混合超级半爱因斯坦流形.pdf

第 22 卷第 6 期南阳师范学院学报Vol.22 No.62023年11月Journal of Nanyang Normal UniversityNov.2023收稿日期:2023-08-23基金项目:河南省自然科学基金(222300420507);河南省教师教育课程改革研究重点项目(2021-JSJYZD-027);河南省高等学校重点科研项目(21A110018)作者简介:杨永举(1971),河南南阳人,副教授,主要从事分数阶微分方程方面的研究。混合超级半爱因斯坦流形杨永举1,张振宇2,王学强1(1.南阳师范学院 数学与统计学院,河南 南阳 473061;2.河南省社旗县饶良镇黄桥小学,河南 社旗 473300)摘要:探讨了在局部分数阶导数定义下的混合超级半爱因斯坦流形。得出若干结论:某类维数为 n(n3)的共形平坦混合超级半爱因斯坦分形流形可以局部等距浸入到分形空间 R(n+1)中;生成元为平行向量场的混合超级半爱因斯坦分形流形的若干定理;混合超级半爱因斯坦分形流形不存在恒为 0 的共形 killing 向量场,存在投影 killing 向量场的一个充分条件等。关键词:混合超级半爱因斯坦流形;共形平坦流形;局部共形凯莱流形;局部分数阶导数 中图分类号:O 174.56文献标志码:A文章编号:1671-6132(2023)06-0035-070引言Chaki 和 Ghosh 在文献1中引入了半爱因斯坦流形的概念:如果一个非平坦的 n 维黎曼流形的非恒为 0 的 Ricci 曲率 S(X,Y)满足:S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y),a,b(b0)为常数,A 为非零一阶微分形式,U 为对应 A 的单位向量场,即 g(X,U)=A(X),g(U,U)=1,则称此流形为半爱因斯坦流形。由于此类流形在物理学相关问题研究中有重要价值。随后此概念被不断地推广,如:M.C.Chaki 在文献2中引进通常半爱因斯坦流形,符号为 G(GE)n;A.Bhattacharya,M.Tarafdar and D.Debnath 在文献3中引进混合超级半爱因斯坦流形,符号为 MS(GE)n;M.C.Chaki 在文献4 中引进超级半爱因斯坦流形,符号为S(GE)n;A.A.Shaikh 在文献5中引进拟半爱因斯坦流形,符号为 P(GE)n。P.Debnath and A.Konar 在文献6中引进并探讨了混合超级半爱因斯坦流形,它的定义为:如果一个非平坦黎曼流形的非恒为 0 的Ricci 曲率 S(X,Y)满足下面式子:S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+cA(X)B(Y)+A(Y)B(X)+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),(1)其中 a,b,c,d,f 为全不为 0 的常数,A,B 为两个一阶微分形式,U,V 为分别对应于微分形式 A,B 的单位向量场,且满足g(X,U)=A(X),g(X,V)=B(X),g(U,V)=0,(2)标记此类流形为 MS(QE)n,称 U 为此流形的生成元,D(X,U)=0,traceD=0。(3)本文探讨了在局部分数阶导数定义下的混合超级半爱因斯坦流形,即混合超级半爱因斯坦分形流形,得出其在分形空间上的若干结论。1预备知识局部分数阶微积分是处理康托集中出现的各种不可微问题,局部分数阶微积分也是纯数学中的一个重要工具。在本节中,我们将介绍局部分数阶微积分的基本概念:连续性、导数和积分。依据有关参考文献,我们直接引入分形空间上的若干分形几何定义与定理。南阳师范学院学报第 22 卷定义 17-8在分形空间中,连续函数(t)在 t=t0处的 阶导数定义为Dt()(t0)=()(t0)=d(t)dtt=t0=limtt0(t)-(t0)(t-t0),(4)其中,(t)-(t0)(1+)(t)-(t0)。定义 27-8分形空间上连续函数(t)在区间c,d的 阶积分定义为cId()(t)=1(1+)dc(t)(dt)=1(1+)limt0j=N-1j=0(tj)(tj),(5)其中,tj=tj+1-tj,t=max t1,t2,tj和tj,tj+1,j=0,N-1,t0=c,tN=d,是区间c,d的分割。