北师大版八年级上册期末压轴题.doc

北师大版八年级上册期末压轴题
7．（3分）若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是（）
A． 7cm B． 10cm C． cm D． 12cm
16．（4分）如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是．

17．（4分）如图所示的“贾宪三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第四行的四个数恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3的系数； 第五行的五个数恰好对应着（a+b）4的展开式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的系数；
根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答：
（1）图中第七行正中间的数字是；
（2）（a+b）6的展开式是．

24．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=105°，AC边上的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，连结CD．
（1）若AB=10，BC=6，求△BCD的周长；
（2）若AD=BC，试求∠A的度数．

25．（12分）请阅读下列材料：
问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．

设路线1的长度为l1，则l1=AB+BC=2+8=10；
设路线2的长度为l2，则l2===；
∵=102﹣（4+16π2）=96﹣16π2=16（6﹣π2）＜0
∴即l1＜l2
所以选择路线1较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：l1=
路线2：l2=
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

26．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别是边AC、BC上的动点．AB=，设AE=x，BF=y．
（1）AC的长是；
（2）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；
（3）当DE⊥DF时，试探索x、y的数量关系．

7．D 16． 17.（1）20 (2) a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
24解：（1）∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AD=CD．
∵ C△BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
又∵ AB=10，BC=6，∴ C△BCD=16；
（2）∵ AD=CD
∴∠ A=∠ACD，设∠ A=x，
∵AD=CB，∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD．
∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB=∠A+∠ACD=2x，
∵∠A、∠B、∠ACB是三角形的内角，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x+2x+105°=180°，解得x=25°
25．解答： 解：（1）①l1=4+2×2=8，
l2==；
②∵=82﹣（16+4π2）=48﹣4π2=4（12﹣π2）＞0，
∴，即l1＞l2，所以选择路线2较短．
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，
路线1：l1=4+h，路线2：l2=，
∵=（4+h）2﹣（h2+4π2）=16+8h+h2﹣h2﹣4π2=16+8h﹣4π2=4（2h+4﹣π2）
∴当2h+4﹣π2=0时，即h=时，l1=l2，两条路线一样长，选择哪条路线都可以；
当2h+4﹣π2＞0时，即h＞时，l1＞l2，选择路线2较短；
当2h+4﹣π2＜0时，即h＜时，l1＜l2，选择路线1较短．
故答案为：8、．
26．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=AB，
∵AB=，∴AC=4；
（2）如图，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H
∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB∴AD=CD=BD
∵在等腰直角三角形ACD中，DG⊥AC，∠A=45°
∴DG=AG=AC=2同理DH=2
∵S△CDE=CE•DG=4﹣x，S△CDF=CF•DH=4﹣y，
∴S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF=（4﹣x）（4﹣y）=8﹣（x+y）=5；
（3）当DE⊥DF时，∠EDF=90°
∵CD⊥AB∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°
∴∠ADE=∠CDF，
又∵∠A=∠DCF=45°，AD=CD在△ADE与△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF∴AE=CF
∴AE+BF=CF+BF=BC即x+y=4．

16．（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．

17．（4分）将两个斜边长相等的直角三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°．∠A=45°，∠D=30°．
（1）∠CBA=°；
（2）把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B=．

16. 10 17.(1) 45° (2) 15°
17．（4分）如图，长方形的宽AB=3，长BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．
（1）线段AB′的长为；
（2）当△CEB′为直角三角形时，CE的长为．

25．（13分）如图，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：△ADE是直角三角形；
（3）已知△ADE的面积为30cm2，DE=13cm，求AB的长．

26．（13分）如图，已知△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a（a＜8）个单位到△DEF的位置．
（1）求△ABC的BC边上的高；
（2）连结AE、AD，设AB=5．
①求线段DF的长；
②当△ADE是等腰三角形时，求a的值．

17.(1)3 (2) 1或．
25解：（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD；
（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠B=45°，∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，∴△ADE是直角三角形；
（3）解：由题意得：AD•AE=30，即AD•AE=60，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2=132=169，
∴（AD+AE）2=AD2+AE2+2AD•AE=289，∴AD+AE=17，
由（1）得：△ACE≌△BCD，∴BD=AE，∴AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

26解：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC的面积为16，BC=8，∴×8×AM=8，∴AM=4，∴△ABC的BC边上的高是8；
（2）①在Rt△AMB中，BM===3，∴CM=BC﹣BM=8﹣3=5，
∴在Rt△AMC中，AC===，∴DF=AC=，
②如图2当△ADE是等腰三角形时，有三种情况：
当AD=DE时，a=5，
当AE=DE时，又∵AB=DE，∴AB=AE，∴BE=2BM=6，∴a=6；
当AE=AD时，在Rt△AME中，
AM=4，AE=a，ME=a﹣3，
由勾股定理得：42+（a﹣3）2=a2，解得：a=，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，a的值为5或6或．

