复合函数(知识点总结、例题分类讲解).pdf

1复合函数的定义域和解析式以及单调性复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识复合函数相关知识】1 1、复合函数的定义、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，那么关于的 函数yuux()yf u()ug xyx叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，()yf g x()yf u()ug xu自变量为函数值为。例如：函数 是由和 复合而成立。xy212xy2uy 21ux说明：说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。()yf g xx称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。xuu()g x与表示不同的复合函数。)(xgf)(xfg2 2求有关复合函数的定义域求有关复合函数的定义域已知的定义域为，求的定义域的方法：)(xf)(ba,)(xgf已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即)(xf)(ba,)(xgfu，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。)(bau,)()(baxg,bxga)(x)(xgf已知的定义域为，求的定义域的方法：)(xgf)(ba，)(xf若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，)(xgf)(ba，)(xfx即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。)(bax，bxa)(xg)(xg)(xf3 3求有关复合函数的解析式求有关复合函数的解析式已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。)(xf)(xgf)(xfx)(xg已知求的常用方法有：配凑法和换元法。)(xgf)(xf配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把)(xgfx)(xg换)(xg成而得。x)(xf换元法：就是先设，从中解出（即用 表示），再把（关于 的式子）直接代入txg)(xtxxt2中消去得到，最后把中的 直接换成即得。)(xgfx)(tf)(tftx)(xf4.4.求复合函数的单调性求复合函数的单调性若若)(xgu)(xfy 则则)(xgfy 增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即“同增异减同增异减”法则5.5.复合函数的奇偶性复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇一偶则偶，同奇则奇【例题讲解例题讲解】一、复合函数定义域解析式一、复合函数定义域解析式例例 1 设函数，求53)(,32)(xxgxxf)(),(xfgxgf例例 2 已知，求xxxf2)12(2)122(f例例 3 已知 求；,1)(2 xxf)1(xf已知，求1)1()1(2xxf)(xf例例 4 若函数的定义域是0，1，求的定义域；)(xf)21(xf若的定义域是-1，1，求函数的定义域；)12(xf)(xf已知定义域是，求定义域)3(xf5,4)32(xf例例 5 已知，求；xxxf1)1()(xf3 已知，求221)1(xxxxf)1(xf例例 6 已知是一次函数，满足，求；)(xf172)1(2)1(3xxfxf)(xf已知，求xxfxf4)1(2)(3)(xf二、复合函数单调性及其值域二、复合函数单调性及其值域初等函数复合求单调区间与值域初等函数复合求单调区间与值域例例 1 1 已知函数，求其单调区间及值域。22513xxy变式练习变式练习 1 11.求函数=的单调区间及值域)(xf2215.0 xx2.求函数的单调区间和值域.523421xxy例例 2 2 求=的单调区间及值域)(xf2-4-5xx变式练习变式练习 2 2求函数 f(x)=的单调区间及值域212x4例例 3 3 求211221(log)log52yxx 在区间 2,4 上的最大值和最小值变式练习变式练习 3 31.求函数的单调区间及值域)45(log)(22xxxf2.求函数的最大值和最小值.2logy2x4log2x)81(,x含参数的复合函数单调性与值域问题含参数的复合函数单调性与值域问题例例 4 4 已知函数（且）试讨论其单调性。)253(log)(2xxxfa0a1a例例 5 5 求函数的值域。)2(log2xaaaxy变式练习变式练习 4 41.讨论函数的单调性其中，且)1(logxaay0a1a5根据复合函数单调性或值域求参数取值范围根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例例 6 6 设函数，若 的值域为，求实数 的取值范围)12lg()(2xaxxf)(xfR例例7 7 已知在区间上时减函数，求的取值范围.)2(logaxya 10,a例例8 若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围.)3(log2axxya21(a,a变式练习变式练习 5 5已知函数在区间上是增函数,求的范围.122axxy3,a解:令,则原函数是由与复合而成.原函数在区间上是12axxu12axxuuy23,增函数,而外层函数始终是增函数,则易知内层函数在区间上也是增uy212axxu3,函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由得,即.2,a3,2,a32a6a【过关检测过关检测】1.1.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）;（2）)(xf452 xx5)21(4)41()(xxxg2.2.求下列函数的单调递增区间：（1）;(2).22621xxy622xxy63.3.已知函数，如果对于任意x 都有成立，试求的取值范围.)10(log)(aaxxfa,)3,x1)(xfa4.4.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间上是单调递减函数.求实数)(log)(2aaxxxfa31,(a 的取值范围.5 求函数的单调区间)32(log125.0 xxy【考试链接考试链接】1.（2008 山东临沂模拟理，5 分）若，且，则与之间的大小关系是（1ayaxaayaxloglogxy）A B C D无法确定0 yx0 yx0 xy2.函数的图象大致是（）|1|lnxeyx 3（2008 江苏南通模拟，5 分）设（且），若（xxfalog)(0a1a1)()()(21nxfxfxf，），则的值等于_。Rxini,2,1)()()(33231nxfxfxf74（2008 海南海口模拟文、理，5 分）若函数 y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是_。5（2008 江苏无锡模拟，5 分）给出下列四个命题：函数（且）与函数（且）的定义域相同；xay 0a1axaaylog0a1a函数和的值域相同；3xy xy3函数与都是奇函数；12121xyxxxy2)21(2函数与在区间上都是增函数。2)1(xy12xy),0 其中正确命题的序号是：_。（把你认为正确的命题序号都填上）