参数方程讲义.doc

坐标系与参数方程一、 知识点梳理(一)平面直角坐标系中的伸缩变化伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。（二）极坐标系与极坐标 1定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(, )就叫做点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位及它的方向。 3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的。 4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点） （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示： （2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是,极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如图一：点M直角坐标极坐标是互化公式 （图一）yMxO （图二）5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。（三）常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径( r,0)x圆心为（r，0），半径为r：x(r,0)O圆心为），半径为rxO过极点，倾斜角为Ox过点与极轴垂直的直线Oxx过点与极轴平行的直线Ox（四）参数方程 1参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数 2常见的参数方程 （1）直线的参数方程过定点且倾角为的直线的参数方程为：（t为参数，其他都是已知量）（2）曲线的参数方程 圆：中心在，半径等于r的圆的参数方程为（为参数） 椭圆：中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆（ab0)或的参数方程分别为： 或 （为参数）（五）参数方程、极坐标方程、直角坐标方程相互转化 1直线：直角坐标方程极坐标方程参数方程直线的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项变成点斜式，进行化简消参求出斜率，那么经过定点就可写出方程；极坐标与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。转化示意图如下：直角坐标方程 极坐标方程 参数方程 带入法 化为普通 （图三）2圆：直角坐标方程极坐标方程参数方程相互转化圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以或，由化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加，根据运算消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。转化示意图如下：直角坐标方程 极坐标方程 参数方程 带入法 两边同乘以 ， 化为普通 移项，平方 ，两式子相加 图四3、椭圆：直角坐标方程极坐标方程参数方程相互转化椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以或，由化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加运算，根据运算消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。直角坐标方程 极坐标方程 参数方程 带入法 两边同乘 化为普通 两边平方 ，两式子相加 图五 (六)参数方程的几何意义根据直线参数方程的标准式中t的几何意义，有如下结论：1直线与圆锥曲线相交，交点对应参数分别为，则弦长；2定点是弦的中点，则；3设的中点为，则点对应的参数值 二、考点突破 题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简经典例题分析：例1. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为（I）写出的直角坐标方程； (II)写出直线的直角坐标方程【答案】（I）；（II）【解析】（I）由，两边同时乘以得，又因为从而有，所以.（II）由直线参数方程公式可得，过定点（3,0),斜率为，由点斜式化简得到方程为考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为直角坐标方程【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程，解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化题型二：普通方程化参数方程、极坐标方程例2.已知曲线，直线：（为参数），写出曲线的参数方程，直线的普通方程；【答案】；【解析 】根据椭圆的性质可得a=3,b=2,由椭圆参数方程公式可得该椭圆参数方程为，【考点定位】椭圆和直线的参数方程【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是做这类题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力.例3：直线过点，倾斜角，（1）写出的参数方程；（2）直线与圆相交于A、B两点，求。【答案】(1) (2)2【解析 】（1）根据直线参数方程可得,令t为参数的参数方程；(2)因为点A、B都在直线上，可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则点A，B的坐标分别为 将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4，整理得t1和t2是方程的解，从而t1t2=-2，|PA|PB|=|t1t2|=|-2|=2例4. 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程，求曲线的直角坐标方程【答案】（）,（II）【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化简，然后用公式代入。【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以。题型三、求两个方程交点坐标及两个方程公共点 先把两个方程转化为同一种表示法的方程，再联列方程组求解求解用带入消元或加减消元，涉及到二求次方程的根，要根据判别式确定方程解得个数。例5 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（）求与交点的直角坐标；（）若与相交于点，与相交于点，求的最大值【答案】（）和；（）【解析】（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值【名师点睛】（）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区。例6已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为常数）. （I）求直线和圆的普通方程； （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（I）,;（II） 【解析】(1)由直线、圆参数方程，消去参数就可以得到普通方程，用相互转化公式得直线方程为 圆的方程 （2）直线与圆有公共点等价于，圆心到直线距离小于或等于圆的半径，由点到直线距离公式可得，圆心（0,0）到直线距离，所以a的取值范围为 考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式 题型四、利用参数方程求值域 1应用点到直线的距离公式即A 到直线的距离来结局距离最短等问题也是常考点 2直线被曲线截得弦长公式： 3切线长：等于圆心到切点距离和圆外这点到圆心距离的平方例7. 【2015高考陕西】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为（I）写出的直角坐标方程；（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标【答案】（1） （2）（3,0） 【解析】由，得，从而有所以；设，又C，则，故当t=0时取到最小值，此时p的作为（3,0）名师点睛:本题主要考察极坐标与参数方程，利用两点距离公式例8在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性.例9在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为（）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.【答案】: （） ,()【解析】: （）根据直线参数方程转化公式可得 ,圆c的极坐标方程两边同时乘以并用和差公式张开可得曲线C: （）因为圆极坐标方程，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 题型五 根据条件求直线和曲线的轨迹方程 例10、直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足=,点的轨迹为. ()求的参数方程; ()在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.【答案】:；【解析】()设(,),则由条件知(,),由于在上, ,即,的参数方程为(为参数); ()曲线的极坐标方程为=,曲线的极坐标方程为=, 射线与的交点的极径为=,射线与的交点的极径为=, =. 考点:轨迹方程的求解，向量的基本性质，极坐标名师点睛：根据已知条件列出相关式子进行化简，掌握关于向量极坐标的知识，便可解出这样类型的题目三、专题 1极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（ ）() A.一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 2在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为() A4 B. C2 D2 3极坐标方程化为普通方程是( ) Ay24(x1)By24(1x) Cy22(x1)Dy22(1x)4在满足极坐标和直角坐标互的化条件下,极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是( ) A直线 B椭圆 C双曲线 D 圆5方程表示的曲线是( ) A圆B.椭圆C双曲线D 抛物线 6.判断以下各点,哪一个在曲线 (t为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4)7.若直线的参数方程为 (t为参数),则直线的斜率为( ) 8.过点M(2,1)作曲线C: (为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( ) A.y-1=-y (x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=-y (x-1) D.y-2=-2(x-1)9.