勾股定理题型总结.pdf

勾股定理勾股定理1：勾股定理2、勾股逆定理3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证4EFGHSSS正方形正方形ABC D2214()2abbac方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为 所以222()2Sabaabb222abc方法三：，化简得证1()()2Sabab梯形2112S222ADEABESSabc梯形4：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，222abc，为正整数时，称，为一组勾股数abcabc记住常见勾股数可以提高解题速度，如；3,4,56,8,105,12,137,24,25；等8,15,179,40,41cbaHGFEDCBAabccbaEDCBAbacbaccabcabCABDDABC用含字母的代数式表示 组勾股数：（为正整数）；n221,2,1nn n2,n n（为正整数）（，为正整数）2221,22,221nnnnnn2222,2,mnmn mn,mnmn勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理专题一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。2、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。3：在ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为多少？4：已知如图，在ABC 中，C=60，AB=，AC=4，AD 是 BC 边上的高，34求 BC 的长。5、如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：222111hba6.如图，ABC 中，AB=AC，A=45，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E，若 CD=1，则 BD 等于()A1 B C DACBDDCBAECBA7.已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+，求这个三角形的面积68.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积Rt ABC90C3,4ACBCBAC6.如图，ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是 BC 上一点，且 ADAC，求 BD 的长7.如图，ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内一点，满足 PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度数8.已知ABC 中，ACB=90，AC=3,BC=4,（1）AD 平分BAC,交 BC 于 D 点，求 CD 长（2）BE 平分ABC,交 AC 于 E，求 CE 长专题二 勾股定理的证明1、如图，直线 上有三个正方形，若的面积分别为 5 和 11，labc，ac，则的面积为（）b（）4（）6（）16（）552、如图是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和 EF都是正方形.证：ABFDAEabclCBAABCABC3、图是一个边长为的正方形，小颖将()mn图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）A B 22()()4mnmnmn222()()2mnmnmnC D222()2mnmnmn22()()mn mnmn专题三 网格中的勾股定理1、如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数是（）A 0 B 1 C 2 D 33、（2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（）A90 B60 C45 D304、如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，则边 AC 上的高为（）A.B.C.D.2235103553554 A A B B C C D D E E F F G G H H mnmnmn图图第 3 题图5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为 3、的三角形所画的三角形是直角三角形吗?说明理由6、如图，每个小正方形的边长是 1，在图中画出面积为 2 的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四 实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ACB3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30 方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五 梯子问题1、如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（）A.B.C.D.不能确定yx yx yx ADBCEADBC专题六 最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了（）步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草 A、6B、5 C、4D、32、如图，一圆柱体的底面周长为 20，高 AB 为 10，BC 是上底面的直径。一蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程。3、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20，高 AB 为 10，在圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯，AD 是杯底直径，C 是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内壁到达高 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计）5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为 1 米，且封闭的正方体盒子外部的顶点 A 向顶点 B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？ACBACCBAEDBAC6、如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高 为 20cm，点 B 到点 C 的距离为 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 2m、0.3m、0.2m，A 和 B 是台阶上两个相对的顶点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到 B 点的最短路程是多少？.专题七 折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长 2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使 A 与 B 重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出 CE 的长吗？3、如图,ABC 的三边 BC=3，AC=4、AB=5,把ABC 沿最长边 AB 翻折后得到ABC，则 CC的长等于（）A.B.C.D.56512513524EDBACBCA201510AB030.22GFMABDCECFEBDACEFDBACGABDCAEF专题八 折叠四边形1、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求（1）CF 的长 （2）EC 的长.2、在矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点 B 与点D 重合，折痕为EF，求（1）DE 的长；（2）EF 的长。3.矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_.4、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知 AB=3，BC=7，重合部分EBD 的面积为_5、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，且 DE=6，求正方形 ABCD 的面积6、矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为 EF，展开后再沿BG 折叠，使 A 落在 EF 上的 A1，求第二次折痕 BG 的长。ABCDEG第 3 题图F专题九 旋转问题：1、如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC 的边长.2 32、如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F 是 BC 上的点，且EAF=45，试探究间的关系，并说明理由.222BECFEF、3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。4、如图所示，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=，D 是 BC 上任一点，求证：BD。902222ADCD