定义 3 8局部分数阶黎曼空间中,任意两点 yi=yi(e1,e2,e3,eN)和 yi+dyi 之间的局部分数阶度量由下式确定:(ds)2=grsderdes,grs=12(+1)dymderdymdes,r,s=1,2,3,N,(6)其中,grs是局部分形度量。定义 4若(M,J,g)为连通的复维数为 n(n2)的分形复流形,用 表示基本二形式,度量 g 定义为(X,Y)=g(X,JY),其中 X,Y 为向量场,复结构 J 决定 M 的定向。如果存在一个开覆盖 U,从而对于局部定义于 U的函数,g=e-gU为 Khler 度量,则称(M,J,g)为局部共形 Khler 流形;局部共形Khler 流形的等价定义为存在一个闭的一形式,使 d=,其中 =-J 为 M 上的 lee 形式,#称为lee 向量场。定义 59若黎曼流形的向量场 X 满足(LX)(Y,Z)=(Y)Z+(Z)Y,Y,Z,为某微分一形式,L为李导数算子,则称 X 为投影 killing 向量场。定义 69若黎曼流形的向量场 X 满足 LXg=2g,=-1n(divX),则称 X 为共形 killing 向量场。定理 110如果共形平坦的流形(Mn,g),n3 的(0,4)型黎曼张量场满足如下条件:R(X,Y,Z,W)=E(Ric(Y,W)Ric(X,Z)-Ric(X,W)Ric(Y,Z)+F(g(Y,Z)g(X,W)-g(X,Z)g(Y,W),则(Mn,g),n3 局部等距浸入到分形空间 R(n+1)中。注:其中 E(0),F 都为常数,流形(Mn,g),n3 的基本形式 I(X,Y)=g(I(X),Y)由式子 I(X,Y)=1(n-2)2(1+)1pRic(X,Y)-qg(X,Y)确定,p(0)和 q(0)由下面式子确定:1E=(n-2)(n-2)p2-pq,F=-pqn-2。2主要定理及结论2.1定义在分形空间上的平坦流形与混合超级半爱因斯坦分形流形引理 1定义于分形空间上的混合超级半爱因斯坦流形 MS(QE)n的数量曲率 r 满足 r=na+b+d2(+1)。证明:取 ei,i=1,2,n 为流形 MS(QE)n切空间上的标准正交基,令 X=Y=ei,根据 traceD=0,可知r=ni=1ag(ei,ei)+fD(ei,ei)+b(U,U)+d(V,V)=na+b+d2(+1)。引理 2混合超级半爱因斯坦分形流形 MS(QE)n的生成元 U 如果为平行向量场,则 a+b=0,c=0。证明:如果 U 为平行向量场,则 R(X,Y)U=XYU-YXU-X,YU=0,因此可得 R(X,U)=0。在(1)式中令 Y=U,根据(2)(3)式可得 R(X,U)=(a+b)g(X,U)+cg(X,V);如果 U 为平行向量场,可以得到(a+b)g(X,U)+cg(X,V)=0。令 X=V 可得 c=0。因此(a+b)g(X,U)=0。再令 X=U 可得 a+b=0。定理 2共形平坦混合超级半爱因斯坦分形流形 MS(QE)n,n3 如果满足条件:A(W)D(X,Z)=A(Z)D(X,W)B(W)D(X,Z)=B(Z)D(X,W),X,Z,W,63第 6 期杨永举,等:混合超级半爱因斯坦流形 A(W)D(X,Z)=A(Z)D(X,W)B(W)D(X,Z)=B(Z)D(X,W)D(X,W)D(Y,Z)=D(Y,W)D(X,Z),X,Y,Z,W,a0,(2-n)a+b+d0,则(Mn,g)局部等距浸入到分形空间 R(n+1)中。证明:共形平坦的(0,4)型黎曼张量 R(X,Y,Z,W)可以表示为:R(X,Y,Z,W)=1n-2g(Y,Z)Ric(X,W)-g(X,Z)Ric(Y,W)+Ric(Y,Z)g(X,W)-Ric(X,Z)g(Y,W)-r(n-1)(n-2)g(Y,Z)g(X,W)-g(X,Z)g(Y,W),其中,r 为流形的数量曲率。