直线l的参数方程是 (tR),则l的方向向量d可以是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2) 10. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（ ） A B C D 11. 曲线，（为参数）的对称中心（ ） A在直线上 B在直线上 C在直线上 D在直线上 12与曲线关于对称的曲线的极坐标方程是_。 13在极坐标系中，点P(2，)到直线l：sin()1的距离是_ 14在极坐标系中，以(a，)为圆心，以a为半径的圆的极坐标方程为 15过点(，)且与极轴平行的直线的极坐标方程是 16在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)，(4，)，则AOB(其中O为极点)的面积为_ 17.将点的直角坐标(2，2)化成极坐标得 18直线(t为参数)上到点A（1，2）的距离为4的点的坐标为 .19.过点A（2，3）的直线的参数方程（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B，则|AB|= .20.直线(t为参数)被圆（x-3）2+(y+1)2=25所截得的弦长为 .21.若直线x+y=m与圆(为参数，m0)相切，则m为 . 22.求直线（t为参数）被曲线=cos所截的弦长. 23.在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离 24.在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值为 25.已知点P（x,y）在曲线(为参数)上，则的取值范围为 .26.极坐标系中，圆=10cos的圆心坐标为 .27.已知2x2+3y2-6x=0 （x,yR），则x2+y2的最大值为 .28.若直线 (t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k= 29圆C: (为参数)的圆心坐标为 ,和圆C关于直线x-y=0对称的圆C的普通方程是 30.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (参数tR),圆C的参数方程为 (参数0,2),则圆C的圆心到直线l的距离为 31.已知圆C的参数方程为,(为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为 .32.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 . 33. 【2014高考广东卷.理.14】 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_.34. 【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则_. 35.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 . 36. 【 2014湖南11】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_37. 【2014高考陕西版理第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是_. 38. 【2014高考重庆理第15题】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径_.39. 【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_.40.【2013高考北京理第9题】在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_ 41. 【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为42. 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .43. 【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .44. 【2014上海,理7】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 . 45求以点A(2，0)为圆心，且经过点B(3，)的圆的极坐标方程 46已知直线l的极坐标方程为，点P的直角坐标为，求点P到直线l距离的最大值及最小值47A，B为椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)上的两点，O为原点，且AOBO求证：(1)为定值，并求此定值；(2) AOB面积的最大值为，最小值为 48.从极点O作直线与另一直线l：cos4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12. (1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求RP的最小值49在极坐标系下，已知圆O：cossin和直线l：sin().(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的极坐标 50.将参数方程(为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线. 51.已知经过点M（-1，1），倾斜角为的直线l和椭圆=1交于A，B两点，求线段AB的长度. 52.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系 53.在平面直角坐标中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线与直线：相交于，两点，求线段的长54.(2010辽宁)已知P为半圆C: (为参数,0)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程.55.(2010福建)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为=2sin.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3, ),求|PA|+|PB|56、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线l的极坐标方程为（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知为椭圆上一点，求到直线的距离最小值 57.已知曲线C1的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标58.已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为(为参数)（1）请分别把直线和圆的方程化为直角坐标方程；（2）求直线被圆截得的弦长59、已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线与圆C相交于点A、B. （1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求线段AB的长度.60、已知直线的参数方程(为参数),圆的极坐标方程:.(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆上一点到直线的最短距离.61.设点O为坐标原点，直线l:(参数tR）与曲线C：（参数R）交于A，B两点.（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）求证：OAOB. 62.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长 63. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标. 64. 已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值 65. 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. 66.(1)在极坐标系Ox中，设集合A(，)|0，0cos，求集合A所表示区域的面积；(2)在直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，曲线C：(为参数)，其中a0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围 67.已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为常数）. （I）求直线和圆的普通方程； （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.68.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为a，且点A在直线l上求a的值及直线l的直角坐标方程；圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系 69. 【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；()设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值70将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（）写出C的参数方程；()设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程. 71.（）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，求的值. 72、在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a 73. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标. 74在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=（ I）求圆C的极坐标方程；（）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围 75在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程. 76已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围. 77 直线: (t为参数),圆: (为参数), ()当=时,求与的交点坐标; ()过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线;