中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-含答案).pdf

1 1、二次函数的定义、二次函数的定义定义：y=ax2 bx c（a、b、c 是常数，a 0）定义要点：a 0 最高次数为 2 代数式一定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有_个。2.当 m_时,函数 y=(m+1)-2+1 是二次函数？2 2、二次函数的图像及性质、二次函数的图像及性质例 2：已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点 M 的坐标。（2）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，求 C，A，B 的坐标。抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0,a0,开口向上开口向上a0,a0,开口向下开口向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而的增大而减小减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而的增大而增大增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y y随着随着x x的的增大而减小增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0 xy023212xxy（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x 为何值时，y0？3 3、求抛物线解析式的三种方法、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a0)3,交点式:已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a0)练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是 3。例 1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值是 2，图象顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过点（3，-6）。求 a、b、c。解：二次函数的最大值是 2抛物线的顶点纵坐标为 2又抛物线的顶点在直线 y=x+1 上当 y=2 时，x=1 顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为 y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x4 4、a a，b b，c c 符号的确定符号的确定抛物线 y=ax2+bx+c 的符号问题：（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C 的符号：由抛物线与 y 轴的交点位置确定.（3）b 的符号：由对称轴的位置确定（4）b2-4ac 的符号：由抛物线与 x 轴的交点个数确定（5 5）a+b+ca+b+c 的符号：因为的符号：因为 x=1x=1 时时,y=a+b+c,y=a+b+c,所以所以 a+b+ca+b+c 的符号由的符号由 x=1x=1 时，对应的时，对应的y y 值决定。值决定。当 x=1 时，y0,则 a+b+c0当 x=1 时，y0，则 a+b+c0,则 a-b+c0当 x=-1，y0,则 a-b+c0当 x=-1，y=0,则 a-b+c=0练习练习、二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则 a、b、c 的符号为（）A、a0,c0 B、a0,c0 C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c0,b0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0，b0，c 0(2)有一个交点 b2 4ac=0y=x241)25(2 xy.2422,1aacbbx(3)没有交点 b2 4ac 0若抛物线若抛物线 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c 与与 x x 轴有交点轴有交点,则则 b2b2 4ac4ac 00例(1)如果关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴有个交点.(2)已知抛物线 y=x2 8x+c 的顶点在 x 轴上,则 c=.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0 的两个根是 x1=-2,x2=5/3,那么二次函数 y=3 x2+x-10 与 x 轴的交点坐标是.判别式：判别式：b2-4acb2-4ac二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c（a0a0）图象图象一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0（a0a0）的根）的根?b2-4ac?b2-4ac0 0?与与 x x 轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x1x1，0 0）（x2x2，0 0）?有两个不同的解有两个不同的解x=x1x=x1，x=x2x=x2?b2-4ac=0?b2-4ac=0?与与 x x 轴有唯一个轴有唯一个交点交点?有两个相等的解有两个相等的解x1=x2=x1=x2=?b2-4ac?b2-4ac0 0?与与 x x 轴没有轴没有交点交点?没有实数根没有实数根7 7 二次函数的综合运用二次函数的综合运用1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同,顶点在直线 x=1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同)0,2(abx xy yO Ox xy yO OxyOab2 a=1 或-1 又顶点在直线 x=1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5 (2)y=(x-1)2-5 (3)y=-(x-1)2+5 (4)y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.2.