2004-北京奥运会-数学建模-超市.doc

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问题重述2008年北京奥运会全面设计和实施阶段，为了满足观众、游客及工作人员等的购物需求，需要在比赛主场馆的周边区域（即图中所标示的A1-A10、B1-B6、C1-C4区域）设置临时商业网点，即迷你超市MS网，以满足各类人员在奥运会期间的购物需求。设置时需要满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均匀和商业上盈利。 图一和图二给出了相应的信息在规定的20个商业区设计的MS网点。图三是预演运动的运动场，从问卷调查中可以得到人流量的规律。问题1.找出观众出行、用餐和购物的规律。问题2.根据每位观众平均每天采取最短路径一次进出场馆一次出 入餐饮，测算上述20个区域的人流量分布。问题3.给出具体的MS设计方案，要满足奥运会期间购物的需求，超市分布均衡且能赢利。问题4.结果要贴近实际，最后阐明所用方法的科学性。二 问题分析 问题的总括： 通过统计调查问卷，我们可以得出奥运会观众出行和用餐的需求偏好 及购物欲望，并以此为根据测算出北京奥运会体育馆周边各个商区的人流量分 布，从而更进一步结合实际，设计出各个商区内MS网点的最优分布。 问题一：我们根据奥运会预演附录所给的数据，由EXCEL分别找出观众在出行、用餐、购物等方面的规律并且逐步细化全体观众在出行、用餐及购物方面的基本特点，及其随不同消费档和年龄的变化所反映的规律。问题二： 1、网点能满足观众的购物欲望（非餐饮方面）。 2、两种类型的MS网点分布基本均匀。 3、使得期间网点商业净利润为正，并且尽可能大。 问题的关键与难点： 1、找准问卷反映的规律。 2、测量最短路径，从观众的角度选择路径。 3、把两种MS规模及商区的面积按实际量化建模，定量设计网点。 综上，问题的解决过程要分找规律、求人流量比例，设计网点三个步骤。（即 题目顺序） 三 模型假设1 每位观众平均每天出行两次，一次为了进体育馆看奥运，一次为出体育馆用餐。2 每个看台容量为1万人，观众均在看完比赛后进行用餐，所以每个时刻各个看台出口的人数相同。3 比赛主馆场中人流量分布与某运动场预演的运动会的人流量分布情况相同。4 北京奥运和某体育场馆的人群结构相同，即各种人群比例相同，且个人倾向相似。四 符号说明 二 十 个 商 区 的 集 合 ， 即 A ,B , C ,i =1.4, j =1.6,k= 1.10 中的元素，即 N 商区中大规模超市的个数 n 商区中小规模超市的个数 Cb 一个大规模超市的总成本（包括构建成本，经营成本等） Cs 一个小规模超市的总成本 Rb 商区中所有大超市的营业收入之和 Rs 商区中所有小超市的营业收入之和 D 商区的总需求 Q 商区一天的人流量五 模型的建立问题1：、下面将返回的问卷数目，统一称为调查的人数。我们根据奥运会预演附录所给的数据，由EXCEL分别找出观众在出行、用餐、购物等方面的规律并且逐步细化全体观众在出行、用餐及购物方面的基本特点，及其随不同消费档和年龄的变化所反映的规律。1、年龄段与出行方式 表1：年龄段与出行方式之间的关系年龄段公交（南北）公交（东西）出租私车地铁（东）地铁（西）总人数20岁以下2.689%1.491%1.849%1.066%2.047%1.840%11.075%20-30岁9.953%9.509%11.170%5.358%11.462%11.509%58.019%30-50岁7.425%8.594%9.009%4.151%8.509%8.802%20.179%50岁以上1.547%1.972%1.906%0.764%1.726%1.868%10.726% 图一: 年龄段与出行方式之间的关系由图一我们可以得知私家车偏少，大多数的人都会选择公交、地铁或者出租车。2、年龄段与用餐方式表2：用餐方式与年龄段关系年龄段中餐西餐商场（餐饮）20岁以下1.160%5.208%4.708%20-30岁9.358%35.934%12.726%30-50岁12.462%22.991%11.038%50岁以上4.340%3.415%3.443%图二：年龄段与用餐方式关系图由图二我们可以看出选择西餐的观众明显较多。 