3. (12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B =90°，AD＝3，BC=4，点E在AB边上，BE=3，∠CED =90°.
（1）求CE的长度；
（2）求证：△ADE≌△BEC；
（3）设点P是线段上的一个动点，求 DP ＋ CP 的最小值是多少？

（备用图）
4.（14分）在△ABC中，D是边BC的中点.
（1）①如图1，求证：△ABD和△ACD的面积相等；
②如图2，延长AD至E，使DE=AD，连结CE，求证：AB=EC.
（2）当∠BAC=90°时, 可以结合利用以上各题的结论，解决下列问题：
①求证：AD=BC（即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
②已知BC=4，将△ABD沿AD所在直线翻折，得到△ADB′，若△ADB′与
△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请画出图形（草图）并求出AC的长度．

3(1)………………………………………………（3分）
(2) ……………………………………（4分）

①……………………………………………………………… （5分）
②…………………………………… （6分）
③≌△BEC(AAS) ………………………………………（7分）
(3)延长DA至F，使得AD=AF，并连接CF,此时CF与AB的交点为点P,
,且AD=AF△DEF是等腰三角形…………………………………… （9分）
DP=FP DP+CP的最小值为CF, ……………………………………… ……（10分）
过点F作FH垂直CB的长线，垂足为H，显然CH=7，FH=7，根据勾股定理可得，
…………………………………………（12分）
4.(本题14分）（1）证明：①过点A作AH⊥BC，垂足为H………………………（1分）
则S△ABD=BD·AH， S△ACD =CD·AH, …………………………………… （2分）
∵点D是BC中点，∴BD=CD,
∴△ABD和△ACD的面积相等……………………………………………………… （3分）
②在△ABD和△ECD中，∵BD=DC，∠BDA=∠CDE，AD=ED，………………………（4分）
∴△ABD≌△ECD(S.A.S)，………………………………………………………… （5分）
∴AB=EC……………………………………………………………………………… （6分）
(2) ① ∵△ABD≌△ECD(已证)∴∠B=∠ECD，……………………………………（7分）
∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ECD+∠ACB =90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°…………………………………………………………………（8分）
∵AB=CE(已证)，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA(S.A.S)，………………………………………………………… （9分）
∴BC=AE，∵AD=AE，∴AD=BC．………………………………………………（10分）
②画草图如下：

…………（12分）
（Ⅰ）当AB>AC时，如图1，由△ADB′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
再根据第（1）①题的结论，可以得到点O既即是ABˊ的中点，也是CD的中点，
从而证得△AOC≌△BˊOD,得AC= BˊD=BD=BC=2;……………………（13分）
（Ⅱ）当AB<AC时，
方法一:如图2，与第（Ⅰ）题同理可以证得△AOBˊ≌△COD, ∴ABˊ= CD = 2,
∠Bˊ=∠CDO,又∵ ∠Bˊ=∠B , ∴∠B=∠CDO, ∴AB//OD, ∴∠COD =∠A=900，
又∵DO=OBˊ= 1,由勾股定理可得CO=，进而得到AC=2CO=
方法二: 如图2，与第（Ⅰ）题同理可以证得△AOBˊ≌△COD, ∴ABˊ= CD = 2,
利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,从而得到△ADBˊ是等边三角形,可
得AO=，进而得到AC=.
（Ⅲ）当 AB=AC时，由等腰三角形的性质可知，折叠后重合的面积等于△ABC面积的，不可能等于，所以不合题意，舍去.
综上所述：AC=2或………………………………………………………………（14分）
25．（11分）已知中，，，．在射线上取一点，使得为等腰三角形，这样的三角形有几个？请你求的周长．

26．（12分）如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，。连结交于点。
（1）请你找出一对全等的三角形，并加以证明；
（2）直线是否互相垂直，请说明理由；
（3）求证：；

25．（11分）解：在中，
………………………………1分
① 如图1，当时，
,……………………………………………3分
得的周长为32m．………………………………5分
② 如图2，当时，
得,……………………………………………………………6分
在中，………7分
∴的周长为…………………………………8分
③ 如图3，当为底时，设则
在中，
即……………………………………………………9分
解得：,……………………………………………………………10分
得的周长为………………………………………………11分
A
D
C
B
A
D
B
C
A
D
B
C
图1
图2
图3

26．（12分）
解：（1）≌，………………1分
理由是： ∵
∴ 即……………………3分
又∵，
∴≌……………………5分
（2），………………………6分
理由是：
∵≌∴……………………7分
∵ …………8分
∴∴……………………9分
∴………………………………………10分
(3)作于，于
∵≌
∴ ， …………………11分
∴
∴
∴是的平分线，
即…………………………………12分

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线AC于E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD、CF、DF．（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．
①直接写出y关于x的函数关系式及定义域；②求证：△CDF是等边三角形；
（2）如果BE=2，请直接写出AD的长．

2. 已知：三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．
（1）设BE=x，B′C=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．

3. 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

4. 已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．
（1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，
①求证：△BDE≌△ADC；
②若DC=3，求AE的长；
（2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．