矩阵指数函数及其在控制论中的应用—毕业设计.doc

巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）

本科毕业论文(设计)

题 目 矩阵指数函数及其在控制论中的应用
院(系) 数学系
专 业 数学与应用数学
学生姓名 XXXXXXX
学 号 XXXXXXX
指导教师 XXXXXX 职称 XXXXX
论文字数 6500

完成日期: 年 月 日

I

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）
矩阵指数函数及其在控制论中的应用
摘 要
矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。
本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。
关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组

Matrix exponential function and its application in Control Theory
Abstract
Matrix exponential function is a special and important function, whether it is the field of mathematics, computer areas, or engineering technology related to the modern control theory has a very wide range of applications.
This article from the matrix exponential function the basic definition of began to, summed summed up the matrix exponential function some basic properties of, and thus explores the how to calculate the matrix exponential function, paper chose the one of the four kinds calculation method, develop simultaneously out the examples illustrate the their computation volume and calculation step, right they carried out simple comparison, analyze encounter specific problems should how to choose the the best method for solving. In addition Contact modern control theory, to master how to use matrix exponential function to solve in the engineering technical fields will encounter of the state Equation Problem as well as online Xing control systems in the often involve of the solving linear differential equations group issue.
Keywords: Matrix exponential function, Jordan standard, equation of state, differential equations

19

目 录

摘要 I
Abstract II
引 言 1
1. 矩阵指数函数的概念及其基本性质 1
⒈1矩阵指数函数的概念 1
⒈2 矩阵指数函数的基本性质 2
2. 矩阵指数函数的四种计算方法及其比较 6
2.1矩阵指数函数的四种计算方法 6
2.1.1利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数 6
2.1.2利用相似对角化求矩阵指数函数 7
2.1.3利用Jordan标准形求矩阵指数函数 8
2.1.4利用待定系数法求矩阵指数函数 10
2.2四种计算方法的比较 12
3. 利用矩阵指数函数求解状态方程 13
4. 矩阵指数函数的应用 15
4.1矩阵指数函数在微分方程中的应用 15
4.2用矩阵指数函数求解一阶常系数齐次线性微分方程组 16
5. 结束语 18
参考文献 19

引 言
作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。
控制论是研究各种系统控制和通讯的一般规律的科学。随着科技的发展和计算机网路技术的普及，现代控制理论在工程信息技术以及其他领域中起着越来越重要的作用。
本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。

1. 矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质

矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。

1.1 矩阵函数的概念

定义1[1] 设，一元函数能够展开为的幂级数
，
并且该幂级数的收敛半径为。当矩阵的谱半径时，则将收敛矩阵幂级数的和定义为矩阵函数，记为，即

因为当时，有

则对任意，矩阵幂级数
是收敛的。它们的和记为，即

通常称为矩阵指数函数
1.2[2] 矩阵指数函数的基本性质
性质1 微分公式：
（1.2.1）
这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到

性质2 与可交换:

从（1）中已看出与是可交换矩阵。容易证明与也是可以交换。
这里的是任意自然数。
性质3 乘法公式之一：
（1.2.2）
这是因为

注意到

代入上式便得

性质4乘法公式之二
从（1.2.2）很容易联想到，能否认为下式成立：

首先，和的维数如果不同，就没有意义。其次，设与的维数相同，则
，
而

两相比较便知一般有
（1.2.3）
可以证明：如果与是可交换矩阵，即，则有
（1.2.4）
性质5 反号后的矩阵指数函数：根据（1.2.1）容易看出有

性质6 逆矩阵：在（1.2.2）中取，结合（1.2.5），就得到

同样可证

所以的逆矩阵是。既然总是存在的，所以矩阵指数函数总是非奇异矩阵。即使是奇异矩阵结果也是一样。
性质7 相似变换：
对定义的两端施以任意的同一相似变换，并注意到

就有

就是说，对一个矩阵作相似变换，相当于对它的矩阵指数函数作同样的相似变换。
性质8 Laplace变换：
求的Laplace变换可得：

两边同时乘以，得

由此便知道

从而并有

这个结果常被用来计算。顺便指出，这个结果表明，无论是否奇异，作为多项式矩阵的必是非奇异矩阵。
2. 矩阵指数函数的四种计算方法及其比较
上面定义了矩阵指数函数，在具体应用中，要求将所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵指数函数的值。本节探讨了其中四种计算函数值的方法。四种方法各有不同，涉及到如特征多项式、Jordan标准型、待定系数法等相关知识。
2.1 矩阵指数函数的四种计算方法
2.1.1[3]利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数
本节讨论的方法是利用Hamilton-Gayley定理找出矩阵方幂之间的关系，通过化简矩阵幂级数的方法来求解。

