初中的数学动点问题归纳.pdf

实用标准文案精彩文档xAOQPBy图（3）ABCOEFABCOD图（1）ABOEFC图（2）动点问题动点问题题型方法归纳题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点一、三角形边上动点1、（2009 年齐齐哈尔市）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，364yx AB、PQ、O同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒 1 个AQOA单位长度，点沿路线运动POBA（1）直接写出两点的坐标；AB、（2）设点的运动时间为 秒，的面积为，求出与 之间QtOPQSSt的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点485S POPQ、的平行四边形的第四个顶点的坐标M解：1、A（8，0）B（0，6）2、当 0t3 时，S=t2 当 3t8 时，S=38(8-t)t提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点 O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP 为边、OQ 为边，OP 为边、OQ 为对角线，OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（2009 年衡阳市）如图，AB 是O 的直径，弦 BC=2cm，ABC=60（1）求O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与O 相切；（3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为，连结 EF，当 为何值时，BEF 为直角三角形)20)(tstt注意：第（3）问按直角位置分类讨论实用标准文案精彩文档OMBHACxy图（1）OMBHACxy图（2）xyMCDPQOABPQABCD3、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为(1)23 3(0)ya xa(2)A ，0，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连DOOMADDxOMCBx结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间POOMP为问当 为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？()t stDAOP（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒 1 个长度OCOBPQOB单位和 2 个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随OCBO之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当 为何值时，四边形t()sPQt的面积最小？并求出最小值及此时的长BCPQPQ注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。二、二、特殊四边形边上动点特殊四边形边上动点4、（2009 年吉林省）如图所示，菱形的边长为 6 厘米，从初始时刻开始，点、ABCD60BP同时从点出发，点以 1 厘米/秒的速度沿的方向运动，点以 2 厘米/秒的速度沿QAPACBQ的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时ABCDQDPQPQ间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角xAPQABCyO形），解答下列问题：（1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；PQ（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值PQAPQx是 秒；（3）求与之间的函数关系式yx提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类；提醒-高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、（2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（0S），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值实用标准文案精彩文档注意：第（2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（3）问发现MBC=90，BCO 与ABM 互余，画出点 P 运动过程中，MPB=ABM 的两种情况，求出 t 值。利用 OBAC,再求 OP 与 AC 夹角正切值.6、(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A(，0)，B(3，2)，C（0，2)动点 D 以每秒 133个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作 EF 上 AB，交 BC 于点F，连结 DA、DF设运动时间为 t 秒(1)求ABC 的度数；(2)当 t 为何值时，ABDF；(3)设四边形 AEFD 的面积为 S求 S 关于 t 的函数关系式；若一抛物线 y=x2+mx 经过动点 E，当 S2时，求 m 的取值范围(写出答案即可)3注意：发现特殊性，DEOA7、（07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且AOC=60，点 B 的坐标是，点 P 从点 C 开始以(0,8 3)每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动，同时，点Q 从点 O 开始以每秒 a（1a3）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动，设秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D.(08)tt（1）求AOB 的度数及线段 OA 的长；（2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（3）当时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解43,33aOD析式；（4）当a为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并OABOAB加以证明.8、（08 黄冈）已知：如图，在直角梯形中，以为原点建立平面直角坐标系，COABOCABO三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，ABC，(8 0)(810)(0 4)ABC，DBCPO以每秒 1 个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为 秒OABDtBACDPOQxy实用标准文案精彩文档yOxCNBPMA（1）求直线的解析式；BC（2）若动点在线段上移动，当 为何值时，四边形的面积是梯形面积的？POAtOPDCCOAB27（3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与POOABDOPDSS的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；tt（4）当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出PABOAQCQPD此时动点的坐标；若不能，请说明理由P9、(09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点B.21410189yxx过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当 0t时,PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;92(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程提示：第（3）问用相似比的代换，得 PF=OA（定值）。第（4）问按哪两边相等分类讨论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、三、直线上动点直线上动点8、（2009 年湖南长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与2yaxbxc0a xAB、轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和yCACBCAC、，、(3 0)A ，(03)C，4x 时二次函数的函数值相等2x y（1）求实数的值；abc，（2）若点同时从点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点MN、BBABC、到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 秒时，连结，将沿翻折，tMNBMNMNB点恰好落在边上的处，求 的值及点的坐标；ACPtP（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以QBNQ，为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不ABCQ存在，请ABDCOPxyABDCOxy（此题备用）实用标准文案精彩文档说明理由提示：第（2）问发现特殊角CAB=30,CBA=60特殊图形四边形 BNPM 为菱形；第(3)问注意到ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC 相似的BNQ，再判断是否在对称轴上。