有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用.doc

线数

考研

I

第一章 前 言 1
第二章 几种矩阵的判定和应用 1
2.1逆矩阵 1
2.1.1阶矩阵可逆的定义 1
2.1.2逆矩阵的性质 1
2.1.3矩阵可逆的条件 2
2.1.4求逆矩阵的方法 2
2.1.5求逆矩阵的例子 3
2.2伴随矩阵 6
2.2.1伴随矩阵的定义 6
2.2.2伴随矩阵的性质 6
2.2.3有关伴随矩阵的例子 6
2.3对角矩阵 7
2.3.1可对角化矩阵的定义 7
2.3.2对角化矩阵判定条件和方法 7
2.3.3有关可对角化矩阵的例子 8
2.4正交矩阵 11
2.4.1正交矩阵的定义 11
2.4.2正交矩阵的性质 12
2.4.3正交矩阵的例子 12
2.5实对称矩阵 13
2.5.1实对称矩阵的定义 13
2.5.2实对称矩阵的性质 13
2.5.3实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算方法： 13
2.5.4有关实对称矩阵的例子 14
2.6正定矩阵 16
2.6.1正定矩阵的定义 16
2.6.2正定矩阵的判定条件 16
2.6.3正定矩阵的性质 17
2.6.4正定矩阵的判定方法 17
2.6.5有关正定矩阵的例题 17
第三章 矩阵与矩阵之间的关系和应用 21
3.1矩阵合同 21
3.1.1合同矩阵的定义 21
3.1.2合同矩阵的性质和有关结论 21
3.1.3矩阵合同的判定和证明 22
3.1.4有关合同矩阵的例题 22
3.2矩阵相似 24
3.2.1相似矩阵的定义 24
3.2.2相似矩阵的性质 24
3.2.3相似矩阵的判定方法 24
3.2.4有关相似矩阵的例子 25
3.3矩阵等价 26
3.3.1矩阵等价的定义 26
3.3.2矩阵等价的定理和性质 27
3.3.3有关矩阵等价的例子 27
结束语 29
致谢 29
参考文献 30

结束语

第一章 前 言

随着改革开放和现代化建设事业的需要，特别是“科教兴国”、“知识经济”等战略性措施日益广泛实施，国家机关、企事业单位以及各行各业对高素质、高学历人才的需求量越来越大。同时，随着高等教育的大众化，本科人才越来越多，相当一部分大学毕业生找不到理想工作，很多人希望取得更高的学历，以增强自己的竞争实力，因此，近年来，“考研热”持续升温。研究生入学考试现已成为国内影响最大、参加人数最多的国家级选拔高层次人才的水平考试。
然而研究生入学考试与在校大学生的期中或期末考试相比，其深度、广度与难度大大增加，试题综合性强，着重知识的运用，竞争激烈，淘汰率高。同时，考研作为一种选拔性水平考试，试题规范，规律性很强，不少题型反复出现，把这些反复出现的试题整理归类，以节省考生宝贵的复习时间，对考生迎考大有帮助。
高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，也是数学系硕士研究生入学考试的一门必考科目，矩阵问题在数学系硕士研究生入学考试数学试题中占有相当大的比例。而矩阵不仅是代数学的一个主要研究对象，也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。
为了帮助考生加深对矩阵知识的理解，掌握有关矩阵问题的解题方法和技巧，提高应试能力，本论文总结了有关矩阵的概念、定理，矩阵与矩阵的关系、性质和解题的技巧方法，列举出数学考研有关矩阵的典型例题。引导考生在较短时间内掌握解有关矩阵问题的要领，并顺利通过研究生入学考试。

