第五章-刚体力学基础习题课(第三讲).ppt

第五章第五章 刚体力学基础习题课（第三讲）刚体力学基础习题课（第三讲）大学物理（一）大学物理（一）主讲：陈秀洪主讲：陈秀洪一、小结一、小结二、二、例题例题1.1 1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2 2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3 3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标.定轴转动的定轴转动的特点特点 1 1、刚体定轴转动的描述、刚体定轴转动的描述一、小结一、小结2.2 2、力矩、力矩 P*O :力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P,且在转动且在转动平面内平面内,为由点为由点O 到力的作到力的作用点用点 P 的径矢的径矢.对对o点点 的力矩的力矩 3.O 1 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量于转轴方向的两个分量 2 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的力对转轴的力矩矩对对Z轴的力矩：轴的力矩：沿沿Z轴的分量轴的分量4.3 3、转动惯量、转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元转动惯量的决定因素为：转动惯量的决定因素为：转轴的位置。转轴的位置。质量分布；质量分布；总质量；总质量；5.4 4、转动定律、转动定律 5 5、转动动能、转动动能 M与与具有：同轴性、同时性、同方向性。具有：同轴性、同时性、同方向性。6、力矩的功、力矩的功7、刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理(1)(1)质点的角动量质点的角动量 质点以角速度质点以角速度作半径为作半径为r 的的圆运动，相对圆心的角动量大圆运动，相对圆心的角动量大小：小：大小大小8 8、角动量、角动量6.（2 2）质点系的角动量：）质点系的角动量：（3 3）刚体作定轴转动的角动量：）刚体作定轴转动的角动量：质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：作定轴转动的刚体，其作定轴转动的刚体，其内部所有质点绕轴做半径内部所有质点绕轴做半径不等的圆周运动，具有相不等的圆周运动，具有相同的角速度：同的角速度：矢量式：矢量式：7.1010、角动量守恒定律、角动量守恒定律9、角动量定理：、角动量定理：（1 1）质点系角动量定理）质点系角动量定理（2 2）刚体定轴转动角动量定理）刚体定轴转动角动量定理（1 1）质点系角动量守恒定律）质点系角动量守恒定律（2 2）刚体定轴转动角动量守恒定律）刚体定轴转动角动量守恒定律条件：条件：结论：结论：8.定轴转动定轴转动角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论：多个刚体，角动量守恒表达多个刚体，角动量守恒表达式为：式为：单个刚体，角动量守恒单个刚体，角动量守恒 即：即：=C 刚体作惯性转动。刚体作惯性转动。条件：条件：结论：结论：9.质点和刚体，角动量守恒表达式为：质点和刚体，角动量守恒表达式为：注意：注意：是质点速度在是质点速度在转动平面内的分量。转动平面内的分量。10.对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达恒的表达式：式：若动作后角速度增加，则若动作后角速度增加，则 与与d 同向，所以同向，所以例如：花样滑冰运动员。例如：花样滑冰运动员。问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能 如何变化？如何变化？11.刚体力学习题课（刚体力学习题课（14）1.质质量量为为M的的匀匀质质圆圆盘盘，可可以以绕绕通通过过盘盘中中心心垂垂直直于于盘盘的的固固定定光光滑滑轴轴转转动动，绕绕过过盘盘的的边边缘缘挂挂有有质质量量为为m，长长为为L的的匀匀质质柔柔软软绳绳索索(如如图图)，设设绳绳与与圆圆盘盘无无相相对对滑滑动动，试试求求当当圆圆盘盘两两侧侧绳绳长长之之差差为为S时时，绳绳的的加加速速度度的的大小。大小。0解解:受力分析如图受力分析如图:二、二、例题例题12.0(1);(2)(3);(4)(5)(6)(7)解得解得:13.2.固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴平对称轴00转动，设大小圆柱的半径分别为转动，设大小圆柱的半径分别为R和和r，质量分别为质量分别为M和和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体和物体m2相连，相连，m1和和m2则挂在圆柱体的两侧，如图则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设所示，设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。张力。解：受力分析如图解：受力分析如图14.3.长为长为L的均匀细杆可绕过端点的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动。把杆的固定水平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌面上的小球面上的小球m相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度性的，求碰后小球获得的速度.0解解:机械能守恒机械能守恒:碰撞碰撞:角动量守恒角动量守恒,机械能守恒机械能守恒.解得解得:(1)(2)(3)15.对于对于(2)式式,也可从如下得到也可从如下得到:设碰撞时间为设碰撞时间为:对小球由质点的动量定理对小球由质点的动量定理:对棒由角动量定理对棒由角动量定理:0.16.4.4.一半径为一半径为R R0.30 m0.30 m，质量为，质量为M M15 kg15 kg，质量均匀，质量均匀分布的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转分布的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量悬一质量m m8.0 kg8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间的摩的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求物体自静止下落，擦，求物体自静止下落，5 s5 s内下降的距离。