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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）1/91圆与三角函数圆与三角函数1已知，如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OFBC 于点 F，交O 于点 E，AE与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O 的半径为 5，sinA=，求 BH 的长2如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上任一点（不与 A，B 重合），ABCD 于 E，BF为O 的切线，OFAC，连结 AF，FC，AF 与 CD 交于点 G，与O 交于点 H，连结 CH（1）求证：FC 是O 的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若 cosAOC=，O 的半径为 r，求 CH 的长人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）2/913已知O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，ODBC 交O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、BD，BD 交 AC 于点 F（1）求证：BD 平分ABC；（2）延长 AC 到点 P，使 PF=PB，求证：PB 是O 的切线；（3）如果 AB=10，cosABC=，求 AD4如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）3/91交于点 E、F，且ACB=DCE（1）判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tanACB=，BC=2，求O 的半径5如图，AB 是O 的直径，D、E 为O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使得 CD=BD，连接 AC 交O 于点 F，连接 AE、DE、DF（1）证明：E=C；（2）若E=55，求BDF 的度数；（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4，cosB=，E 是的中点，求 EGED 的值人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）4/916AB，CD 是O 的两条弦，直线 AB，CD 互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作BFAD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD 于点 G（1）如图 1，当点 E 在O 外时，连接 BC，求证：BE 平分GBC；（2）如图 2，当点 E 在O 内时，连接 AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图 3，在（2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分ABF，AG=4，tanD=，求线段 AH 的长人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）5/917如图，已知 AB 是O 的直径，BP 是O 的弦，弦 CDAB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在CD 的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线 EP 为O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC 上运动，其他条件不变，若 BG2=BFBO试证明 BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知O 的半径为 3，sinB=求弦 CD 的长8如图，在 RtABC 中，ACB=90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心，OC 为半径作O（1）求证：AB 是O 的切线（2）已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD=，求的值（3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）6/919如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF（1）求CDE 的度数；（2）求证：DF 是O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tanABD 的值10如图，已知在ABP 中，C 是 BP 边上一点，PAC=PBA，O 是ABC 的外接圆，AD是O 的直径，且交 BP 于点 E（1）求证：PA 是O 的切线；人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）7/91（2）过点 C 作 CFAD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AGAB=12，求 AC 的长；（3）在满足（2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求O 的半径及 sinACE 的值11已知 RtABC 中，AB 是O 的弦，斜边 AC 交O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB 交O于点 E（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 CE 的长？