如果流形为混合超级半爱因斯坦分形流形,利用式子(1),可以知道R(X,Y,Z,W)=1n-2ag(Y,Z)(ag(X,W)+bA(X)A(W)+c(A(X)B(W)+A(W)B(X)+dB(X)B(W)+fD(X,W)-1n-2ag(X,Z)(ag(Y,W)+bA(Y)A(W)+c(A(Y)B(W)+A(W)B(Y)+dB(Y)B(W)+fD(Y,W)+1n-2ag(X,W)(ag(Y,Z)+bA(Y)A(Z)+c(A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)+dB(Y)B(Z)+fD(Y,Z)-1n-2ag(Y,W)(ag(X,Z)+bA(X)A(Z)+c(A(X)B(Z)+A(Z)B(X)+dB(X)B(Z)+fD(X,Z)-r(n-1)(n-2)g(Y,Z)g(X,W)-g(X,Z)g(Y,W)。(7)由于Ric(X,W)Ric(Y,Z)=a2g(X,W)g(Y,Z)+abg(X,W)A(Y)A(Z)+acg(X,W)B(Y)B(Z)+adg(X,W)A(Y)B(Z)+B(Y)A(Z)+aeg(X,W)D(Y,Z)+abg(Y,Z)A(X)A(W)+b2A(X)A(Y)A(Z)A(W)+bcA(X)A(W)B(Y)B(Z)+bdA(X)A(W)A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)+beA(X)A(W)D(Y,Z)+acg(Y,Z)B(X)B(W)+bcA(Y)A(Z)B(X)B(W)+c2B(X)B(Y)B(Z)B(W)+cdB(X)B(W)A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)+ceB(X)B(W)D(Y,Z)+adg(Y,Z)A(X)B(W)+A(W)B(X)+bdA(Y)A(Z)A(X)B(W)+A(W)B(X)+cdB(Y)B(Z)A(X)B(W)+A(W)B(X)+d2A(X)B(W)+A(W)B(X)A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)+edD(Y,Z)A(X)B(W)+A(W)B(X)+aeg(Y,Z)D(X,W)+beA(Y)A(Z)D(X,W)+ceB(Y)B(Z)D(X,W)+edD(X,W)A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)+e2D(X,W)D(Y,Z)。(8)同样,也可以写出 Ric(Y,W)Ric(X,Z)的表示式。Ric(Y,W)Ric(X,Z)=a2g(Y,W)g(X,Z)+abg(Y,W)A(X)A(Z)+acg(Y,W)B(X)B(Z)+adg(Y,W)A(X)B(Z)+B(X)A(Z)+aeg(Y,W)D(X,Z)+abg(X,Z)A(Y)A(W)+b2A(X)A(Y)A(Z)A(W)+bcA(Y)A(W)B(X)B(Z)+bdA(Y)A(W)A(X)B(Z)+A(Z)B(X)+beA(Y)A(W)D(X,Z)+acg(X,Z)B(Y)B(W)+bcA(X)A(Z)B(Y)B(W)+c2B(X)B(Y)B(Z)B(W)+cdB(Y)B(W)A(X)B(Z)+A(Z)B(X)+ceB(Y)B(W)D(X,Z)+adg(X,Z)A(Y)B(W)+A(W)B(Y)+bdA(X)A(Z)A(Y)B(W)+A(W)B(Y)+cdB(X)B(Z)A(Y)B(W)+A(W)B(Y)+d2A(Y)B(W)+A(W)B(Y)A(X)B(Z)+A(Z)B(X)+edD(X,Z)A(Y)B(W)+A(W)B(Y)+aeg(X,Z)D(Y,W)+beA(X)A(Z)D(Y,W)+ceB(X)B(Z)D(Y,W)+edD(Y,W)A(X)B(Z)+A(Z)B(X)+e2D(Y,W)D(X,Z)。(9)根据式子(1)(7)(8)(9)结合定理条件可得 R(X,Y,Z,W)=ERic(Y,W)Ric(X,Z)-Ric(X,W)Ric(Y,Z)+Fg(Y,Z)g(X,W)-g(X,Z)g(Y,W),73南阳师范学院学报第 22 卷其中,E=-1(n-2)2(1+),a0,F=-r(n-1)(n-2)2(1+)+a(n-2)2(1+)=-a+b+d(n-1)(n-2)2(1+),p=(2-n)a+b+d(n-1)(n-2),q=(a+b+d)n-2(2-n)a+b+d(n-1)。由上所述,根据定理 1,可知定理结论成立。评注:当 n=3 或者 4 时,是满足该定理条件的 MS(QE)n的非平凡情况,即:使 a,b,c,d,f 为全不为 0条件下的 MS(QE)n是不存在的。