例1 已知，求。
解：可求得。由Hamilton-Gayley定理知，从而即

故

例2 已知4阶方阵的特征值为，，，，求，。
解：因为，所以。于是

即

故

2.1.2[4]利用相似对角化求矩阵指数函数
设是可对角化的，即存在，使得

则有

同理可得

例 已知，求。
解：可求得，即的特征值为。对应的特征向量为，对应的两个线性无关的特征向量为。于是
，使得
故

2.1.3[5]利用Jordan标准形求矩阵指数函数
设，存在可导，使得

其中

由定理得

例 已知，求。
解：
于是

根据Jordan标准形理论可得
定理2.3[6] 设是的个特征值，则矩阵函数的特征值为。
2.1.4[7]利用待定系数法求矩阵指数函数
[8]设，且的特征多项式为
（1）
其中是的全部互异特征值，。为计算，记。将改写成
（2）
其中是含参数的的幂级数，是含参数且次数不超过的的多项式，即

由Hamilton-Cayley定理知，于是由式（2）得

可知，只要求出即可得到。又因为

将式（2.1.4.2）两边对求导，联系上式，求出

即
（3）
由式（3）即得到以为未知量的线性方程组。
综上所述，利用特定系数法求解的步骤如下：
第一步，求矩阵的特征多项式；
第二步，设。根据

或

列方程组求解
第三步，计算或（）=。
例 已知，求。
解： 求得的Jordan标准形为

于是的最小多项式为。设

由 解得
于是

2.2 四种计算方法的比较
通过以上各个实例的计算比较中，我们容易得出：
四种计算方法中第一种和第二种方法中都运用到了一个阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算。相比较第三、四种方法降低了计算量，简单了计算步骤。
第三种计算方法的计算量是最大的。在求的Jordan表达式中，要计算的Jordan标准型，当中又要涉及到矩阵的初等变换，计算复杂。之后的计算变换矩阵，计算量也很大，随着矩阵的阶数变大会更加繁杂。但是这种方法的优点是计算步骤比较清晰，通俗易懂。
第四种方法的计算步骤最为复杂。要先求矩阵的特征多项式，然后列出方程组，最后求出结果。
3. 利用矩阵指数函数求解状态方程
状态方程是一阶微分方程组。在这个意义上说，它与微分方程没有什么不同。状态方程可以改写成关于单一变量的微分方程求解，但也可以不把状态方程合并成单一变量微分方程，而直接在状态方程形式下求它的解。本节叙述的就是这种方法。
为了说明如何利用矩阵指数函数直接解状态方程，我们先证明如下命题：
设

其中，和都是以为自变量的维数合适的矩阵，则有
（3.1）
因为，若以表示矩阵的列数，就可导出

从而证明了（3.1）。
现在来求状态方程
(3.2)
在初值条件下的解。移项后用左乘上式两端，得

根据（3.1）和（3.2）知道

所以有

在从到的区间上积分，得到

用左乘上式两端，得
（3.3）
这就是状态方程的解。

例[8] 设状态方程为

输入量为。初值为，则有
，
，
把它们代入（3.3），并利用Laplace反变换，得到

也就是

容易验证它满足微分方程和初值条件。
在本节开头，我们说过，可以把状态方程合并成关于单一变量的微分方程求解。现在我们又看到，可以直接对状态方程求解。我们探讨一下两种解法之间的关系。
如果把状态方程合并成为关于单一变量的微分方程求解，则在没有外作用情况下所得的应当是齐次微分方程的解，它是以特征方程的诸根表示的。
如果直接对状态方程求解，则在没有外作用的情况下，所得的解就是以矩阵的指数函数表示的。
4 矩阵指数函数的应用
本文利用矩阵及矩阵指数函数来讨论在微分方程中的应用以及在线性微分方程中的定解问题。这种由矩阵表示的微分方程不仅具有简单的形式，而且相应的定解问题也具有简单的结构。
4.1[9] 矩阵指数函数在微分方程中的应用

微分方程有解。如果我们考虑以下向量：
。
可以把线性微分方程表示成：

两边同时乘以，得到：
，
。
计算出，就能求出微分方程的解。
如果为，那么，易知，
4.2[10] 用矩阵指数函数求解一阶常系数齐次线性微分方程组
设n维未知函数向量满足一阶常系数的齐次线性微分方程组
（4.1.1）
其中， 皆为自变量的函数，为常系数，若记，则（4.1.1）式可改写成矩阵微分方程
（4.1.2）
进而，若以上矩阵方程还满足条件

则矩阵微分方程的定解问题为
（4.1.3）
为求解上述齐次线性微分方程，我们将每个未知函数在处展开为Taylor级数，有
（4.1.4）
写成向量幂级数（即的矩阵幂级数）的形式为
（4.1.5）
其中为在处的阶导数
又因为

所以
（4.1.6）
代入（4.1.5）式，即得
（4.1.7）
这说明矩阵微分方程的定解问题（4.1.3）式的解应具有形式（4.1.7）。

例[10] 设有定解问题

其中，，且为三阶方阵

试求该定解问题的解。
解：由已知可得

故该定解问题可以求出唯一解为

5.结束语
本文从幂级数概念的角度给出了矩阵函数的基本定义，并由此定义得到了一些相关性质。在研究矩阵指数函数的计算方法时，重点举例说明了其中的四种，并加以比较它们的特点。导入状态方程的定义，掌握如何利用矩阵指数函数来解状态方程。最后讨论了矩阵指数函数在微分方程中的应用。
参考文献
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