请说明理由；（2）如图 2，过点 E 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F若 CF=CD 时，求 sinCAB 的值；若 CF=aCD（a0）时，试猜想 sinCAB 的值（用含 a 的代数式表示，直接写出结果）人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）8/9112如图，在 RtABC 中，C=90，以 BC 为直径的O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的中点，连接 MH（1）求证：MH 为O 的切线（2）若 MH=，tanABC=，求O 的半径（3）在（2）的条件下分别过点 A、B 作O 的切线，两切线交于点 D，AD 与O 相切于 N点，过 N 点作 NQBC，垂足为 E，且交O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度13如图，O 的半径 r=25，四边形 ABCD 内接于圆O，ACBD 于点 H，P 为 CA 延长线上的一点，且PDA=ABD人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）9/91（1）试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tanADB=，PA=AH，求 BD 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形 ABCD 的面积14如图，PA 为O 的切线，A 为切点，直线 PO 交O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB垂足为 D，交O 与点 B，延长 BO 与O 交与点 C，连接 AC，BF（1）求证：PB 与O 相切；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tanF=，求 cosACB 的值人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）10/9115如图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OACD 于点 E，过点 B 的直线与 CD 的延长线交于点 F，ACBF（1）若FGB=FBG，求证：BF 是O 的切线；（2）若 tanF=，CD=a，请用 a 表示O 的半径；（3）求证：GF2GB2=DFGF16如图，在O 中，直径 ABCD，垂足为 E，点 M 在 OC 上，AM 的延长线交O 于点G，交过 C 的直线于 F，1=2，连结 CB 与 DG 交于点 N（1）求证：CF 是O 的切线；（2）求证：ACMDCN；人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）11/91（3）若点 M 是 CO 的中点，O 的半径为 4，cosBOC=，求 BN 的长17如图所示，在 RtABC 与 RtOCD 中，ACB=DCO=90，O 为 AB 的中点（1）求证：B=ACD（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC2=ABBE（i）若 tanACD=，BC=10，求 CE 的长；（ii）试判定 CD 与以 A 为圆心、AE 为半径的A 的位置关系，并请说明理由人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）12/9118如图，AB 为O 的直径，直线 CD 切O 于点 M，BECD 于点 E（1）求证：BME=MAB；（2）求证：BM2=BEAB；（3）若 BE=，sinBAM=，求线段 AM 的长19如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，点 M 是上任意一点，AH=2，CH=4（1）求O 的半径 r 的长度；（2）求 sinCMD；（3）直线 BM 交直线 CD 于点 E，直线 MH 交O 于点 N，连接 BN 交 CE 于点 F，求 HEHF的值人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）13/9120已知 AB、CD 是O 的两条弦，直线 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，连接 AC，过点 B 作BFAC，垂足为 F，直线 BF 交直线 CD 于点 M（1）如图 1，当点 E 在O 内时，连接 AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图 2，当点 E 在O 外时，连接 AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图 3，当点 E 在O 外时，ABF 的平分线与 AC 交于点 H，若 tanC=，求tanABH 的值人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）14/912018 年年 01 月月 10 日金博初数日金博初数 2 的初中数学组卷的初中数学组卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 25 小题）小题）1已知，如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OFBC 于点 F，交O 于点 E，AE与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O 的半径为 5，sinA=，求 BH 的长【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出ODB=ABC，再证出ABC+DBF=90，即OBD=90，即可得出 BD 是O 的切线；（2）连接 AC，由垂径定理得出，得出CAE=ECB，再由公共角CEA=HEC，证明CEHAEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接 BE，由圆周角定理得出AEB=90，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出EA，得出 BE=CE=6，由（2）的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可【解答】（1）证明：ODB=AEC，AEC=ABC，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）15/91ODB=ABC，OFBC，BFD=90，ODB+DBF=90，ABC+DBF=90，即OBD=90，BDOB，BD 是O 的切线；（2）证明：连接 AC，如图 1 所示：OFBC，CAE=ECB，CEA=HEC，CEHAEC，CE2=EHEA；（3）解：连接 BE，如图 2 所示：AB 是O 的直径，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）16/91AEB=90，O 的半径为 5，sinBAE=，AB=10，BE=ABsinBAE=10=6，EA=8，BE=CE=6，CE2=EHEA，EH=，在 RtBEH 中，BH=【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）17/91系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果2如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上任一点（不与 A，B 重合），ABCD 于 E，BF为O 的切线，OFAC，连结 AF，FC，AF 与 CD 交于点 G，与O 交于点 H，连结 CH（1）求证：FC 是O 