级数知识点总结.pdf

第 1 页 共 2 页第十二章第十二章 无穷级数无穷级数一、一、常数项级数常数项级数1 1、常数项级数：常数项级数：1)1)定义和概念：无穷级数：定义和概念：无穷级数：部分和：部分和：正项级数：正项级数：，nnnuuuuu3211nnkknuuuuuS32111nnu0nu级数收敛：若级数收敛：若存在，则称级数存在，则称级数收敛，否则称级数收敛，否则称级数发散发散SSnnlim1nnu1nnu2)2)性质：性质：改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛各项同乘同一常数仍收敛 两个收敛级数的和差仍收敛两个收敛级数的和差仍收敛，级数级数，收敛，则收敛，则收敛；收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.1nna1nnb1)(nnnba 去掉、加上或改变级数有限项去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性级数不改变其收敛性级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；收敛，则任意加括号后仍然收敛；1nna 若若级数收敛级数收敛 则则对这级数的对这级数的任意项加括号任意项加括号后所成的级数后所成的级数仍收敛仍收敛，其和不变，且，其和不变，且加括号后加括号后所成所成的级数发散的级数发散 则原来级数则原来级数也也发散发散 注：收敛级注：收敛级数去括号后未必收敛数去括号后未必收敛.必要条件：必要条件：级数级数收敛收敛.（注意：不是充分条件！注意：不是充分条件！唯一判断发散条件唯一判断发散条件）1nnu0limnnu3)3)审敛法：（条件：审敛法：（条件：均为正项级数均为正项级数 表达式：表达式：，）前前 n n 项和存在极限项和存在极限则则收敛收敛；收敛收敛有界；有界；1nnu0nuSSnnlim1nnu nS 比较审敛法：且比较审敛法：且，若，若收敛，则收敛，则收敛；若收敛；若发散，则发散，则发散发散.),3,2,1(nvunn1nnv1nnu1nnu1nnv 比较法的极限形式：比较法的极限形式：，而，而收敛，则收敛，则收敛；若收敛；若或或，而，而发散，则发散，则发发)0(llimlvunnn1nnv1nnu0limnnnvunnnvulim1nnv1nnu散散.比值法：比值法：，当：当：时，级数时，级数收敛；收敛；时，级数时，级数发散；发散；时，级数时，级数可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.luunnn1lim1l1nnu1l1nnu1l1nnu2 2、交错级数：交错级数：莱布尼茨审敛法：莱布尼茨审敛法：交错级数：交错级数：，满足：满足：，且，且，则级数，则级数收敛。收敛。1)1(nnnu0nu),3,2,1(1nuunn0limnnu1)1(nnnu条件收敛条件收敛：收敛，而收敛，而发散；发散；绝对收敛绝对收敛：收敛。收敛。绝对收敛，则绝对收敛，则收敛。收敛。1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu其他级数：其他级数：等比级数：等比级数：；调和级数：调和级数：1 发散，1 收敛，0qqaqnn1p 发散，1 收敛，11pnnp二、函数项级数（幂级数：函数项级数（幂级数：）0nnnxa1 1、，则，则收敛半径收敛半径（缺项级数用比值审敛法求收敛半径）（缺项级数用比值审敛法求收敛半径）nnnaa1lim1,0;,0;0,.RRR 2 2、和函数和函数的性质：在收敛域的性质：在收敛域上连续上连续;在收敛域在收敛域内可导，且可逐项求导内可导，且可逐项求导;和函数和函数在收敛域在收敛域上可积分，且可逐项上可积分，且可逐项)(xsI),(RR)(xsI第 2 页 共 2 页积分积分.(.(不变不变,收敛域可能变化收敛域可能变化).).R3 3、泰勒级数：泰勒级数：nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR