高一数学必修5不等式题型总结.pdf

含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按一、按项的系数项的系数的符号分类，即的符号分类，即;2xa0,0,0aaa例例 1 1 解不等式：0122xaax 分析：分析：本题二次项系数含有参数，故只需对二次项044222aaa系数进行分类讨论。解解：044222aaa解得方程 两根0122xaax,24221aaaxaaax24222当时,解集为0aaaaxaaaxx242242|22或当时，不等式为,解集为0a012x21|xx当时,解集为0aaaaxaaax242242|22 例例 2 2 解不等式00652aaaxax分析分析 因为，所以我们只要讨论二次项系数的正负。0a0解解 032)65(2xxaxxa当时，解集为；当时，解集为0a32|xxx或0a32|xx二、按判别式二、按判别式的符号分类，即的符号分类，即；0,0,0例例 3 3 解不等式042 axx分析分析 本题中由于的系数大于 0,故只需考虑与根的情况。2x解：解：当即时，解集为；当即 0 时，解集为；162a4,4a0R4a2axRxx且当或即,此时两根分别为，显然,4a4a021621aax21622aax21xx 不等式的解集为21621622aaxaaxx或 例例 4 4 解不等式 Rmxxm014122 解解 因，所以当，即时，解集为；,012m 2223414)4(mm3m021|xx当，即时，解集为；33m01321322222mmxmmxx或当，即时，解集为 R。33mm或0三、按方程三、按方程的根的根的大小来分类，即的大小来分类，即；02cbxax21,xx212121,xxxxxx例例 5 5 解不等式)0(01)1(2axaax分析：分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：解：原不等式可化为：，令，可得：，当或时，故原不0)1(axaxaa11a1a10 aaa1等式的解集为；当或时，,可得其解集为；axax1|1a1aaa1当或时,解集为。01a1aaa1axax1|例例 6 6 解不等式，06522aaxx0a 分析分析 此不等式，又不等式可分解为0)3(2axax，故只需比较两根与的大小.0245222aaaa2a3解解 原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程的两根为0)3(2axax ，当时，即，解集为；当时，即，解集为axax3,2210a 23aaaxaxx23|或0a23aa|23x xaxa或一元二次不等式 参考例题（2）1(1)解不等式 （）121xx0,1|xxx或(2)不等式的解集为，求的值.（）11xax21|xxx，或a21a2解下列关于的不等式：x （1）（2）01)1(2xaax)23(0)3)(2(aaxxax，且 1|01,1)3(1)2(1|10,1)1(axaxaaaaxaxaa时，或当时，当时，或当3,2|3)3(3,2|32)2(32,|2)1(axxxaxaxxaxaxxa或时，当或时，当或时，当 （3）（4）01)1(2xaax0)2)(2(axx 11|1)5(1)4(11|10)3(1|0)2(1,1|0)1(xaxaaaxxaxxaxaxxa时，当时，当时，当时，当或时，当2,2|,1)5(2|,1)4(2,2|,10)3(2|,0)2(22|,0)1(xaxxaxxaaxxxaxxaxaxa或时当时当或时当时当时当（5）（6）012 xax)(11Raaxx 时，当时，当时，当或时，当41)4(24112411|410)3(1|0)2(2411,2411|0)1(aaaxaaxaxxaaaxaaxxa1,1|0)3(1|0)2(11|0)1(aaxxxaxxaxaaxa或时，当时，当时，当3（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（）04)2(2)2(2xaxaRxa22a （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）13642222xxmmxxRm31 m4（1）已知，0)1(|,023|22axaxxBxxxA 若，求实数的取值范围.；（）ABa2a若，求实数的取值范围.；（）AB a21 a若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）BAa1a（2）已知，求实数的取值范围.031|xxxABBAaxaxxB且,0)1(|2a （）31 a (3)关于的不等式与的解集依次为与，x2)1(|2)1(|22aax0)13(2)1(32axaxAB若，求实数的取值范围.（）BA a31,1aa或（4）设全集，集合，若，RU 3|12|,01|xxBxaxxARBA求实数的取值范围.（）a12a（5）已知全集，RU 034|,082|,06|2222aaxxxCxxxBxxxA若，求实数的取值范围.（）CBA)(a21 a 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1二次函数的图象及性质:二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，2二次函数的解析式的三种形式：2()f xaxbxc（一般式）；12()()()f xa xxxx（零点式）；nmxaxf2)()(（顶点式）3一元二次不等式的解法一元二次不等式20axbxc200axbxca或的解集：设相应的一元二次方程20axbxc0a 的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R的解集)0(02acbxax21xxxx 4解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=cbxax20(或0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集5讨论二次函数02acbxaxy在指定区间qp,上的最值问题：(1)注意对称轴abx2与区间qp,的相对位置一般分为三种情况讨论，即：对称轴2ba在区间左边，函数在此区间上具有单调性；对称轴2ba在区间之内；对称轴2ba在区间右边（2）函数02acbxaxy在区间qp,上的单调性要注意系数a的符号对抛物线开口的影响6二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置三、典型例题选讲三、典型例题选讲题型题型 1：考查一元二次函数的性质：考查一元二次函数的性质例例 1 1 函数2 (0,)yxbxcx是单调函数的充要条件是（）A0b B0b C0b D0b 解：解：函数2 (0,)yxbxcx的对称轴为2bx ，函数2(0,)yxbxc x）是单调函数-(0,)2b02b，0b 故选 A归纳小结：归纳小结：二次函数的单调区间是(,2ba 和,)2ba，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b的范围例例 2 2 已知二次函数的对称轴为2x ，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析解：二次函数的对称轴为2x ，可设所求函数为2()(2)f xa xb，()f x截x轴上的弦长为4，()f x过点(22,0)和(22,0)，()f x又过点(0,1)，4021abab，解之得122ab，21()(2)22f xx归纳小结：归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化题型题型 2：简单不等式的求解问题：简单不等式的求解问题例例 3 3 求下列不等式的解集（1）01442 xx；（2）0322xx解法一：因为210144,0212xxxx的解是方程所以，原不等式的解集是21xx解法二：整理，得0322 xx因为032,02xx方程无实数解，所以不等式0322 xx的解集是从而，原不等式的解集是归纳小结：归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察例例 4 4 不等式022bxax的解集为21xx，求a与b的值解法一：设022 bxax的两根为1x、2x，由韦达定理得：axxabxx22121 由题意得21221aab1a，1b，此时满足0a，0)2(42ab解法二：构造解集为21xx的一元二次不等式：0)2)(1(xx，即022 xx，此不等式与原不等式022bxax应为同解不等式，故1a，1b归纳小结：归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为21xx，不等式022bxax需满足条件0a，0，022 bxax的两根为11x，22x在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系题型题型 3 3：含参不等式的求解问题：含参不等式的求解问题例例 5 5 解关于x的不等式01)1(2xaax证：分以下情况讨论(1)当0a时，原不等式变为：01 x，1x，即不等式的解集为|1x x(2)当0a时，原不等式变为：0)1)(1(xax 当0a时，式变为0)1)(1(xax，不等式的解为1x或ax1即不等式的解集为1|1x xxa或；当0a时，式变为0)1)(1(xax，aaa111，当10 a时，11a，此时的解为ax11即不等式的解集为1|1xxa；当1a时，11a，此时的解为当1a 时，11a，即不等式的解集为1|1xxa归纳小结：归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：11100000aaaaaaaRa分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论0a时，解一元二次不等式01)1(2xaax应首选做到将二次项系数变为正数再求解题型题型 4 