定理 3共形平坦混合超级半爱因斯坦分形流形 MS(QE)n的生成元 U 如果为平行向量场,则2-n(n-1)2(+1)d=fD(V,V)。证明:如果 MS(QE)n共形平坦,那么(0,4)型黎曼曲率张量 R(X,Y,Z,W)为:R(X,Y,Z,W)=1n-2g(Y,Z)Ric(X,W)-g(X,Z)Ric(Y,W)+Ric(Y,Z)g(X,W)-Ric(X,Z)g(Y,W)-r(n-1)(n-2)g(Y,Z)g(X,W)-g(X,Z)g(Y,W)。实际上,R(X,Y)Z=1n-2g(Y,Z)aX+bA(X)U+cA(X)V+B(X)U+dB(X)V+fQX-1n-2g(X,Z)aY+bA(Y)U+cA(Y)V+B(Y)U+dB(Y)V+fQY+1n-2Ric(Y,Z)X-Ric(X,Z)Y-r(n-1)(n-2)g(Y,Z)X-g(X,Z)Y,(10)其中,D(X,Y)=g(QX,Y)。利用式子(1)(2)(3)和(10)且令 Z=U,可得 R(X,Y)U=1n-2(a+b)(A(Y)X-A(X)Y)+cn-2B(Y)X-B(X)Y-r(n-1)(n-2)A(Y)X-A(X)Y+an-2A(Y)X-A(X)Y+cn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)U+fn-2A(Y)QX-A(X)QY+dn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)V=a+bn-2-r(n-1)(n-2)+an-2A(Y)X-A(X)Y+cn-2B(Y)X-B(X)Y+cn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)U+dn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)V+fn-2A(Y)QX-A(X)QY。(11)如果 U 为平行向量场,根据引理 2 可知,a+b=0,c=0,所以上式(11)可化为R(X,Y)U=-r(n-1)(n-2)+an-2A(Y)X-A(X)Y+dn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)V+fn-2A(Y)QX-A(X)QY。令 X=V,Y=U,又由于 a+b=0,r=na+b+d,可得dn-1V+fn-2QV=0,因此(dn-1V+fn-2QV),V=0,即d(n-1)2(+1)+fn-2QV,V=0,由此得2-n(n-1)2(+1)d=fD(V,V)。定理 4上调合平坦 MS(QE)n流形的生成元 U,如果为平行向量场,则 Ric(V,V)=0。83第 6 期杨永举,等:混合超级半爱因斯坦流形证明:由于 MS(QE)n上调合平坦,故R(X,Y,Z,W)=1n-2g(Y,Z)Ric(X,W)-g(X,Z)Ric(Y,W)+Ric(Y,Z)g(X,W)-Ric(X,Z)g(Y,W)。事实上R(X,Y)U=(a+bn-2+an-2)A(Y)X-A(X)Y+cn-2B(Y)X-B(X)Y+cn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)U+dn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)V+fn-2A(Y)QX-A(X)QY。(12)如果 U 为平行向量场,根据引理 2 可知 a+b=0,c=0,所以上式(12)可化为R(X,Y)U=(a+bn-2+an-2)A(Y)X-A(X)Y+dn-2A(Y)B(X)-A(X)B(Y)V+fn-2A(Y)QX-A(X)QY。令 X=V,Y=U,可得a+d(n-2)2(+1)V+f(n-2)2(+1)QV=0。由于a+d(n-2)4(+1)+f(n-2)2(+1)QV,V=0,因此 a+d(n-2)2(+1)+fD(V,V)=0,所以 Ric(V,V)=0。定理 5投影平坦且生成元 U 为平行向量场的 MS(QE)n的数量曲率 r=0。证明:如果 MS(QE)n投影平坦,那么(0,4)型黎曼曲率张量 R(X,Y,Z,W)为 R(X,Y,Z,W)=1n-1Ric(Y,Z)g(X,W)-Ric(X,Z)g(Y,W)。