3、年龄段与消费额： 表3：消费额与年龄段之间的关系年龄段消费额0-100100-200200-300300-400400-500500-600综合20岁以下3.047%3.705%1.404%0.359%0.164%0.090%8.768%20-30岁5.153%7.924%25.655%6.154%0.598%0.448%45.933%30-50岁6.901%9.299%16.812%2.831%0.583%0.381%36.806%50岁以上4.444%3.503%0.344%0.090%0.067%0.045%8.492%图三：年龄段与消费额关系由图三我们可以得知20-30岁的人群占了消费人群的大多数。表四：用餐方式与消费额关系用餐方式消费额0-100100-200200-300300-400400-500500-600中餐4.896%6.632%9.274%1.491%0.123%0.057%西餐8.868%12.009%24.896%5.623%0.792%0.330%商场（餐饮）5.670%6.160%9.868%2.160%0.566%0.585%图四：用餐方式与消费额关系 由表四和图四我们可以得出大多数的用餐都集中在西餐，尤其在200300元的消费档上最为明显问卷调查了观众的乘车方式、餐饮、消费额（非餐饮），通过统计分析问卷调查的数据发现：出行、用餐、和购物等方面都与年龄、消费水准等因素有关，其中年龄为主要因素。 例如：20-30岁的人群消费观念较强，消费额大部分都在3档，占总人数的32.4%，是大部分销售额的客户来源。故可以将人群按性别和年龄段分成4种人群：20岁以下观众，20-30岁观众，30-50岁观众，50岁以上观众。后文所有的考虑都将在将人群分为这4种人群的基础之上。通过综合统计三次调查结果分析得到人群构成情况(各人群的人数占总人群数的比 问题2：每位观众平均每天出行两次，一次为进体育馆看奥运，一次为出体育馆用餐。餐饮时段，各个看台观众的分布均匀。由表4得出每个看台吃中餐的人数比例为：21.5% ，西餐的比例为：53.3% ，商场为：25.2% 。出行时段，各个看台的观众的分布均匀。由表1得出每个看台出行方式的人数比例按表6分布。表6：乘车方式比例分布乘车方式公交（南北）公交（东西）出租私车地铁（东）地铁（西）比例17.1%17.086%18.964%8.98%18.813%19.03%奥运会期间每位观众出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮。人流量分布是指出场馆去进餐人流分布。1）、考虑餐饮时段各个商业区人流量分布现在先考虑国家体育场（鸟巢）的人流量分布，然后再推广到体育馆和游泳中心的人流量分布。国家体育场（鸟巢）的人群构成可由所给的某运动场的人群构成得出。再根据最短路径的原则，可知吃中餐的人数比例为：21.5% ，西餐的比例为：53.3% ，商场为：25.2% 。由奥运会比赛主场馆的规划图可以看出：吃西餐和商场就餐的观众需要从对面的出口出体育场馆，吃中餐的观众则需要从对面的出口出体育场馆。所以从对面的出口出体育场馆人数比例为：21.5%+53.3%74. 8%，从口出体育场馆的人数比例为25.2% 。按照最短路径的原则可以确定各个看台人流的走向，如：的人如果是吃西餐和商场就餐，从出口出去，则要经过，在各商业小区则计一次人流量。统计各个看台观众行走线路如表7表7：国家体育场（鸟巢）各看台人行走路线所经过的商业小区.