高等数学(下)总复习PPT(同济六版).ppt

总复习总复习(一）一）2024/5/12 周日周日1.一、求极限一、求极限1 1、极限的定义：、极限的定义：单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小；无穷大；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质极限存在的条件极限存在的条件3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限2024/5/12 周日周日2.4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理2024/5/12 周日周日3.6 6、两个重要极限、两个重要极限7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性2024/5/12 周日周日4.1 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理2024/5/12 周日周日5.例例1解：解：原式原式2024/5/12 周日周日6.例例2解：解：（有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）（有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）2024/5/12 周日周日7.解解例例32024/5/12 周日周日8.解解例例42024/5/12 周日周日9.例例5 5解解2024/5/12 周日周日10.例例6 6解解2024/5/12 周日周日11.解：解：例例7 72024/5/12 周日周日12.解：解：例例8 82024/5/12 周日周日13.例例9 求函数求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为所以所以 为间断点。为间断点。所以所以 为第二类无穷间断点。为第二类无穷间断点。所以所以 为第一类可去间断点。为第一类可去间断点。2024/5/12 周日周日14.例例10 求函数求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。解：解：的间断点为的间断点为所以所以x0是可去间断点。令是可去间断点。令x=0,f(x)=1则函数在该点连续则函数在该点连续2024/5/12 周日周日15.2024/5/12 周日周日16.例例1111证明证明讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,2024/5/12 周日周日17.所以所以,2024/5/12 周日周日18.二、导数二、导数1 1、导数的定义、导数的定义单侧导数单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件左导数，右导数，可导的充要条件2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲常、反、对、幂、指、三、双曲18个公式个公式3 3、求导法则、求导法则2024/5/12 周日周日19.(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意不要漏层注意不要漏层(4)对数求导法对数求导法注意适用范围注意适用范围(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则注意注意y y的函数的求导的函数的求导(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则注意不要漏乘注意不要漏乘4 4、高阶导数、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)方法：方法：逐阶求导逐阶求导2024/5/12 周日周日20.5、微分的定义微分的定义微分的实质微分的实质6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7 7、微分的求法微分的求法基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8 8、微分的基本法则微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性微分形式的不变性复合函数的微分法则复合函数的微分法则2024/5/12 周日周日21.例例1212解解原式原式=2024/5/12 周日周日22.例例1313解解2024/5/12 周日周日23.例例1414解解2024/5/12 周日周日24.例例1515证明证明2024/5/12 周日周日25.2024/5/12 周日周日26.例例16 求下列函数的导数求下列函数的导数2024/5/12 周日周日27.2024/5/12 周日周日28.2024/5/12 周日周日29.2024/5/12 周日周日30.解解第二个方程两边对第二个方程两边对 t 求导得求导得2024/5/12 周日周日31.例例17 17 设曲线方程设曲线方程 求此曲线上纵坐标求此曲线上纵坐标处的切线方程处的切线方程.所以切点坐标为所以切点坐标为则所求切线方程为则所求切线方程为 解：先求切点坐标解：先求切点坐标.将将 代入曲线方程得代入曲线方程得将将 代入上式代入上式,得得再求曲线在切点处的切线斜率再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对方程两端对 求导，得求导，得2024/5/12 周日周日32.例例18解解两边对两边对 x 求导得求导得设设确定了确定了求求2024/5/12 周日周日33.分析分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。解：应用对数求导法。函数两边取对数得解：应用对数求导法。函数两边取对数得 所以所以 方程两边对方程两边对 求导得求导得例例19192024/5/12 周日周日34.三、导数的应用三、导数的应用1罗尔定理罗尔定理2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理3柯西中值定理柯西中值定理在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,且且 ,在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,则至少存在一则至少存在一 使使在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,，则至少存在一则至少存在一 使使则至少存在一则至少存在一 使使2024/5/12 周日周日35.一、函数的极值与单调性一、函数的极值与单调性 1函数极值的定义函数极值的定义2函数的驻点函数的驻点3函数的单调区间的判别函数的单调区间的判别 则则 为为 的驻点。的驻点。在在 上，若上，若 ，则单调增加；，则单调增加；若若 ，则单调减少；，则单调减少；为极大值为极大值.)(),()(),(000。xfxfxfxUx d d2024/5/12 周日周日36.1函数凹凸性定义函数凹凸性定义2函数的拐点函数的拐点称曲线为凹的；称曲线为凹的；称曲线为凸的。称曲线为凸的。3函数凹凸性的判别函数凹凸性的判别二、函数的凹凸性及拐点二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点凹弧与凸弧的分界点 。凹凹；凸。凸。2024/5/12 周日周日37.1第一充分条件第一充分条件三、函数极值的充分条件三、函数极值的充分条件 则则 在在 处取得极大值；处取得极大值；则则 在在 处取得极小值；处取得极小值；（3）若）若 时，时，的符号保持不变，的符号保持不变，则则 在在 处没有极值；处没有极值；（1）若）若 时，时，而而 时，时，（2）若）若 时，时，而而 时，时，2024/5/12 周日周日38.例例20证证Lagrange定理定理2024/5/12 周日周日39.例例21证证令令2024/5/12 周日周日40.例例2222解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值2024/5/12 周日周日41.例例2323解解列表讨论列表讨论2024/5/12 周日周日42.极大值极大值极小值极小值极小值极小值2024/5/12 周日周日43.