4：一元二次不等式的应用：一元二次不等式的应用例例 6 6 （1）已知函数 0101xxxxxf，则不等式 111xfxx的解集是（）A121|xx B1|xxC12|xx D1212|xx解：解：依题意得11010(1)()(1)1xxxxxxxx 或所以121121Rxxxx 或112112xxx或，选 C（2）若函数 f(x)=1222aaxx的定义域为 R，则 a 的取值范围为_解：函数22()21xax af x的定义域为 R，对一切xR都有2221xax a恒成立，即220 xaxa恒成立，0 成立，即2440aa，10a，故选 A归纳小结：归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一例例 7 已知函数21sinsin42ayxax 的最大值为2，求a的值解：解：令sintx，1,1t，221()(2)24aytaa，对称轴为2at，当112a，即22a 时，2max1(2)24yaa，得2a 或3a（舍去）当12a，即2a 时，函数221()(2)24aytaa 在 1,1上单调递增，由max111242yaa ，得103a；当12a，即2a 时，函数221()(2)24aytaa 在 1,1上单调递减，由max111242yaa ，得2a （舍去）综上可得，a的值为2a 或103a 归纳小结：归纳小结：令sintx，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间 1,1的三种位置关系的讨论就可求得a的值此题中要注意0a 的条件例例 8 设不等式2220 xaxa的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围？解：解：M1,4有两种情况：其一是M=，此时0；其二是 M，此时=0 或0，分三种情况计算 a 的取值范围设2()22f xxaxa，有=2(2)4(2)aa=24(2)aa，当0 时，1a2，M=1,4；当=0 时，a=1 或 2；当a=1 时M=11,4；当a=2 时，m=21,4当0 时，a1 或 a2设方程()0f x 的两根1x，2x，且1x2x，那么 M=1x，2x，M1,41x1x240,410)4(,0)1(且且aff，即30 1870 0 12aaaaa ，或，解得 2a718，M1，4时，a的取值范围是(1，718)一元二次不等式解法应试能力测试一元二次不等式解法应试能力测试1不等式的解集是()0 x2x62A B C D2x23|x23x2|x2x23x|x或23x2x|x或2设集合 Mx|0 x2，则有 MN()03x2x|xN2Ax|0 x1 Bx|0 x2 Cx|0 x1 Dx|0 x23对于任意实数 x，不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是()0)2a(ax2ax2A1a0 B1a0 C1a0 D1a04不等式的解集为()0)6x)(4x(22Ax|2x2 Bx|x2 或 x2 Cx|2x2 或 x6 Dx|x25已知，则 AB 的非空真子集个数为()Zx04x3x|xA2，Zx06xx2|xB2，A2 B3 C7 D86已知，且 ABR，ABx|3x4，则 p、q 的值为()0qpxx|xA201x3x|xBAp3，q4 Bp3，q4 Cp3，q4 Dp3，q47若关于 x 的二次不等式的解集是x|7x1，则实数 m 的值是()021mx8mx2A1 B2 C3 D48不等式 ax0 Ca0 且 b0 Db0 且 a0)的解集是_0bxxa1为使周长为 20cm 的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？2cm152cm202解不等式x21|x2x|23解关于 x 的不等式(a0)04x)1a(2ax24k 为何值时，关于 x 的不等式对一切实数 x 恒成立13x6x4kkx2x222参考答案参考答案一、1D 2B 3C 4C 5A 提示：因为 AB3，46A 提示：因 Bx|x3，由已知得 Ax|1x41，4 是的两根，p3，q40qpxx27C 8A，提示：因的解为，只有 a0 且 b0 时，axb 解为01xx2二、1x5 提示：原不等式化为，|x|5035|x|3|x|222x|32，1a2，提示：Ax|1x2，Bx|(x1)(xa)0，a2BA4x|xa，提示：原不等式可化为(ax)(xb)0，ab0，ab，xa 或 xb三、1设长方形较短边长为 x cm，则其邻边长(10 x)cm，显然 0 x0 时，不等式化为，即55x105x21|2x|x21|2x|解得：3原不等式化为(ax2)(x2)0，a0，当 a1 时，25x230)2x)(a2x(，x|xR 且 x2，当 a1 时：若 a1，则，若 0a1，则，2a20)2x(22a22xa2x|x或2a222|axxx 或4恒正，不等式化为，即恒成立3x6x423x6x4kkx2x2220)k3(x)k26(x22，1k30)k3(8)k26(203k4k2