的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若 cosAOC=，O 的半径为 r，求 CH 的长【分析】（1）首先根据 OFAC，OA=OC，判断出BOF=COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出BOFCOF，推得OCF=OBF=90，再根据点 C 在O 上，即可判断出FC 是O 的切线（2）延长 AC、BF 交点为 M由BOFCOF 可知：BF=CF 然后再证明：FM=CF，从而得到 BF=MF，因为 DCBM，所以AEGABF，AGCAFM，然后依据相似三角形的性质可证 GC=GE；（3）因为 cosAOC=，OE=，AE=由勾股定理可求得 EC=AC=因为EG=GC，所以 EG=由（2）可知AEGABF，可求得 CF=BF=在 RtABF中，由勾股定理可求得 AF=3r然后再证明CFHAFC，由相似三角形的性质可求得 CH的长人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）18/91【解答】（1）证明：OFAC，BOF=OAC，COF=OCA，OA=OC，OAC=OCA，BOF=COF，在BOF 和COF 中，BOFCOF，OCF=OBF=90，又点 C 在O 上，FC 是O 的切线（2）如下图：延长 AC、BF 交点为 M由（1）可知：BOFCOF，OFB=CFO，BF=CFACOF，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）19/91M=OFB，MCF=CFOM=MCFCF=MFBF=FMDCBM，AEGABF，AGCAFM，又BF=FM，EG=GC（3）如下图所示：cosAOC=，OE=，AE=在 RtEOC 中，EC=在 RtAEC 中，AC=人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）20/91EG=GC，EG=AEGABF，即BF=CF=在 RtABF 中，AF=3rCF 是O 的切线，AC 为弦，HCF=HAC又CFH=AFC，CFHAFC，即：CH=【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得 BF=FM 是解答本题的关键3已知：O 上两个定点 A，B 和两个动点 C，D，AC 与 BD 交于点 E人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）21/91（1）如图 1，求证：EAEC=EBED；（2）如图 2，若=，AD 是O 的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图 3，若 ACBD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC 的长【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图 2，连接 CD，OB 交 AC 于点 F 由 B 是弧 AC 的中点得到BAC=ADB=ACB，且AF=CF=0.5AC证得CBFABD即可得到结论；（3）如图 3，连接 AO 并延长交O 于 F，连接 DF 得到 AF 为O 的直径于是得到ADF=90，过 O 作 OHAD 于 H，根据三角形的中位线定理得到 DF=2OH=4，通过ABEADF，得到1=2，于是结论可得【解答】（1）证明：EAD=EBC，BCE=ADE，AEDBEC，EAEC=EBED；（2）证明：如图 2，连接 CD，OB 交 AC 于点 FB 是弧 AC 的中点，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）22/91BAC=ADB=ACB，且 AF=CF=0.5AC又AD 为O 直径，ABD=90，又CFB=90CBFDAB，故 CFAD=BDBCACAD=2BDBC；（3）解：如图 3，连接 AO 并延长交O 于 F，连接 DF，AF 为O 的直径，ADF=90，过 O 作 OHAD 于 H，AH=DH，OHDF，AO=OF，DF=2OH=4，ACBD，AEB=ADF=90，ABD=F，ABEADF，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）23/911=2，BC=DF=4【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键4已知O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，ODBC 交O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、BD，BD 交 AC 于点 F（1）求证：BD 平分ABC；（2）延长 AC 到点 P，使 PF=PB，求证：PB 是O 的切线；（3）如果 AB=10，cosABC=，求 AD人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）24/91【分析】（1）先由 ODBC，根据两直线平行内错角相等得出D=CBD，由 OB=OD，根据等边对等角得出D=OBD，等量代换得到CBD=OBD，即 BD 平分ABC；（2）先由圆周角定理得出ACB=90，根据直角三角形两锐角互余得到CFB+CBF=90再由 PF=PB，根据等边对等角得出PBF=CFB，而由（1）知OBD=CBF，等量代换得到PBF+OBD=90，即OBP=90，根据切线的判定定理得出PB 是O 的切线；（3）连结 AD在 RtABC 中，由 cosABC=，求出 BC=6，根据勾股定理得到AC=8再由 ODBC，得出AOEABC，AED=OEC=180ACB=90，根据相似三角形对应边成比例求出 AE=4，OE=3，那么 DE=ODOE=2，然后在 RtADE 中根据勾股定理求出 AD=2【解答】（1）证明：ODBC，D=CBD，OB=OD，D=OBD，CBD=OBD，BD 平分ABC；人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）25/91（2）证明：O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，ACB=90，CFB+CBF=90PF=PB，PBF=CFB，由（1）知OBD=CBF，PBF+OBD=90，OBP=90，PB 是O 的切线；（3）解：连结 AD在 RtABC 中，ACB=90，AB=10，cosABC=，BC=6，AC=8ODBC，AOEABC，AED=OEC=180ACB=90，=，=，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）26/91AE=4，OE=3，DE=ODOE=53=2，AD=2【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握5如图 1，ABC 内接于O，BAC 的平分线交O 于点 D，交 BC 于点 