若 a+b+c=0,a0,把抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位,再向左平移 5 个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由 a+b+c=0 可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2)新抛物线向右平移 5 个单位,再向上平移 4 个单位即得原抛物线练习题练习题1直线y3 x1 与yxk 的交点在第四象限，则k 的范围是（）（A）k （B）k1 （C）k1 （D）k1 或k13131【提示】由，解得因点在第四象限，故0，0kxyxy13.23121kykx21k231k k131【答案】B【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等2二次函数yax2bxc 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（）（1）abc0；（2）abc0；（3）acb；（4）a2b（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【提示】由图象知a0，0，故b0，而c0，则abc0当x1 时，y0，即acb0；当ab2x1 时，y0，即acb0【答案】B【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系因a0，把（4）a两边同除以a，得2b1，即1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x1 的左侧，判断出1，两边同ab2ab2ab2时乘a，得a，知（4）是正确的2b3若一元二次方程x22 xm0 无实数根，则一次函数y（m1）xm1 的图象不经不经过过（）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【提示】由44 m0，得m10，则m10，直线过第二、三、四象限【答案】A【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质注意，题中问的是一次函数图象不不经过经过的象限4如图，已知A，B 是反比例函数y的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S1，S2，x2则（）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】因为SAPOQ|k|2，SMONB2，故S1S2【答案】A【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|5若点A（1，y1），B（2，y2），C（，y3）在反比例函数y的图象上，则（）xk12（A）y1y2y3 （B）y1y2y3 （C）y1y2y3 （D）y1y3y2【提示】因（k21）0，且（k21）y12 y2y3，故y1y2y3或用图象法求解，因（k21）0，且x 都大于 0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上y1，y2，y3 的相应位置即可判定【答案】B【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法在分析时应注意本题中的（k21）06直线yaxc 与抛物线yax2bxc 在同一坐标系内大致的图象是（）（A）（B）（C）（D）【提示】两个解析式的常数项都为c，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A），（B）再从a 的大小去判断【答案】D【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质（B）错误的原因是由抛物线开口向上，知a0，此时直线必过第一、三象限7已知函数yx21840 x1997 与x 轴的交点是（m，0）（n，0），则（m21841 m1997）（n21841 n1997）的值是（）（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897【提示】抛物线与x 轴交于（m，0）（n，0），则m，n 是一元二次方程x21840 x19970 的两个根所以m21840 m19970，n21840 n19970，mn1997原式（m21840 m1997）m（n21840 n1997）nmn1997【答案】A【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形8某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y 与x 之间的函数关系为（）（A）（B）（C）（D）【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y又因为人口数不为负数，故图象只能xa是第一象限内的一个分支【答案】D【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用（A）错在画出了x0 时的图象，而本题中x 不可能小于 0（二）填空题（每小题（二）填空题（每小题 4 4 分，共分，共 3232 分）分）9函数y的自变量x 的取值范围是_12 x11x【提示】由 2 x10，得x；又x10，x1综合可确定x 的取值范围21【答案】x，且x12110若点P（ab，a）位于第二象限，那么点Q（a3，ab）位于第_象限【提示】由题意得a0，ab0，则b0故a30，ab0【答案】一11正比例函数yk（k1）的图象过第_象限12kkx【提示】由题意得k2k11，解得k12，k21（舍去），则函数为y6 x【答案】一、三【点评】注意求出的k1 使比例系数为 0，应舍去12已知函数yx2（2m4）xm210 与x 轴的两个交点间的距离为 2，则m_2【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式来求本题有|a2，)10(4)42(22mm5616m2故m3【答案】3【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为，它有着广泛的应用|a13反比例函数y的图象过点P（m，n），其中m，n 是一元二次方程x2kx40 的两个根，那么P 点坐xk标是_【提示】P（m，n）在双曲线上，则kxymn，又mn4，故k4【答案】（2，2）【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用由题意得出kmn4 是关键14若一次函数ykxb 的自变量x 的取值范围是2x6，相应函数值y 的范围是11y9，则函数解析式是_【提示】当k0 时，有，解得bkbk69211.625bk当k0 时，有，解得bkbk29611.425bk【答案】yx6 或yx42525【点评】因k 