第二章 几种矩阵的判定和应用

2.1逆矩阵

2.1.1阶矩阵可逆的定义
设是数域上的一个阶方阵，如果存在上的阶方阵，使得(为阶单位矩阵)，则称是可逆的，又称为的逆矩阵。当矩阵可逆时，逆矩阵由惟一确定，记为。
2.1.2逆矩阵的性质
设,是阶可逆矩阵，则
（1）；
（2）若，则可逆，且；
（3）可逆，且；
（4）可逆，且；
（5）可逆，且；
（6）；
（7）如果是矩阵，是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵，则。
2.1.3矩阵可逆的条件
（1）阶方阵可逆的充分必要条件是；
（2）阶方阵可逆的充分必要条件是；
（3）阶方阵可逆的充分必要条件是可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为阶单位矩阵；
（4）阶方阵可逆的充分必要条件是可以写成一些初等矩阵的乘积；
（5）对于阶方阵，若存在阶方阵，使得（或），则可逆，且；
（6）阶方阵可逆的充分必要条件是的个特征值不为零。
2.1.4求逆矩阵的方法
法1：伴随矩阵法：。
2阶方阵求逆矩阵：2阶方阵的伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律。
设2阶方阵，矩阵的代数余子式，，，。所以，其伴随矩阵。
所以，
注：对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵。

法2：初等变换法：
矩阵的阶大于或等于3的一般采用初等变换法
（1）
（2）
（3）当矩阵可逆时，可利用
,
优点：不需求出的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即可求出。
法3：分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式：
，
，
其中均为可逆矩阵。
2.1.5求逆矩阵的例子
例1 （清华大学）设为主对角线元素为零的4阶实对称可逆矩阵，为4阶单位阵。
。
（1）试计算，并指出中元素满足什么条件时，为可逆矩阵。
（2）当可逆时，试证明为对称矩阵。
解：
（1）设，则。
故。即当时，为可逆矩阵。
（2）。
由于，所以
，
即是对称矩阵，故是对称矩阵。

解题技巧：
做本题（1）时，可运用可逆矩阵的充要条件：可逆。
做本题（2）时，首先要考虑到对称矩阵的定义：若是对称矩阵，则。像是两矩阵的乘积，应将其化为一个矩阵，再利用对称矩阵的定义来解决。

例2 已知，试求和。

解：对两边取行列式得，于是
，
即，故。

又因为，其中，，可求得
，，
故由得
。

解题技巧：
当我们看到的伴随矩阵，首先应该考虑采用伴随矩阵法来求，因为，所以求的关键是求。又由知，可见求得和后即可得到。
对于求解，也可利用来求，根据的特点，可先将化为分块矩阵的形式，如，，再通过初等变换法来求，的逆矩阵即可。

例3（武汉大学）设矩阵，其中是维列向量，是的转置，又已知。
（1）证明:
（2）证明: 是可逆矩阵，并求这里是阶单位矩阵。
证:（1）显然有

（2）显然可求得为对称矩阵且的全部特征值为0(重〕，1(1重)。那么不妨设可逆矩阵使得
。
于是有
。
显然为可逆矩阵，且有

例4 (华中科技大学)设为阶方阵，若存在唯一的阶方阵，使得，证明：。
分析:注意反证法的应用。
证明:首先证明可逆，利用反证法。
若不可逆，那么的秩小于，不妨设，于是有可逆矩阵,，
使得，取，显然有
，
若存在使得，那么对于矩阵，也有
，
这与的唯一性相矛盾。
于是必可逆，那么对左乘，右乘即可得。

2.2伴随矩阵

2.2.1伴随矩阵的定义
若，那么它的伴随矩阵 (其中表示矩阵中元素的代数余子式)。
注：，(其中表示矩阵中元素的余子式)。
2.2.2伴随矩阵的性质
（1）；
（2）若可逆，则；
（3）（例2）；
（4）注意到中的每个元素都是矩阵的阶子式乘以某个值为或的常数，于是对于常数，有。
2.2.3有关伴随矩阵的例子
例1 (天津大学)设矩阵的伴随矩阵
，且，求矩阵。
解:由关系式, 可得。
注意到是4阶矩阵，有，而。
注意到，于是有，可得。
在等式的两边取逆，即有
，
经简单计算有
。
例2(吉林工业大学，吉林大学)设,，均为阶方阵，求证。
证明：（1）当时，且，由公式可得
，
（2）当时，考虑矩阵，由于和都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个，使，。由上面（1）的结论有。
令,。由上式得
,
即有无穷多个使上式成立，但都是多项式，从而上式对一切都成立.特别令，这时有
。

