数列精华题型归纳(含详解).pdf

戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求1数列精华题型归纳数列精华题型归纳一、一、等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质 定义：为常数，aad daandnnn111()等差中项：，成等差数列xAyAxy2 前 项和nSaannan ndnn11212 性质：是等差数列an （）若，则；1mnpqaaaamnpq （）数列，仍为等差数列；2212aakabnnn SSSSSnnnnn，仍为等差数列；232 （）若三个数成等差数列，可设为，；3adaad （）若，是等差数列，为前 项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm （）为等差数列（，为常数，是关于 的常数项为52aSanbnabnnn0 的二次函数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的 值。adaaSnnnn110000当，由可得达到最小值时的 值。adaaSnnnn110000 如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123 （由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa31322233113戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求2 Saanaannnnn12122131218n27）二、等比数列的定义与性质二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），aaqqqaa qnnnn1110 等比中项：、成等比数列，或xGyGxyGxy 2 前 项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an （）若，则1mnpqaaaamnpq （），仍为等比数列2232SSSSSnnnnn三、求数列通项公式的常用方法三、求数列通项公式的常用方法 1 1、公式法、公式法2 2、；nnaS 求由（时，时，）naSnaSSnnn121113 3、求差（商）法、求差（商）法 如：满足aaaannnn121212251122 解：naa 1122151411时，naaannn 2121212215212211时，12122得：nnaann21annnn141221()()练习、练习、数列满足，求aSSaaannnnn111534 （注意到代入得：aSSSSnnnnn1114 又，是等比数列，SSSnnn144戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求3 naSSnnnn23411时，4 4、叠乘法、叠乘法 例如：数列中，求aaaannannnn1131 解：解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann133 5 5、等差型递推公式、等差型递推公式 由，求，用迭加法aaf naaannn110()naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：()()()aafff nn123()()()aafff nn023()()()练习、数列，求aaaanannnnn111132 （）ann1231 6 6、等比型递推公式、等比型递推公式 acad cdccdnn1010、为常数，可转化为等比数列，设axc axnn1acacxnn 11 令，()cxdxdc11 是首项为，为公比的等比数列adcadccn111 adcadccnn1111戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求4aadccdcnn1111练习、数列满足，求aaaaannnn11934 （）ann84311 7 7、倒数法、倒数法 ，例如：，求aaaaannnn11122由已知得：1221211aaaannnn ，11121aann111121aan为等差数列，公差为 ，11112121annnann21三、三、求数列前求数列前 n n 项和的常用方法项和的常用方法1 1、公式法：等差、等比前、公式法：等差、等比前 n n 项和公式项和公式2 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为 的等差数列，求ada ankkkn111解：由11111011aaaadd aadkkkkkk 11111111a ad aakkknkkkn 11111111111223111daaaaaad aannn练习、求和：111211231123 n （，）aSnnn211 3 3、错位相减法：、错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前 项aba bnnnnn戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求5 和，可由求，其中 为的公比。SqSSqbnnnn 如：Sxxxnxnn12341231 xSxxxxnxnxnnn234122341 121121：x Sxxxnxnnn xSxxnxxnnn11112时，xSnn nn112312时，4 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121相加 21211Saaaaaannnn练习已知，则f xxxfffffff()()()()()2211212313414 （由f xfxxxxxxxx()1111111112222222 原式 fffffff()()()()1212313414 12111312）例 1 设an是等差数列，若a2=3，a=13，则数列an前 8 项的和为（）7A128 B80 C64 D56 略解：a2+a=a+a=16，an前 8 项的和为 64，故应选 C718例 2 已知等比数列满足，则（）na122336aaaa，7a A64B81C128D243 答案：A戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求6例 3 已知等差数列中，若，则数列的前 5 项 na26a 515a 2nnba nb和等于（）A30B45C90D186 略解：a-a=3d=9，d=3，b=，b=a=30，的前 5 项和52126a 510 nb等于 90，故答案是 C例 4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（nnS244,20SSd）A2 B3 C6 D7 略解：,故选 B.422412,3SSSdd例 5 在数列中，,其中na542nan212naaaanbn*nN为常数，则 ,a bab 答案：1例 6 在数列中，则（）na12a 11ln(1)nnaanna A B 2lnn2(1)lnnnC D（江西卷第 5 题）2lnnn1lnnn答案：A例 7 设数列中，则通项 _ na112,1nnaaanna 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中11nnaan系数相同是找到方法的突破口1,nnaa略解：112,1nnaaan，111nnaan1221nnaan2331nnaan，将以上各式相加，得322 1aa211 1aa 121 1a ，故应填 1232 11nannnn111122nnn nn+1(1)2n n戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求7例 8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数12x为()A6B7C8 D9 答案：B使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例 4 以前的例题例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题，浙江卷第 4 题，陕西卷第 4 题，天津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国卷第 19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例 9 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数1,nnaay=x2+1 的图象上.()求数列an的通项公式；()若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bnbn+2b2n+1.2na略解：（）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列故an=1+(n-1)1=n.()由（）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-21n(2n+1-1)2=-2n0,bnbn+2b21n对于第（）小题，我们也可以作如下的证明：b2=1,bnbn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1bn+1-2nbn+1-21n21n2n2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0，bn-bn+20 ，anan1=5(n2)当a1=3 时，a3=13，a15=73 a1，a3，a15不成等比数列a13;当a1=2 时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，an=5n3附加题附加题 解解:引入字母,转化为递归数列模型.设第 n 次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为 bn，则.150nnba.3010730107)150(102109102109111111nnnnnnnnaaaaabaa即，于是)100(1071001nnaa11)107)(100(100nnaa即 .)100()107(10011aann戴氏教育戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求22.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100 人左右.100limnna4.解：（）由可得，两式相减得121nnaS1212nnaSn112,32nnnnnaaa aan又 21213aS 213aa 故是首项为，公比为得等比数列 na13 13nna（）设的公差为 nbd由得，可得，可得25b 315T 12315bbb故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa由题意可得 251 5953dd解得122,10dd等差数列的各项为正，nb0d 2d 213222nn nTnnn