E（BEEC），且BD=2过点 D 作 DFBC，交 AB 的延长线于点 F（1）求证：DF 为O 的切线；（2）若BAC=60，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图 2，求 BF 的长人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）27/91【分析】（1）连结 OD，如图 1，由角平分线定义得BAD=CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得 ODBC，由于 BCEF，则 ODDF，于是根据切线的判定定理即可判断 DF 为O 的切线；（2）连结 OB，OD 交 BC 于 P，作 BHDF 于 H，如图 1，先证明OBD 为等边三角形得到ODB=60，OB=BD=2，易得BDF=DBP=30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系，在 RtDBP 中得到 PD=BD=，PB=PD=3，接着在 RtDEP 中利用勾股定理计算出PE=2，由于 OPBC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用BDEACE，通过相似比可得到AE=，再证明ABEAFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S阴影部分=SBDFS弓形 BD=SBDF（S扇形 BODSBOD）进行计算；（3）连结 CD，如图 2，由=可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，由=得到 CD=BD=2，先证明BFDCDA，利用相似比得到 xy=4，再证明FDBFAD，利用相似比得到164y=xy，则 164y=4，然后解方程易得 BF=3【解答】证明：（1）连结 OD，如图 1，AD 平分BAC 交O 于 D，BAD=CAD，=，ODBC，BCEF，ODDF，DF 为O 的切线；（2）连结 OB，连结 OD 交 BC 于 P，作 BHDF 于 H，如图 1，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）28/91BAC=60，AD 平分BAC，BAD=30，BOD=2BAD=60，OBD 为等边三角形，ODB=60，OB=BD=2，BDF=30，BCDF，DBP=30，在 RtDBP 中，PD=BD=，PB=PD=3，在 RtDEP 中，PD=，DE=，PE=2，OPBC，BP=CP=3，CE=32=1，易证得BDEACE，AE：BE=CE：DE，即 AE：5=1：，AE=BEDF，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）29/91ABEAFD，=，即=，解得 DF=12，在 RtBDH 中，BH=BD=，S阴影部分=SBDFS弓形 BD=SBDF（S扇形 BODSBOD）=12+（2）2=92；（3）连结 CD，如图 2，由=可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，=，CD=BD=2，F=ABC=ADC，FDB=DBC=DAC，BFDCDA，=，即=，xy=4，FDB=DBC=DAC=FAD，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）30/91而DFB=AFD，FDBFAD，=，即=，整理得 164y=xy，164y=4，解得 y=3，即 BF 的长为 3【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长6如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且ACB=DCE（1）判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tanACB=，BC=2，求O 的半径人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）31/91【分析】（1）连接 OE欲证直线 CE 与O 相切，只需证明CEO=90，即 OECE 即可；（2）在直角三角形 ABC 中，根据三角函数的定义可以求得 AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知 DE=1；方法一、在 RtCOE 中，利用勾股定理可以求得 CO2=OE2+CE2，即=r2+3，从而易得r 的值；方法二、过点 O 作 OMAE 于点 M，在 RtAMO 中，根据三角函数的定义可以求得 r 的值【解答】解：（1）直线 CE 与O 相切（1 分）理由如下：四边形 ABCD 是矩形，BCAD，ACB=DAC；又ACB=DCE，DAC=DCE；连接 OE，则DAC=AEO=DCE；DCE+DEC=90AE0+DEC=90OEC=90，即 OECE人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）32/91又 OE 是O 的半径，直线 CE 与O 相切（5 分）（2）tanACB=，BC=2，AB=BCtanACB=，AC=；又ACB=DCE，tanDCE=tanACB=，DE=DCtanDCE=1；方法一：在 RtCDE 中，CE=，连接 OE，设O 的半径为 r，则在 RtCOE 中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3 解得：r=方法二：AE=ADDE=1，过点 O 作 OMAE 于点 M，则 AM=AE=在 RtAMO 中，OA=（9 分）【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）33/917如图，在 RtABC 中，ABC=90，AC 的垂直平分线分别与 AC，BC 及 AB 的延长线相较于点 D，E，F，且 BF=BC，O 是BEF 的外接圆，EBF 的平分线交 EF 于点 G，交O 于点 H，连接 BD，FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断 BD 与O 的位置关系，并说明理由；（3）若 AB=1，求 HGHB 的值【分析】（1）由垂直的定义可得EBF=ADF=90，于是得到C=BFE，从而证得ABCEBF；（2）BD 与O 相切，如图 1，连接 OB 证得DBO=90，即可得到 BD 与O 相切；（3）如图 2，连接 CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到 CF=BF，由于 DF 垂直平分AC，得到 AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得 BF=，有勾股定理解出 EF=，推出EHF 是等腰直角三角形，求得 