2.3对角矩阵

2.3.1可对角化矩阵的定义
如果数域上的阶矩阵可相似于对角矩阵，则称可对角化。
2.3.2对角化矩阵判定条件和方法
数域上阶矩阵可对角化的判定条件：
（1）充分必要条件：有个线性无关的特征向量；
（2）充分必要条件：的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；
（3）充分必要条件：的最小多项式没有重根；
（4）充分必要条件：的不变因子都没有重根；
（5）充分条件：有个互异的特征值；
（6）充分条件：是实对称矩阵。

阶矩阵可对角化的判定方法：
第一步：求的全部特征值。设的所有互异特征值为，其重数分别为，且。若，即有个互异的特征值，则可对角化。
第二步：对每一特征值，解方程组得对应的线性无关特征向量（即齐次方程组的基础解系）。
若某个，即对应的线性无关特征向量的个数小于的重数，则不可对角化；若，则可对角化。
第三步：当可对角化时，把个线性无关的特征向量按列构成矩阵
，
则。

注：对角矩阵的对角线元素恰好是的个特征值，且特征值的顺序与的列向量顺序保持一致。
2.3.3有关可对角化矩阵的例子
例1 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值。试求可逆矩阵，使得为对角矩阵。
解：因为有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，所以的对应于的线性无关的特征向量有两个，故。由于

解得。
所以，矩阵。
设是的三个特征值，由已知可知。
由，可得。
可求得对应于特征值的线性无关特征向量为
。
而对应于特征值的特征向量为。故可逆矩阵
,使得。

例2 设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化。
解：的特征多项式为
。
若是特征方程的二重根，则有，解得。
当时，的特征值为，矩阵

的秩为，故对应的线性无关的特征向量有两个，从而可相似对角化。
若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而
，解得。当时,的特征值为，矩阵
，
的秩为，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而不可相似对角化。

例3 已知实对称矩阵，求可逆矩阵,使为对角矩阵。
解：（法1用配方法）所对应的二次型为
。
令，即，得
。
令，即，得标准形
。
所用可逆线性变换为
，即。
故可逆矩阵，使得。

(法2)可求得，所以的特征值为
。
又对应特征值的特征向量分别为
。
单位化得
。
故可逆矩阵(实际是正交矩阵) ，使得
。

例4 （天津大学）设三阶实对称矩阵
（1）求一个正交矩阵及对角形矩阵，使。
（2）求一个对称矩阵使。
解：（1）显然易见，可求得的特征多项式为，于是的
特征值为。
由解得一个基础解系为
，
由解得一个基础解系为
，
将单位化，将，先正交化后单位化，之后将这三个向量组成一个正交矩阵为
，
显然有。
（2）显然有，
那么有对称矩阵，
使得成立。

例5（三峡大学） 为正定矩阵，是实对称矩阵。
（1）证明存在可逆矩阵使，为对角矩阵。
（2）证明的特征值都是实数。
解：（1）因为为正定矩阵，为实对称矩阵，则存在可逆矩阵，使，
，所以为实对称矩阵，所以存在正交矩阵使得。
令，显然可逆，，
。
（2）由正定可知正定，由（1）可知，存在可逆矩阵，
使得，,，
由于，所以。
而，
所以。
由于，
所以为的特征值，也为的实根。

解题技巧：在解本题时，要用到正定矩阵和对称矩阵的性质。

2.4正交矩阵

2.4.1正交矩阵的定义
如果阶实矩阵满足，则称为正交矩阵。
2.4.2正交矩阵的性质
（1）如果是正交矩阵，则；
（2）如果是正交矩阵，则，，，均是正交矩阵；而是正交矩阵的充分必要条件是：；
（3）如果,是阶正交矩阵，则也是正交矩阵；
（4）阶实矩阵是正交矩阵的充分必要条件是：的个列（或行）向量是两两正交的单位向量。
2.4.3正交矩阵的例子
例1 （南京大学）设为阶实对称矩阵，为阶实反对称矩阵，且为满秩矩阵，试证：为正交矩阵。
证：因为为满秩矩阵，所以，则可逆。

