中考相似和全等三角形总结分类.pdf

1九年级 相似三角形和全等三角形分类相似三角形证明方法方法一：直接寻求相似三角形只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来.例例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGDEGC EAB 。例例 2、已知ABC 中，AB=AC，A=36，BD 是角平分线，求证：ABCBCD 方法二：利用中间线段代换当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。例例 1、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DFAC=BCFE例例 2：已知：如图，在ABC 中，BAC=900，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22（2）本例的关键是证明MAEMDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：命题 1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命题 2 如图，如果 AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例例 3：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。方法三：BGABCDEM12ABCD12证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”1横向定型法欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母找到一幕中的三个顶ABBCBEBFABBCBEF点因此只需证ABCEBF2纵向定型法欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右边的比ABDEBCEFABBCABC，ABC两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点因此只需证DEEFDEF，DEFABCDEF3中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间比比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为 1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明【例题例题】“三点定型”法一类：直接利用“左看、右看、上看、下看”加“三点定型”分析（第一种题型主要是通过观察就用三点定型中横向定形法找出对应线段成比例的）例 1，已知：ACB=900，CDAB。求证：AC2=ADAB 例 2，已知：等边三角形 ABC 中，P 为 BC 上任一点，AP 的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点。求证：BPPC=BMCN 二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看”加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例 1，已知；AD 平分BAC，EF 垂直平分 AD 与 BC 的延长线交于 F。求证：DF2=BFCF3例 2，已知；在 RtABC 中，A=900，四边形 DEFG 为正方形。求证：EF2=BEFC三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例 1，已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AC 与 BD 相交于 O 点，作 BE/CD,交 CA 的延长线于点 E.求证：OC2=OA.OE例 2，已知：BD、CE 是ABC 的两个高，DGBC，与 CE 交于 F，GD 的延长线与 BA 的延长线交于 H。求证：GD2=GFGH一、等积式、比例式的证明：一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。4例例 1、已知：如图，ABC 中，ACB=900，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F。求证：CD2=DEDF。（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。或相似三角形。例例 2如图，已知ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，CFBA，BF 交AD于 P 点，交 AC 于 E 点。求证：BP2=PEPF。例例 3如图，已知：在ABC 中，BAC=900，ADBC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于 F。求证：。全等三角形证明方法中辅助线做法1 1、截长补短截长补短通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件1如图1，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC、ACB求证：AC=AE+CD 分析：要证 AC=AE+CD，AE、CD 不在同一直线上故在 AC 上截取 AF=AE，则只要证明 CF=CD52 2、倍长中线（线段）造全等倍长中线（线段）造全等利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3 3、作平行线作平行线在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，（1 1）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，的延长线相交，（2 2）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。3如图3，在等腰ABC 中，AB=AC，在 AB 上截取 BD，在 AC 延长线上截取 CE，且使 CE=BD连接 DE 交 BC于 F求证：DF=EF 四、补全图形四、补全图形 4如图4，在ABC 中，AC=BC，B=90，BD 为ABC 的平分线若 A 点到直线 BD 的距离 AD 为 a，求BE 的长 证明：延长 AD、BC 相交于 F五、利用角的平分线对称构造全等五、利用角的平分线对称构造全等 5如图5，在四边形 ABCD 中，已知 BD 平分ABC，A+C=180证明：AD=CD 证明：在 BC 上截取 BE=BA，连接 DE 620（8 分）(2014 年浙江绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC=120mm，高 AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上问加工成的正方形零件的边长是多少 mm？小颖解得此题的答案为 48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长23（12 分）（2013绍兴）在ABC 中，CAB=90，ADBC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上（1）如图 1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图 2，AC：AB=1：，EFCE，求 EF：EG 的值23我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：ABC、A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，C=Cl 求证：ABCA1B1C1(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点 B，B1作 BDCA 于 D，B1 D1C1 A1于 D1.则BDC=B1D1C1=900，BC=B1C1，C=C1，BCDB1C1D1，BD=B1D1(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论