内下降的距离。解：受力分析如图解：受力分析如图解得：解得：17.例例1、一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少?解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统.子子弹射入竿的过程系统角动量守恒弹射入竿的过程系统角动量守恒射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.18.例例2：长长为为L的的匀匀质质细细棒棒，一一端端悬悬于于O点点，自自由由下下垂垂，紧紧接接O点点悬悬一一单单摆摆，轻轻质质摆摆绳绳的的长长为为L，摆摆球球的的质质量量为为m，单单摆摆从从水水平平位位置置由由静静止止开开始始自自由由下下摆摆，与与细细杆杆作作完完全全弹性碰撞，碰后单摆停止。弹性碰撞，碰后单摆停止。求：求：(1)细杆的质量；细杆的质量；(2)细杆摆动的最大角度细杆摆动的最大角度OLm解解:球下摆机械能守恒球下摆机械能守恒球与细杆作完全弹性碰撞球与细杆作完全弹性碰撞角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：杆摆动杆摆动机械能守恒：机械能守恒：解得解得:19.例题例题3、一均匀圆盘、一均匀圆盘,质量为质量为M,半径为半径为R,可绕铅直轴可绕铅直轴自由转动自由转动,开始处于静止状态开始处于静止状态,一个质量为一个质量为m的人的人,在圆在圆盘上从静止开始沿半径为盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动的圆周走动,如图所示如图所示.求求当人走完一周回到盘上原位置时当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面转圆盘相对于地面转过的角度过的角度.解解:由人、圆盘组成的系统对铅由人、圆盘组成的系统对铅直轴角动量守恒直轴角动量守恒20.式中式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反.21.例例4：一根长为：一根长为l，质量为，质量为m的匀质细杆，一端与光滑的匀质细杆，一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是质量也是m的小球，且小球半径的小球，且小球半径Rl。设杆由水平位。设杆由水平位置自由释放。置自由释放。求：杆下摆至任意角度时的角速度和角求：杆下摆至任意角度时的角速度和角 加速度加速度 mgmgO22.解：细杆在下摆过程中，解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，重力矩作用杆的质心处，即：即：小球的重力矩：小球的重力矩：由转动定律：由转动定律：所以有：所以有：即：即：mgmgO23.解得：解得：mgmgO利用机械能守恒定律求解：利用机械能守恒定律求解：24.例题例题5、如图、如图,一矩形匀质薄板一矩形匀质薄板ABCD,长为长为l、宽为、宽为d、质量为、质量为m。板绕竖直轴。板绕竖直轴AB以初角速度以初角速度 转动，转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度减。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？为初角速度的一半？解：这是定轴转动问题，利用解：这是定轴转动问题，利用定轴转动定律求解。定轴转动定律求解。如图：取面元如图：取面元x dxABCDldxo受阻力：受阻力：对轴的阻力矩：对轴的阻力矩：所有对轴的阻力矩：所有对轴的阻力矩：25.x dxABCDldxo面密度：面密度：，板对轴的转动惯量：，板对轴的转动惯量：由定轴转动定律：由定轴转动定律：即：即：解得：解得：26.例题例题6.装置如图所示装置如图所示,绳的上端绕在圆柱上绳的上端绕在圆柱上,下端系一重下端系一重物物,质量为质量为m.重物自然下垂重物自然下垂,由静止开始下落由静止开始下落,并带动圆柱并带动圆柱自由转动自由转动.求重物降落高度为求重物降落高度为h时的速率时的速率v.已知圆柱的质已知圆柱的质量为量为M,半径为半径为R.(绳子的质量不计且不可伸长绳子的质量不计且不可伸长.)解解:（1 1）（2 2）法二法二:27.例题例题7.7.如图所示如图所示,两个均匀圆柱各自绕自身的轴转两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动动,两轴互相平行两轴互相平行.圆柱半径分别为圆柱半径分别为 质量分别为质量分别为 .开始时两柱分别以角速度开始时两柱分别以角速度 同向旋转同向旋转.然后缓缓移动然后缓缓移动它们它们,使之相互接触使之相互接触.求两柱的最终角速度求两柱的最终角速度 解解:（1 1）(2)(2)（3 3）（4 4）（5 5）28.例题例题8.如图，已知：如图，已知：木板宽木板宽L=0.60m、质量、质量M=1kg，木板绕木板绕水平固定光滑水平固定光滑OO轴的转动惯量为轴的转动惯量为J=ML2/3。质量质量为为m=1010-3kg的的子弹子弹以以v0=500m/s速率，距速率，距OO轴为轴为l=0.36m处垂直射穿木板，处垂直射穿木板，子弹穿出木板后速率为子弹穿出木板后速率为v=200m/s。求求:（1）子弹给木板的冲量；）子弹给木板的冲量；（2）木板获得的角速度。）木板获得的角速度。OOLlv0vA29.解解（1）由动量定理，得）由动量定理，得（2）由角动量守恒，得）由角动量守恒，得其中：其中：解得：解得：OOLlv0vA木板给子弹的冲量木板给子弹的冲量子弹给木板的冲量子弹给木板的冲量30.v0v0Oxdx 例例题题9.已已知知：棒棒长长2L，质质量量m，以以v0平平动动时时，与与支支点点O发发生生完完全全非非弹弹性性碰碰撞撞。碰碰撞撞点点为为L/2处处，如如图图所所示示。求棒在碰撞后的瞬时绕求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度点转动的角速度。解解:碰前碰前棒对棒对O点的角动量点的角动量如图：取如图：取角动量：角动量：碰后棒对碰后棒对O点的角动量点的角动量角动量守恒：角动量守恒：31.例题例题10.质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位当细杆静止于水平位置时置时,有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处,并背并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向小虫应以多大速率向细杆端点爬行细杆端点爬行?解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒32.由角动量定理由角动量定理即即考虑到考虑到33.