，
又由，得。代入上式得
，
故是正交矩阵。

例2 （中国科学院）求证：不存在正交矩阵,，使。
证：用反证法。若存在阶正交矩阵,使， ①
式①右乘得
，
式①变形为，再左乘得
，
由于,是正交矩阵，从而是正交矩阵，此即是正交矩阵。类似可知是正交矩阵，故有
，
，
两式相加得。矛盾，即证结论。

解题技巧：利用正交矩阵性质的（2）、（3）和正交矩阵的定义来求解。

例3 （长春地质学院）设有二阶矩阵，试分别将它们用正交矩阵化为对角矩阵，并求正交矩阵，使。
解：因为，所以的特征值为。可求得正交阵

使得。 ①
又因为，所以的特征值为。也可求得正交阵

使得。 ②
根据式①和②得，从而。
令，则为正交阵，且。

2.5实对称矩阵

2.5.1实对称矩阵的定义
对于实矩阵，若，则称为实对称矩阵。
注：若为实反对称矩阵。
2.5.2实对称矩阵的性质
（1）实对称矩阵的特征值皆为实数；
（2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交；
（3）实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，即对于任意一个阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵，使为对角矩阵；
（4）若为实对称矩阵，则存在可逆矩阵，使得也是实对称矩阵；
（5）若为实对称矩阵，则存在为实对称矩阵，使得（例2）。
2.5.3实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算方法：
第一步：求的特征值和对应的线性无关特征向量。设是的所有互异特征值，其重数分别为，且。又设对应特征值的个线性无关的特征向量为
。
第二步：当时，将特征向量用方法正交化：
，
再单位化 ，
如果，直接将单位化得。
第三步：构造正交矩阵
，
则。
2.5.4有关实对称矩阵的例子
例1 试求正交的相似变换矩阵，化下列实对称矩阵为对角矩阵
（1）；（2）。
解：（1）可求得
，
的特征值为。对应的特征向量分别为
，
（它们应是两两正交的）单位化得
，，，

故正交矩阵，使得
。

（2）可求得
，
的特征值为。又对应的特征值的线性无关特征向量分别为，将其正交化
，
再单位化,，
对应的特征值的特征向量为
，
单位化得。
故正交矩阵，使得
。

解题技巧:要将实对称矩阵化为对角矩阵，应先通过来求的特征值。若其特征值互异，则可通过解来求对应的特征向量，然后直接将其单位化。若某一特征值有重数，则应先将其特征向量正交化，然后再单位化。

例2 （北京航空航天大学）已知，求满足关系的实对称矩阵。
解：易解得的三个特征值为1，16, 49，找出这三个特征值的特征向量，然后再单位化并组成正交矩阵，即有(注意到对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量必正交，所以这里不需要正交化)
，
那么有，
即有。

解题技巧:通过观察可知其为实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得或，再将对角阵写成，即可得答案。所以首先应求出正交矩阵。因为本题所求出的特征值互异，所以其对应特征向量必正交，从而对特征向量直接单位化即可。

2.6正定矩阵

2.6.1正定矩阵的定义
设是元实二次型（为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数都有，则称为正定二次型，为正定矩阵。
2.6.2正定矩阵的判定条件
（1）阶实对称矩阵是正定的充分必要条件是与单位矩阵合同；
（2）阶实对称矩阵是正定的充分必要条件是，存在阶实可逆矩阵，使得；
（3）阶实对称矩阵是正定的充分必要条件是的顺序主子式都为正，
即；
（4）阶实对称矩阵是正定的充分必要条件是的特征值全为正；
（5）是正定矩阵，由的对称正定性知，存在正交矩阵，使得
，其中。
2.6.3正定矩阵的性质
（1）是正定矩阵，则也是正定矩阵（例3）；
（2）是正定矩阵，则也是正定矩阵；
（3）是正定矩阵，则也是正定矩阵；
（4）是正定矩阵，则其阶顺序主子阵也是正定矩阵；
（5）均是正定矩阵，则也是正定矩阵。
2.6.4正定矩阵的判定方法
对于具体给出的矩阵来说：
（1）判断是否为实对称矩阵。
（2）根据判定条件来判断（一般通过检验的各阶顺序主子式是否都大于零）。