看台从A1出口出来从A6出口出来A1A1A1 A2 A3 A4 A5 A6A2A1A2A2 A3 A4 A5 A6A3A1 A2 A3A3 A4 A5 A6A4A1 A2 A3 A4 A4 A5 A6A5A1 A2 A3 A4 A5 A5 A6A6A1 A2 A3 A4 A5 A6 A6A7A7 A8 A9 A10 A1 A7 A6A8A8 A9 A10 A1A8 A7 A6A9 A9 A10 A1A9 A8 A7 A6A10 A10 A1A10 A9 A8 A7 A6表8：国家体育馆各看台人行走路线所经过的商业小区看台从B3出口出来从B6出口出来B1B1 B2 B3B1 B6B2B2 B3B2 B1 B6B3B3B3 B4 B5 B6B4B4 B3B4 B5 B6B5B5 B4 B3B5 B6B6B6 B1 B2 B 3B6表9：国家游泳中心（水立方）各看台人行走路线所经过的商业小区看台从C2出口出来从C4出口出来C1C1 C2C4 C1C2C2C2 C3 C4C3C2 C3C4 C3C4C4 C1 C2C4从表7中的数据得国家体育场（鸟巢）得出各个商业小区的人流比例为：令： 如：从表7中数据查得 ，；因为从出口出来的人数比例为25.2%，从出口出来的人数比例为74.8 。所以个商业小区的人流比例 为：表10：国家体育场（鸟巢）各商业小区的人流比例商业小区A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10比例0.2380.0640.0770.090.1030.190.0790.0660.0530.04同理国家体育馆的容量为6万人，从餐饮方面考虑得从对面的出口出体育馆人数为：1.35万人，从口出体育馆的人数为4.65万人。令： ， 。因为从出口出来的人数比例为0.225，从出口出来的人数比例为0.775 。所以个商业小区的人流比例 为：于是国家体育馆的出各个商业小区的人流比例为：表11：国家体育馆各商业小区的人流比例商业小区B1B2B3B4B5B6比例0.1220.0840.1460.1370.1750.335同理国家游泳中心（水立方）的出各个商业小区的人流比例为：表12：国家游泳中心各商业小区人流比例商业小区C1C2C3C4比例0.1530.2090.2220.416由于国家体育场（鸟巢）、国家体育馆、游泳中心（水立方）的容量分别为10万，6万，4万。所以二十个商业小区的人流量分布为相应的加权平均值。得二十个商业小区的人流量分布，如表13。表13：各商业小区的人流比例商业小区A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10比例0.1190.0320.03850.0450.05150.0950.03950.0330.02650.02商业小区B1B2B3B4B5B6C1C2C3C4比例0.03660.02520.04380.04110.05250.10050.03060.04180.04440.08322）、考虑出行时段各个商业区人流量分布考虑国家体育场（鸟巢）的人流量分布。同理由表6，及奥运会比赛主场馆的规划图可以看出：乘坐公交（南北）、铁路东、铁路西、的观众需要从对面的出口出体育场馆，乘坐公交（东西）、出租、私车的观众则需要从对面的出口出体育场馆。所以从出口出来的人数比例为54.8 ，从出口出来的人数比例为45.2 。从表7中的数据得国家体育场（鸟巢）的出各个商业小区的人流比例为：令： 因为从出口出来的人数比例为54.8 ，从出口出来的人数比例为45.2 。所以个商业小区的人流比例 为：表14：国家体育场（鸟巢）各商业小区的人流比例商业小区A2A3A4A5A6A7A8A9A10比例0.0930.0910.0880.0860.130.060.0630.0650.068同理国家体育馆的出各个商业小区的人流比例为：表15：国家体育馆各商业小区的人流比例商业小区B1B2B3B4B5B6比例0.1040.1110.2690.1440.1370.235同理游泳中心（水立方）的出各个商业小区的人流比例为：表16：国家游泳中心各商业小区人流比例商业小区C1C2C3C4比例0.1940.3310.1820.295由于国家体育场（鸟巢）、国家体育馆、游泳中心（水立方）的容量分别为10万，6万，4万。所以二十个商业小区的人流量分布为相应的加权平均值。