HF=EF=，通过BHFFHG，列比例式即可得到结论【解答】（1）证明：ABC=90，EBF=90，DFAC，ADF=90，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）34/91C+A=A+AFD=90，C=BFE，在ABC 与EBF 中，ABCEBF；（2）BD 与O 相切，如图 1，连接 OB证明如下：OB=OF，OBF=OFB，ABC=90，AD=CD，BD=CD，C=DBC，C=BFE，DBC=OBF，CBO+OBF=90，DBC+CBO=90，DBO=90，BD 与O 相切；（3）解：如图 2，连接 CF，HE，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）35/91CBF=90，BC=BF，CF=BF，DF 垂直平分 AC，AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，BF=，ABCEBF，BE=AB=1，EF=，BH 平分CBF，EH=FH，EHF 是等腰直角三角形，HF=EF=，EFH=HBF=45，BHF=BHF，BHFFHG，HGHB=HF2=2+人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）36/91【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键8如图，AB 是O 的直径，D、E 为O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使得 CD=BD，连接 AC 交O 于点 F，连接 AE、DE、DF（1）证明：E=C；（2）若E=55，求BDF 的度数；（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4，cosB=，E 是的中点，求 EGED 的值人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）37/91【分析】（1）直接利用圆周角定理得出 ADBC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出E=C；（2）利用圆内接四边形的性质得出AFD=180E，进而得出BDF=C+CFD，即可得出答案；（3）根据 cosB=，得出 AB 的长，即可求出 AE 的长，再判断AEGDEA，求出 EGED的值【解答】（1）证明：连接 AD，AB 是O 的直径，ADB=90，即 ADBC，CD=BD，AD 垂直平分 BC，AB=AC，B=C，又B=E，E=C；（2）解：四边形 AEDF 是O 的内接四边形，AFD=180E，又CFD=180AFD，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）38/91CFD=E=55，又E=C=55，BDF=C+CFD=110；（3）解：连接 OE，CFD=E=C，FD=CD=BD=4，在 RtABD 中，cosB=，BD=4，AB=6，E 是的中点，AB 是O 的直径，AOE=90，AO=OE=3，AE=3，E 是的中点，ADE=EAB，AEGDEA，=，即 EGED=AE2=18人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）39/91【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出 AE，AB 的长是解题关键9AB，CD 是O 的两条弦，直线 AB，CD 互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作BFAD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD 于点 G（1）如图 1，当点 E 在O 外时，连接 BC，求证：BE 平分GBC；（2）如图 2，当点 E 在O 内时，连接 AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图 3，在（2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分ABF，AG=4，tanD=，求线段 AH 的长【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出D=EBC，进而利用互余的关系得出GBE=EBC，进而求出即可；（2）首先得出D=ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出BCEBGE（ASA），则 CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）40/91（3）首先求出 CO 的长，再求出 tanABH=，利用 OP2+PB2=OB2，得出 a 的值进而求出答案【解答】（1）证明：如图 1，四边形 ABCD 内接于O，D+ABC=180，ABC+EBC=180，D=EBC，GFAD，AEDG，A+ABF=90，A+D=90，ABF=D，ABF=GBE，GBE=EBC，即 BE 平分GBC；（2）证明：如图 2，连接 CB，ABCD，BFAD，D+BAD=90，ABG+BAD=90，D=ABG，D=ABC，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）41/91ABC=ABG，ABCD，CEB=GEB=90，在BCE 和BGE 中，BCEBGE（ASA），CE=EG，AECG，AC=AG；（3）解：如图 3，连接 CO 并延长交O 于 M，连接 AM，CM 是O 的直径，MAC=90，M=D，tanD=，tanM=，=，AG=4，AC=AG，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）42/91AC=4，AM=3，MC=5，CO=，过点 H 作 HNAB，垂足为点 N，tanD=，AEDE，tanBAD=，=，设 NH=3a，则 AN=4a，AH=5a，HB 平分ABF，NHAB，HFBF，HF=NH=3a，AF=8a，cosBAF=，AB=10a，NB=6a，tanABH=，过点 O 作 OPAB 垂足为点 P，PB=AB=5a，tanABH=，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）43/91OP=a，OB=OC=，OP2+PB2=OB2，25a2+a2=，解得：a=，AH=5a=【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出 tanABH=是解题关键人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）44/9110如图，已知 AB 是O 的直径，BP 是O 的弦，弦 CDAB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在CD 的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线 EP 