对于抽象给出的矩阵来说：
方法1：利用定义：即对任意列向量，恒有二次型，则为正定矩阵（当证明若干个矩阵之和或积为正定矩阵时，常采用此法）。
方法2：利用特征值：当的所有特征值大于零时，为正定矩阵（当证明矩阵的各种运算，如数乘、方幂、逆矩阵、伴随矩阵、多项式矩阵等为正定矩阵，常用此法）。
2.6.5有关正定矩阵的例题
例1 设为阶实对称且正定，为实矩阵，为的转置矩阵，试证明：为正定矩阵的充分必要条件是的秩。
证：（这是要证明三个矩阵之积是正定的，可采用定义证之）
充分性：因为，所以为实对称矩阵。由于，则齐次线性方程组只有零解，从而对于任意实维列向量有。又为正定矩阵，所以对于有。
于是，对任意，有，
故为正定矩阵。
必要性：已知为正定矩阵，则对任意的实维列向量，有，即，由正定知，因此只有零解，从而。

解题技巧：要证矩阵正定时，应先证其为对称矩阵，然后在利用正定矩阵的判定条件来进行证明。此题证明充分性时，还用到矩阵的秩与其线性方程组的关系来推出正定矩阵的判定条件。

例2 设为阶正定矩阵，为阶实反对称矩阵。证明：是正定矩阵。
证：（这是证明两矩阵之差为正定矩阵，可采用定义证之）
因为是正定矩阵，所以，且对任意维实列向量有。又是实反对称矩阵，
即，从而，
即是实对称矩阵，又对任意实维列向量，有
。
故是正定矩阵。

解题技巧：本题主要利用为阶实反对称矩阵来解题的。

例3 证明：若是正定矩阵，则也是正定矩阵。
证：（法1）
由于正定，所以，且对任意有。又，从而对任意，有（注意，且当时）

又，即是实对称矩阵，故是正定矩阵。
（法2）
因为，所以，即是实对称矩阵。
设是的特征值，由正定知。而的特征
值为，且，故是正定矩阵。

例4 设是阶实对称矩阵，且满足。证明是正定矩阵。
证：（满足多项式矩阵方程，只要证明的特征值全大于零即可）
设，即是的特征值，是对应的特征向量，则有
。
由知，
解得其根为。因为实对称矩阵的特征值为实数，所以的特征值为1或3，即的特征值全大于零，故为正定矩阵。

注：
矩阵

特征值

例5 （上海交通大学）为阶实对称矩阵，为阶单位矩阵。求证：对充分小的正数，为正定矩阵。
证：可证为实对称矩阵。因为存在正交矩阵，使

其中为的全部实特征值。令
不妨设（因为若，则，，结论已证）。再令。则
①
又有
由式①知
故为正定矩阵。

例6 （北京大学）设为实对称矩阵，证明：的充分必要条件是存在一实矩阵，使得正定，其中为的转置。
证：因为，所以是阶实对称矩阵。
必要性：若，则存在，令，则
。
由此可知正定。
充分性：已知正定，则对且有
。
由上式可知，这就是说，对任意，都有，从而仅有零解，故。

例7 设是阶正定矩阵，证明。
证：
（法1）因为是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得
，其中。
于是

。
（法2）设是的特征值，由正定知。又的特征值为，从而
。
例8 （华中师范大学，北京邮电学院）设是一个阶实可逆矩阵，证明：存在一个正定矩阵和正交矩阵，使。
证：因为是正定矩阵，所以存在正定矩阵，使。从而
，
其中。由于
所以为正交矩阵。

例9（武汉大学）若是实满秩矩阵，求证：存在正交矩阵，使
，。
证：由于实满秩，所以可逆，从而为正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得
， ①
其中。令，
再令，
则由式①有，令,则
。
即是正交矩阵，且。

例10 (华中科技大学)证明:任意阶实可逆矩阵可以表成一个正定矩阵与一个正交矩阵之积。
证明：由是可逆矩阵，则为正定矩阵，于是有正定矩阵，使得
，
令，显然有。
于是是正交矩阵，且有。

