解答题11.（2009黄石中考）计算：31+(21)033tan30tan45【解析】31+(21)033tan30tan45111133012.（2009崇左中考）计算：0200912sin603tan30(1)3【解析】原式=33231 123 =013.（2008义乌中考）计算：33sin602cos458【解析】=2.5 33sin602cos4583232222要点三、解直角三角形在实际问题中的运用要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题一、选择题1.（2009白银中考）某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米【解析】选 C.梯子的长至少为（米）.33860sin402.（2009衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角 的正切值是（）A14 B4 C117 D417答案：A3.（2009益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（）A.cos5 B.cos5 C.sin5 D.sin5答案：B5 米AB4.（2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A5m B6m C7m D8m【解析】选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间的水平距离为 4m，相邻两树间的垂直距离为 h，则，则0.754hh3m，所以坡面距离为 5m；5.(2009潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得30BAD，在 C 点测得60BCD，又测得50AC 米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（）米A25 B25 3 C100 33 D2525 3【解析】选 B 过点 B 作 BEAD 于点 E，在直角三角形 BAE 中，0tan30,BEAE则在直角三角形 BCE 中，则。0,tan30BEAE 0tan60,BECE0tan60BECE 所以 AE-CE=AC=50,即解得 BE；0050,tan30tan60BEBE25 3二、填空题二、填空题6.（2009沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高 AB6m 的过街天桥，已知天桥的坡面 AC 与地面 BC 的夹角ACB 的正弦值为，则坡面 AC 的长度为 m35【解析】因为 sinACB=,所以 AC=10536ACACAB答案：10.7.（2009衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_.答案：1:28.（2009南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 _海里（结果保留根号）【解析】,402224045sin0APPCAC340334030tan0PCBC40340ACBCAB答案：40 3409(2009安徽中考)长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m【解析】当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为；04504sin452 2()m当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为，06004sin602 3()m所以梯子顶端升高了2(32);m答案：；2(32)10.(2008庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3 米，则梯子长 AB=AC3cos4BAC米.答案：411.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75，如果拖把的总长为 1.80m，则小明拓宽了行路通道_m（结果保留三个有效数字，参考数据：sin1526，cos150.97）答案：1.28三、解答题三、解答题12.（2009庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩 AB 可将其固定如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45，OAB=30，OA=60cm，求点 B 到 OA 边的距离（31.7，结果精确到整数）【解析】如图，过点 B 作 BCOA 于点 C AOB=45，CBO=45，BC=OC 设 BC=OC=x，OAB=30，AC=BCtan60=3x OC+CA=OA，x+3x=60，x=316022（cm）即点 B 到 OA 边的距离是 22 cm13.（2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪 AB 的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）【解析】在直角三角形MPA中，10AP=米30MP=10tan300 =105.773 米33因为1.5AB=米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米 答：路灯的高度为 7.27 米