为O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC 上运动，其他条件不变，若 BG2=BFBO试证明 BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知O 的半径为 3，sinB=求弦 CD 的长【分析】（1）连结 OP，先由 EP=EG，证出EPG=BGF，再由BFG=BGF+OBP=90，推出EPG+OPB=90来求证（2）连结 OG，由 BG2=BFBO，得出BFGBGO，得出BGO=BFG=90，根据垂径定理可得出结论（3）连结 AC、BC、OG，由 sinB=，求出 OG，由（2）得出B=OGF，求出 OF，再求出 BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD 长度【解答】（1）证明：连结 OP，EP=EG，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）45/91EPG=EGP，又EGP=BGF，EPG=BGF，OP=OB，OPB=OBP，CDAB，BFG=BGF+OBP=90，EPG+OPB=90，直线 EP 为O 的切线；（2）证明：如图，连结 OG，OP，BG2=BFBO，=，BFGBGO，BGO=BFG=90，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）46/91由垂径定理知：BG=PG；（3）解：如图，连结 AC、BC、OG、OP，sinB=，=，OB=r=3，OG=，由（2）得EPG+OPB=90，B+BGF=OGF+BGF=90，B=OGF，sinOGF=OF=1，BF=BOOF=31=2，FA=OF+OA=1+3=4，在 RtBCA 中，CF2=BFFA，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）47/91CF=2CD=2CF=4【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值11如图，在 RtABC 中，ACB=90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心，OC 为半径作O（1）求证：AB 是O 的切线（2）已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD=，求的值（3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长【分析】（1）由于题目没有说明直线 AB 与O 有交点，所以过点 O 作 OFAB 于点 F，然后证明 OC=OF 即可；（2）连接 CE，先求证ACE=ODC，然后可知ACEADC，所以，而 tanD=；（3）由（2）可知，AC2=AEAD，所以可求出 AE 和 AC 的长度，由（1）可知，OFBABC，所以，然后利用勾股定理即可求得 AB 的长度【解答】（1）如图，过点 O 作 OFAB 于点 F，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）48/91AO 平分CAB，OCAC，OFAB，OC=OF，AB 是O 的切线；（2）如图，连接 CE，ED 是O 的直径，ECD=90，ECO+OCD=90，ACB=90，ACE+ECO=90，ACE=OCD，OC=OD，OCD=ODC，ACE=ODC，CAE=CAE，ACEADC，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）49/91，tanD=，=，=；（3）由（2）可知：=，设 AE=x，AC=2x，ACEADC，AC2=AEAD，（2x）2=x（x+6），解得：x=2 或 x=0（不合题意，舍去），AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，OFB=ACB=90，B=B，OFBACB，=，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）50/91设 BF=a，BC=，BO=BCOC=3，在 RtBOF 中，BO2=OF2+BF2，（3）2=32+a2，解得：a=或 a=0（不合题意，舍去），AB=AF+BF=【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明ACEADC本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）51/9112如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF（1）求CDE 的度数；（2）求证：DF 是O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tanABD 的值【分析】（1）直接利用圆周角定理得出CDE 的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出tanABD 的值【解答】（1）解：对角线 AC 为O 的直径，ADC=90，EDC=90；（2）证明：连接 DO，EDC=90，F 是 EC 的中点，DF=FC，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）52/91FDC=FCD，OD=OC，OCD=ODC，OCF=90，ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90，DF 是O 的切线；（3）解：方法一：设 DE=1，则 AC=2，由 AC2=ADAE20=AD（AD+1）AD=4 或5（舍去）DC2=AC2AD2DC=2，tanABD=tanACD=2；方法二：如图所示：可得ABD=ACD，E+DCE=90，DCA+DCE=90，DCA=E，又ADC=CDE=90，人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）53/91CDEADC，=，DC2=ADDEAC=2DE，设 DE=x，则 AC=2x，则 AC2AD2=ADDE，期（2x）2AD2=ADx，整理得：AD2+ADx20 x2=0，解得：AD=4x 或5x（负数舍去），则 DC=2x，故 tanABD=tanACD=2【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出 AD，DC 的长是解题关键13如图，已知在ABP 中，C 是 BP 边上一点，PAC=PBA，O 是ABC 的外接圆，AD是O 的直径，且交 BP 于点 E人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）54/91（1）求证：PA 是O 的切线；（2）过点 C 作 CFAD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AGAB=12，求 AC 的长；（3）在满足（2）的条件下，若 AF：F