注意：对于与正定矩阵有关的题目，下面结论往往会有用。
（1）对于正定矩阵，存在正定矩阵，使得。实际上，对于任何正整数，都有正定矩阵，使得。
（2）设为阶正定矩阵，是同阶实对称矩阵，则必存在可逆矩阵，使，其中全是的特征值。
这个结论的证明如下：
因为是正定矩阵，由(1)知存在可逆矩阵，使，又矩阵也是实对称矩阵，故有正交矩阵，使
，
令，则满足题目的结论的形式,又
，
因此是多项式的根。
因为可逆，所以也是的根。

第三章 矩阵与矩阵之间的关系和应用

3.1矩阵合同

3.1.1合同矩阵的定义
设是数域上的矩阵，如果存在数域上的可逆矩阵，
使，则称与合同。
3.1.2合同矩阵的性质和有关结论
（一）合同矩阵的性质：
（1）反身性：与合同；
（2）对称性：若与合同，则与合同；
（3）传递性：若与合同，与合同，则与合同；
（4）若与合同，则的秩与的秩相等；
（5）若与合同，且对称，则也对称。
（二）合同矩阵的有关结论：
（1）经过可逆的线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的，即；
（2）数域上秩为的任意一个阶对称矩阵都合同于一个秩为的对角矩阵，即存在可逆矩阵，使，这里的对角元素中有个非零。
3.1.3矩阵合同的判定和证明
（1）两个元复二次型可通过复的可逆线性变换互化的充分必要条件是，二者有相同的秩；
（2）两个阶实对称矩阵在实数域上合同的充分必要条件是，二者有相同的秩与符号差（实对称矩阵的符号差即二次型的符号差）。
3.1.4有关合同矩阵的例题
例1 与矩阵合同的矩阵是（ ）
， ， ， 。
解：（法1）由写出二次型，并用配方法得
，
从而的秩为3，且正惯性指数为2，与中矩阵的秩和正惯性指数相同，故选。
（法2）对采用相同的初等行、列变换化为对角矩阵（因不需求合同变换矩阵,故不必构造矩阵进行化简）
，
故的秩为3，且正惯性指数为2。
（法3）可求得，即的特征值为1,3，-2，从而的秩为3且正惯性指数为2。
注：由于是实对称矩阵，且二次型用正交变换化为标准形后，其平方项的系数即为的特征值，故求出的特征值即可确定的秩与正惯性指数。

例2 己知实对称矩阵
，
求可逆矩阵，使得。
解：（法1）因为实对称矩阵，对应的二次型分别为
与，
直接做出可逆线性变换使前者变为后者，则此可逆线性变换的矩阵即为所求的可逆矩阵。令
，即，
将其代人前一个二次型可得到后一个二次型，故所求的可逆矩阵为
。
（法2）采用初等变换法。因为
，
所以可逆矩阵，使得。

解题技巧：就本题要求出使两矩阵合同的可逆矩阵。有以下两种方法：
（法1）先通过和来求得实对称矩阵、对应的二次型，用可逆线性变换，使与相关。
（法2）
，
当化为B时，单位矩阵也相应地化为可逆矩阵，则。

例3 设矩阵合同于，矩阵合同于，试证既合同于，又合同于。
证：由题设条件知，存在可逆矩阵和，使得。
由和可逆知，分块矩阵与都是可逆的，且有

，

，
故既合同于，又合同于。

3.2矩阵相似

3.2.1相似矩阵的定义
若存在可逆矩阵，使得，则相似于。
3.2.2相似矩阵的性质
若相似于，则
（1）；
（2）；
（3）。
3.2.3相似矩阵的判定方法
设,是数域上的阶矩阵
(1) 当、、都成立时，与相似（这是与相似的必要条件）；
(2) 当与均相似于同一个对角矩阵，则与相似(所给的条件仅是充分的)；
(3) 对于抽象矩阵与，常用定义判断其是否相似。