(13)对(13)式进行缩并且令 W=U,可得 bA(X)=0,所以 b=0。根据引理 1 可知 a+b=0,c=0 可得 a=b=0,所以R(X,Y)U=1n-1A(Y)X-A(X)Y=0,令 X=V,Y=U,则 V=0。可知道S(X,Y)=fD(X,Y),根据式子(3)可知数量曲率 r=0。2.2局部共形 Khler 流形与混合超级半爱因斯坦分形流形定理 6具有平行 lee 形式的紧致,定向,无边的连通非 Khler 的局部共形 Khler 流形,同时也是MS(QE)n型流形,其黎曼 Ricci 曲率 S(X,Y)表示为:S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+cA(X)B(Y)+A(Y)B(X)+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),其中,A,B 分别为 lee 形式和反 lee 形式,U,V 为分别对应于 A,B 的单位 lee 向量场和单位反 lee 向量场,则 U 平行向量场当且仅当 a+b=0。证明:充分性由引理 2 显然可知。下证必要性。根据文献11 可知道MS(U,U)-U2-(divU)2(dv)0.由于 S(U,U)=a+b2(1+)=0,所以 U=divU=0,由于 U=0,则 U 为平行向量场。定理 7如果一个具有平行 lee 形式的紧致连通非 Khler 的局部共形 Khler 流形(Mn,g)(n2),同时也是 MS(QE)n型流形,其黎曼 Ricci 曲率 S(X,Y)表示为:S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+cA(X)B(Y)+A(Y)B(X)+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),其中 A,B 分别为 lee 形式(平行)和反 lee 形式,U,V 为分别对应于 A,B 的单位 lee 向量场和单位反 lee 向量场。设 r 为数量曲率,则(1)若(Mn,g)为共形平坦流形,且 D(X,JY)=-D(JX,Y),则其数量曲率为 r=2n2-5n+32(1+)。(2)(Mn,g)不为上调和平坦流形,也不为投影平坦流行。证明:由于 U 为平行向量场,根据定理 2 可知 a+b=0,c=0。根据文献12可知 S(V,V)=2n-22(+1),93南阳师范学院学报第 22 卷因此 S(V,V)=2n-22(+1)=a+d(n-2)2(+1)+fD(V,V)。由于 g 和 g为共形度量,则根据文献13可知S(X,Y)=S(X,Y)+n-12g(X,Y)-(X)(Y),且由于S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+cA(X)B(Y)+A(Y)B(X)+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),因此S(X,Y)=(a-n-12)g(X,Y)+(b+n-12)A(X)A(Y)+dB(X)B(Y)+cA(X)B(Y)+A(Y)B(X)+fD(X,Y)。由于 g为 Khler 度量,(X,Y)=S(X,JY)为反对称的,D(X,JY)=-D(JX,Y),因此(b+2n-12)A(X)A(JY)+dB(X)B(JY)=-(b+2n-12)A(Y)A(JX)-dB(Y)B(JX)。令 X=U,Y=V,可得 b+d+(2n-1)22(+1)=0。联立有关式子,得方程组b+d+2n-122(+1)=0,a+d+fD(B,B)=2n-22(+1),a+b=0,r=na+b+d2(+1)。由此方程组整理可得a=rn2(+1)+2n-12n2(+1),b=-rn2(+1)-2n-12n2(+1),d=-2n-122(+1)+rn2(+1)+2n-12n2(+1),fD(B,B)=2n-22(+1)+2n-122(+1)-2n-1n2(+1)-2rn2(+1)。(14)(1)根据定理 3 可知2-n(n-1)2(+1)d=fD(V,V),而根据式子(14)可知fD(V,V)=2n-22(+1)+2n-122(+1)-2n-1n2(+1)-2rn2(+1)和 d=-2n-122(+1)+rn2(+1)+2n-12n2(+1),联立方程即可得到 r=2n2-5n+32(+1)。