9、（2009 眉山）如图，已知直线与轴交于点 A，与轴交于112yxyx点D，抛物线与直线交于 A、E 两点，与轴交于 B、C 两点，212yxbxcx且B 点坐标为(1，0)。求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M，使的值最大，求出点 M 的|AMMC坐标。提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形-P 为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点 P，A 为直角顶点时，过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P，E 为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009 年兰州）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于x运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由注意：第（4）问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。实用标准文案精彩文档ADPCBQ图 1DAPCB（Q）图 2图 3CADPBQ11、（2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为xOy，延长 AC 到点 D,使 CD=,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于6,0A 6,0B0,4 3C12AC点 E.（1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线将四边形 CDFE 分ykxb成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达ykxbA 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为.见“最短路线问题”专题。12、(2009 年上海市)已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足（如图 1 所示）ABADPCPQ（1）当 AD=2，且点与点重合时（如图 2 所示），求线段的长；QBPC（2）在图 8 中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，AP32AD QABB Q、xAPQPBCSyS其中表示APQ 的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义APQSPBCSPBCyx域；实用标准文案精彩文档ACBPQED（3）当，且点在线段的延长线上时（如图 3 所示），求的大小ADABQABQPC注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PCBD 时，点 Q、B 重合，x 获得最小值；当 P 与 D 重合时，x 获得最大值。第（3）问，灵活运用 SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQPBCP，得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。13、（08 宜昌）如图，在 RtABC 中，ABAC，P 是边 AB（含端点）上的动点过 P 作 BC 的垂线 PR，R为垂足，PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS 上存在一点 T，若以线段 PT 为一边作正方形PTEF，其顶点 E，F 恰好分别在边 BC，AC 上（1）ABC 与SBR 是否相似，说明理由；（2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系；（3）设边 AB1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当 p 运动到使 T 与 R 重合时，PA=TS为最大；当 P 与 A 重合时，PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(2009 年河北)如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点P、Q 运动的时间是 t 秒（t0）（1）当 t=2 时，AP=，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值(第 13 题)TPSREABCF(第 13 题)TPSREABCF实用标准文案精彩文档提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形，；（）按点 P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形，t 时，时15、（2009 年包头）已知二次函数（）的图象经过点，2yaxbxc0a(10)A，直线（）与轴交于点(2 0)B，(02)C，xm2m xD（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以xm2m EEEDB、为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；AOC、Em（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请FABEF求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由mABEF提示：第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形 ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。四、四、抛物线上动点抛物线上动点16、（2009 年湖北十堰市）如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标-C 为顶点时，以 C为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与实用标准文案精彩文档OyxBEADCFBC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积17、（2009 年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的ABCDAxDy负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，抛物线过AByEBC，xF1OE 24yaxbx三点 ADF、（1）求抛物线的解析式；（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，QDF、QxADMBCN若，则判断四边形的形状；32FQNAFQMSS四边形AFQM（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若DBPCBHAPPHAPPH存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由注意：第（2）问，发现并利用好 NMFA 且 NMFA;第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明三年共同点：三年共同点：探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；实用标准文案精彩文档“坐标几何题坐标几何题”（动点问题）分析（动点问题）分析 广东中考题（2003）070809动点个数两个 一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含 60的特殊菱形；AOB 是底角为 30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用 a、t 范围，运用不等式求出 a、t 的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是 45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D、E 是定点；动线段 PF 长度是定值，PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）