得二十个商业小区的人流量分布如表17表17：各商业小区的人流比例商业小区A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10比例0.1280.04650.04550.0440.0430.0650.030.03150.03250.034商业小区B1B2B3B4B5B6C1C2C3C4比例0.03120.03330.08070.04320.04110.07050.03880.06620.03640.059现综合考虑一天的人流分布，由于每位观众一天的进出场馆两次，一次为出行，一次为餐饮，所以一天的总流量分布为两次人流比例的平均值，故一天中二十个商业小区的人流量分布，如表18商业小区A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10比例0.12350.039250.0420.04450.047250.080.034750.032250.02950.027商业小区B1B2B3B4B5B6C1C2C3C4比例0.03390.029250.062250.042150.04680.08550.03470.0540.04040.0711问题3：根据问题的已知条件，影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。商圈内的人流量可以较直观地如问题二的过程求出。对于购物欲望，也不难建立一个直观的模型来反映。而问题的关键在于如何将两者有机地结合起来。通过对问题的分析，我们引入一个能将两者结合的量消费人流量。其定义为： 某点在某一路径上的消费人流量=该路径上的人流量x人流量在该点的购物欲望 这样就创造性地将影响选址的两个主要因素结合起来，极大地方便了问题的讨论。然后在设计两种不同大小迷你超市的时候，以消费人流量作为主要的考虑标准，将问题予以顺利的解决。下面分别逐步建立问题的模型。 （一）确定人的购物欲望的模型： 由消费经济学知识和日常生活中的常识知：某人欲到达某地，则他（她）到达目的地想购物的欲望最强烈，而在到达目的地的途中，其欲望显然不及目的地。又由常识知，在路径的最开始端，欲望最低，然后随着其不断行走，购物欲望不断增强，直到到达目的地其欲望达到最大。我们定义目的地的购物欲望为1，其它地方的购物欲望因子值即反映了该处购物欲望与目的地购物欲望的比例。 为了讨论问题的方便，联系本实际问题，我们选择用一个指数函数衰变因子来表示观众购物欲望的在不同的商区的变化情况。 该指数函数形式为：（k为路径上与目的地相差的商场的个数） 考虑一个实际的简单例子来解释说明我们定义的指数形式： 公交南（北） 。由于为目的地，故所对应的购物欲望最强为：x a =1；而 对应的购物欲望为，对应的为：，对应的为：。 （二）确定各商区的消费人流量 对于各商区的消费人流量，由于可能有不同的路径经过该商区，因此，该商区的总人流量为各路径在该商区产生的人流量之和。作为本题考察的关键，是满足已知的购物需求、分布基本均衡和商业上盈利这三个条件来确定超市的设计。通过分析，如果将商业盈利作为我们优化的目标，而其它两个条件作为该目标的约束条件，此问题很快转换为一个带有约束的整数规划问题。对于每位观众可能有不同的消费方式，为了使问题简化，我们假定每位观众的消费额是相同的。这个消费额用所有消费者群体总的消费期望值来表示。用E表示。若商场的盈利系数设为。则对每位观众，商场可盈利为：E。 商场建立的条件之一是满足购物需求的条件，很容易得到商场选择较大规模的MS易满足条件。但商场在设计的过程中，另外一个必须考虑的因素是商场兴建的费用。因为MS规模越大，数目越多，所需的费用也会越大，当然所获得的商业利润或回报的利润也就越大。所以我们必须在考虑能满足条件时兴建MS的费用。显然在此问题中，对于任一商区，根据前面的定义，有效流量可以看成能够购买物品的观众的数目，因而观众在该商区消费而盈利为：EV ；考虑兴建MS的费用为：。因此该商区的净盈利为：EV -（）。而由于需满足每个商区的人流的条件：qTol 于是我们根据以上的分析讨论过程得到以下的数学模型： 目标函数：max（EV -（）约束条件：qTol 均为整数 (i=1,2,320) 问题三模型的求解 （一）求解各个商区的消费人流量 在求解消费人流量的时候，我们采用了Floyd算法来找出最短路径。