(2)由定理 3 可知 Ric(V,V)=0,由式子(14),可知 a+d+fD(V,V)=2n-22(1+),即 Ric(V,V)=2n-22(1+)矛盾,故(Mn,g)不为上调和平坦流形。由定理 4 的证明过程知道 V=0 显然与 Ric(V,V)=2n-22(1+)矛盾,故知(Mn,g)也不为投影平坦流行。2.3混合超级半爱因斯坦流形的一些整体性质定理 8设紧致,定向,无边界的 MS(QE)n型流形满足:b,c,d,f0,a+b+c+d+f0,那么投影 killing向量场 X 的协变导数为 0,如果 b,c,d,f0,a+b+c+d+f 0,a+b+c+d+f 0,那么此类流形不存在非零的共形 killing 向量场。证明:参考文献9,共形 killing 向量场 X 满足MS(X,X)-14 X2-n-2n(divX)2(dv)=0,类似于定理 7 的证明可知 X=0,divX=0,因此 X=0。本文尝试讨论局部分数阶导数定义下的混合超级半爱因斯坦流形,我们觉得在分形多孔空间上讨论混合超级半爱因斯坦流形是一个有趣的问题。参考文献1CHAKI M C,GHOSH M L.On quasi-Einstein manifoldsJ.Indian Journal of Mathematics,2000,42(2):211-220.2CHAKI M C.On generalized quasi-Einstein manifoldsJ.Publ Math Debrecen,2001,58(4):683-691.3BHATTACHARY A A,TARAFDAR M,DEBNATH D.On mixed super quasi-Einstein manifoldsJ.Differential Geometry-Dynamical Systems,2008,10:44-57.4CHAKI M C.On super quasi-Einstein manifoldsJ.Publ Math Debrecen,2004,64(3/4):481-488.5SHAIKH A A.On pseudo quasi-Einstein manifoldsJ.Periodica Mathematica Hungarica,2009,59(2):119-146.6DEBNATH P,KONAR A.On super quasi Einstein manifold J.Publications De L Institut Mathematique,2011,89(103):95-104.7YANG X J.Local Fractional Functional Analysis and Its Applications M.Hongkong:Asian Academic Publisher Limited,2011.8YANG X J.Advanced Local Fractional Calculus and Its ApplicationsM.New York:World Science Publisher,2012.9YANO K.Intergral Formulas in Riemannian GeometryM.New York:Marcel Dekkler,1970.10 SEN R N.On a characterisation of conformally-flat Riemannian spaces of class oneJ.Journal of the Australian Mathemati-cal Society,1966,6(2):172-178.11 DEBNATH P,KONAR A.On quasi-Einstein manifolds and 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words:mixed super quasi-Einstein manifolds;conformally flat manifold;locally conformal khler manifold;local fractal derivative14