是待定字母，而k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同故本例要分k0 时自变量最大值对应函数最大值，与k0 时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论15公民的月收入超过 800 元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足 500 元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同某人本月收入 1260 元，纳税 23 元，由此可得所纳税款y（元）与此人月收入x（元）800 x1300间的函数关系为_()【提示】因 1260800460，5%，故在 800 x1300 时的税率为 5%46023【答案】y5%（x800）【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过 800 元的部分才纳税，故列函数式时月收入x须减去 80016某种火箭的飞机高度h（米）与发射后飞行的时间t（秒）之间的函数关系式是h10 t220 t，经过_秒，火箭发射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为 0，则10 t220 t0，故t0 或t20【答案】20【点评】注意：t0 应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面（三）解答题（三）解答题17（6 分）已知yy1y2，y1 与x 成正比例，y2 与x 成反比例，并且x1 时y4，x2 时y5，求当x4 时y 的值【解】设y1k1x，y2，则yk1xxk2xk2把x1 时y4，x2 时y5 分别代入上式，得，22542121kkkk解得 函数解析式为y2 xx2当x4 时，y2442217 所求的y 值为217【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式关键在于正确设出y1，y2 与x 的函数解析式注意两个比例系数应分别用k1，k2 表示出来，而不能仅用一个k 值表示18（6 分）若函数ykx22（k1）xk1 与x 轴只有一个交点，求k 的值【提示】本题要分k0，k0 两种情况讨论【解】当k0 时，y2 x1，是一次函数，此时，直线与x 轴必有一个交点当k0 时，函数为二次函数，此时，4（k1）24 k（k1）12 k40 k31 所求的k 值为 0 或31【点评】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为 0函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在0 的条件下，图象与x 轴只有一个交点19（8 分）已知正比例函数y4 x，反比例函数y（1）当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？xkk 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由【解】由y4 x 和y，得xk4 x2k0，16 k（1）当0，即k0 时，两函数图象有两个交点；当0，即k0 时，两函数图象没有交点；（2）比例系数k0，故0 两函数图象不可能只有一个交点20（8 分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为 8 米，AD 和AD是两侧高为 5.5米的立柱，OA 和OA为两个方向的汽车通行区，宽都为 15 米，线段CD 和CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为 14（1）求桥拱DGD所在抛物线的解析式及CC的长（2）BE 和BE为支撑斜坡的立柱，其高都为4 米，相应的AB 和AB为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和AB的宽（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于 0.4 米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为 4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为 7 米，它能否从OA（OA）安全通过？请说明理由【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之所以关键是由题中线段的长度计算出D、G、D的坐标，当然也可由对称轴x0 解之至于求CC、AB、AB的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x4，求出相应的y 值，即可作出明确的判断【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x0，可设抛物线的解析式为yax2c由题意得G（0，8），D（15，5.5）.5.52258cac .8901ca y82901x又 且AD5.5，ACAD41 AC5.5422（米）CC2C2（OAAC）2（1522）74（米）CC的长是 74 米（2），BE4，BCEB41 BC16 ABACBC22166（米）ABAB6（米）（3）此大型货车可以从OA（OA）区域安全通过在y8 中，当x4 时，y168，而2901x90145377（70.4）0，453774519 可以从OA 区域安全通过21（8 分）已知二次函数yax2bxc 的图象抛物线G 经过（5，0），（0，），（1，6）三点，直线l 的25解析式为y2 x3（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y2 xm 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y2 xm 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标【解】（1）抛物线G 通过（5，0），（0，），（1，6）三点，25 ，cbaccba6255250解得 .25321cba 抛物线G的解析式为yx23 x2125（2）由，25321322xxyxy消去y，得x2x0，21211 124100，21211 方程无实根，即抛物线G 与直线l 无公共点（3）由，消去y，得2532122xxymxy x2xm0 2125 抛物线G 与直线y2 xm 只有一个公共点P，124（m）02125解得m2把m2 代入方程，解得x1把x1 代入yx23 x，得y02125 P（1，0）【点评】本题综合运用了二次函数解析式的求法抛物线与直线的交点等知识，其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解