我们先给出以下定义：首先构造邻接“伪距离”矩阵，他们点之间的距离：同一个赛区内的商区，距离为1，两赛区间的最近两个商区的距离为100。车站到达同一个站点最近的商区距离也为100（不管目测是否合理），其余距离为Inf（无穷大）.下面对消费人流量的求解算法进行介绍： Step1：用Floyd算法寻找出各个交通工具停靠点到他所要到的的看台的最短路径所经过的所有商区 点。 Step2：对每条最短路径上的商区的，计算其消费人流，并且加到该点的总的人流里。 Step3：看台是否到达完毕？如果不，则转到Step1出。 对于出场进餐的人流计算也采用上面的算法。最后把出场人流和入场人流相则得到总的流量 下表是计算得的各商区的人流分布百分比情况： A1A2A3A4A5A6A7A8A9A100.08270.03160.02950.03500.05000.15390.05000.03500.02950.0316B1B2B3B4B5B6C1C2C3C40.03180.02530.05370.02530.03180.09320.04080.04410.02450.1009 （二）求解商区的超市设计方案 把作为决策变量，赢利作为目标，模型便是一个较为简单的整数线形规划问题。但是由于及 均为未知的量，需要我们根据实际情况加以确定，这些变量由市场调查可确定。我们选取不同组数据对问题进行求解例如当选取数据如下： a =2000， =450， =0.5， =50000， =12500 在满足题目约束的在条件即：各个商业区内的的MS的个数量基本均衡。我们发现 =2000， =450时，结果不够理想，不满足基本均衡的条件，于是我们对 ， 值进行调整，在多次的调整中，我们得到一个相对较好 ， 值，此时满足基本均衡的条件，即在=2000，=390时。因此我们可以得到商场相对较优的网点的设计方案。（如下表所示） 表二： =2000， =390 q q 编号1234567891011121314151617181920x1310999127777878661087512x10201044311333021404数目1410111012111111108910119612911516 此时得到的最大利润为1123.8万元。在 =2000， =390，MS总数的标准差为：D=2.4301这个值也其它方案的标准差要小。比其它方案更优，其中在C4区MS的个数为最大，C3区MS的个数最少只有5个，但是各个区的超市总量上还是基本均衡的。对那些超市数量上相差太大的商区，我们可给予局部的调整。我们在后面问题四的解答给与更进一步的说明。 问题四的解答 问题的科学性的阐明可以从一些假设进行科学性的证明出发，由此我们把阐明过程分成以下几个部分来讨论，每个部分分别对一个假设进行科学性的分析和阐述。 （一） 对观众购物欲望变化规律的讨论 购买决策常常是一个十分复杂的问题，顾客在做决策时要开展感觉、知觉、注意、记忆等心理活动，还要进行分析、推理、判断等一系列思维活动，而奥运会属于特殊的社会活动范畴，观众在这一特定范畴内，其消费心理有其特殊性。我们知道观众主要是来主场馆看比赛的，而发生的购物行为具有时间性，即在奥运会期间，甚至只在其中一天购物，所以在观众从交通工具停靠点到场馆再去餐饮的过程中，其购买时间的迟早取决于其空闲时间，即从即时到需要返回交通工具停靠点还剩余的时间。若观众空闲时间多，则想什么时候去买就什么时候去买；若空闲时间较少，则需尽快购买（此时遵循就近原则）。所以观众刚开始尚未意识到的需要，在经过一定时间或引发因素（例如某些纪念品），观众的这类购买需要就会慢慢转化为现实需要。由上述论证过程可知，本文在对购物变化规律的解释：路径的最开始端，欲望最低，然后随着其不断行走，购物欲望不断增强，直到到达目的地其欲望达到最大。是符合实际的。 （二）对购物欲望变化系数的讨论 在建立欲望函数模型的过程中，由前面的分析我们知道，一个顾客在其行程路线上的各个的商区，其购买欲望服从一定的指数变化分布，于是我们人为地定义了 这样一个系数，并且其合理取值范围为0，1，上面已经证明了用指数函数和表示欲望的变化规律是合理的，现在证明欲望变化系数取值范围的合理性和对购物人流量的结果的变化规律。 