与相似的充分必要条件是:
(4)与等价；
(5)与的行列式因子相同；
(6)与的不变因子相同；
(7)与的初等因子相同；
(8)与有相同的特征多项式（前提：与都可对角化）。
3.2.4有关相似矩阵的例子
例1 (南开大学)设，，，是阶方阵，其中，是可逆的，试证:存在可逆阵，使成立的充分必要条件是和相似。
证：（必要性）由于，所以
。
（充分性）设，则。令，则，均为可逆矩阵，且。

例2 (北京师范大学)设是实数。
，，。
证明：
(1) ,,彼此相似；
(2)如果，则至少有两个特征根等于0。
证：（1）
，
这说明与等价，故与相似。
类似可证与相似.再由于相似是一种等价关系，故与相似。从而,,彼此相似。
(2)由可得，移项后可得
，
所以。可求得，故。

例3 设与相似，试求的值。
解：依题意，有及，即
，
解得。

例4 已知与相似，试求的值。
解：依题意，有及，即
，
解得或。
因为都不是单根，所以需要回代检验。
以分别代入矩阵与，得，
由知此时的与相似。
以分别代人矩阵与，得
，，
由知此时的与相似。
所以或均为所求。

解题技巧：对利用相似矩阵的性质来确定矩阵中的未知元素这样的问题可用以下两个方法来求解：
（1）若两个相似矩阵与可对角化，则可用“与有相同的特征多项式”来求解，无需“回代检验”。
（2）若两个相似矩阵不可对角化，可用“、、与有相同的特征值”这三个性质来求解，如果所有未知元素都是单根，则解题结束。如果解出的未知元素不都是单根，则需要“回代检验”这个过程。

3.3矩阵等价

3.3.1矩阵等价的定义
（1）矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到；
（2）如果矩阵可以经过有限次的矩阵初等变换化成，则称与等价。
3.3.2矩阵等价的定理和性质
（1）两个矩阵,等价的充分必要条件：存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵，使；
（2）反身性:每一个矩阵与自己等价；
（3）对称性:若与等价，则与等价；
（4）传递性:若与等价，与等价，则与等价。
3.3.3有关矩阵等价的例子
例1 判断与是否等价，这里
（1），；
（2），。
解：
（1）可求得的行列式因子为，而的行列式因子为。它们的行列式因子不同，从而与不等价。
（2）的秩为3，且初等因子为，，，。
由于，
所以的秩为3，且初等因子为，，，。
可见与的秩相同且初等因子相同，故它们等价。

注意：（1）行列式因子
设是阶矩阵，足不超过的自然数。如果的所有阶子式的最大公因式不等于零，则称这个多项式为的阶行列式因子，记为。
（2）不变因子
设阶矩阵的行列式因子为，则必有
，
记（其中设），
多项式称为的不变因子。

例2（三峡大学）设，，试问
（1）取何值时，与等价？
（2）取何值时，与合同？
（3）取何值时，与相似？
解：（1）由题意得，，
其中，，
因为要与等价，即，
得，
所以。
（2），
由于的秩为3，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以其符号差为1。
当，的秩为3，正惯性指数为2，负惯性指数为1，且符号差为1，所以与合同。
（3）由于，而
，
当时，。

结束语

高等代数是数学专业的重要基础课，它对培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，以及后续课程的学习起着非常重要的作用，而数学硕士研究生入学考试的命题分析与命题趋势是每位辅导老师和考生共同关注的问题，还有很多专家在对此进行深入的研究，同时，考研作为一种选拔性水平考试，试题规范，规律性很强，不少题型反复出现。
2013年的考研将近，很多考生也都急于寻找更好的途径，提高复习效率，本文主要是把一些反复出现的有关矩阵问题进行整理归类，系统总结有关矩阵解题思想与方法，以帮助考生理清思路及复习有关内容，同时节省考生宝贵的复习时间。
需要提醒读者注意的是，有些高校的试题似乎常把第一题出得比较难，或者把最难的题目放在试卷中间位置，以考查考生的心理素质，希望考生能够灵活以对，不必拘泥于题目的顺序。
希望本论文对考生能有点实际的帮助，在这里也祝愿考生能在高等代数有关矩阵这一内容中取得较高分数，考出理想的成绩。谢谢！

31