我们分别用不同值分别求得20个商区的消费人流量，并从中找出规律从上图我们获得以下信息 a a 首先，当 取值大于1时（ 取1.1时），各个商区的消费人流量甚至超过了该商区总的人流量，这显 a 然不符合实际。 取1的时候，顾客在行走路线上对各个商区的的购欲望是相同的，其消费人流量正好等 a 于各商区的总人流量，所以 取值可以取等于1而不能取大于1的数，而顾客即使不想购物其购物欲望也 a a 是为0，不可能为负数，所以 的取值也不能取小于0的数。由此可见 的取值范围在0，1之间是正确的。 a 其次，由图可以看出，随着 的减小，各个商区的有效购物人流量越来越趋向于均衡。 a 得出了这样的结论后，应该怎样取 的值，使其能够较准确的反映了消费人流量的变化规律呢？我们 a 在上面模型的计算对 的取值为2/3，现在我们来讨论。 a 若 值取太大，不满足均衡的条件。 a a 若 值取太小，（如=0.001）虽然其消费人流量在各个商区的分布非常均衡，但是其人流量分布得太平均，而且消费人流量太少（只有万左右），显然与实际不太符合。 a 在 取较小值的时候，（如0.30.5）人的购买欲望从一个商区到另一个商区变化太快，有的甚至成倍 a 的增长，而消费心理学上说一个人的购买欲望一般是缓和的增加的，由此可见， 这样的取值也不大符合 实际。 a 经过验证分析，我们发现 =2/3时，各个商区的消费人流量基本上满足均衡的条件，而且求得人的购 买欲望也是缓和的增长，这符合现实中的规律的。 （ 三 ）对模型中 和 的取值的合理性讨论 q q 1 2 对于给定了大小商场的成本，来考虑商场的容量使商场所获得的利润最大是我们在设计商场必须考虑 的一个问题。对于问题三中我们假定了 =50000， =12500。 l l 1 2 为了考察 和 的合理取值，我们对 和 进行了多次的调整，通进比较得出 和 的最佳组合值 q q q q q q 1 2 1 2 1 2 下面就列举优化过程中其它几组数据为例： 表一： =2000， =370； q q 1 2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 13 10 9 9 9 12 8 8 7 7 8 8 8 6 6 10 8 8 5 13 i1 x 3 2 3 2 2 1 0 0 4 2 3 0 4 1 4 4 2 0 0 1 i2 总数 16 12 12 11 11 13 8 8 11 9 11 8 12 7 10 14 10 8 5 14 表二： =1900 =400； q q 1 2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 14 10 10 9 9 12 8 8 8 7 8 8 9 6 7 11 8 8 5 13 i1 x 1 4 0 4 4 4 2 2 1 4 4 1 1 2 1 1 4 1 2 4 i2 总数 15 14 10 13 13 16 10 10 9 11 12 9 10 8 8 12 12 9 7 17 表三： =2000 =400； q q 1 2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 13 10 9 9 9 12 8 8 8 7 8 7 8 4 7 11 8 7 5 13 i1 x 3 2 3 1 2 6 0 0 0 2 2 4 4 6 0 0 2 4 0 1 i2 总数 16 12 12 10 11 18 8 8 8 9 10 11 12 10 7 11 10 11 5 14 我们分别对上面两个表求标准差（标准差可以衡量出数字的集中程度，标准差越小，说明集中度越 高） 得：D1 =2.7048，D2 =2.76971，D3=2.9961，可以看出后面两种组合显然没有原方案中的组合好， D1，D2、D3都大于D，这相当于平均每一个商区的超市总量的误差比原方案的误差要大。按此原则我们最 终选择了原方案。所以我们的先择是合理的。再者我们需要对B5（6）、C3（5）、C4（16）的超市数量进行 一定的细微的