浅谈分块矩阵的应用毕业论文.doc

长沙学院 CHANGSHA UNIVERSITY毕业设计（论文）资料设计（论文）题目： 浅谈分块矩阵的应用 系部：信息与计算科学系 专 业：数学与应用数学 学 生 姓 名：班 级：指导教师姓名：最终评定成绩毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 目 录第一部分 毕业论文一、毕业论文第二部分 外文资料翻译一、外文资料原文二、外文资料翻译第三部分 过程管理资料一、 毕业设计（论文）课题任务书二、 本科毕业设计（论文）开题报告三、 本科毕业设计（论文）中期报告四、 毕业设计（论文）指导教师评阅表五、 毕业设计（论文）评阅教师评阅表六、 毕业设计（论文）答辩评审表2009届本科生毕业论文资料第一部分 毕业论文（2009届）本科生毕业论文浅谈分块矩阵的应用系 部：信息与计算科学系 专 业：数学与应用数学 学 生 姓 名：陈 涛 班 级：一 班 学号 2005031110 指导教师姓名：兰 艳 职称 副教授 最终评定成绩 2009年5月 长沙学院本科生毕业论文浅谈分块矩阵的应用系 （部）：信息与计算科学系 专 业：数学与应用数学 学 号：2005031110 学生姓名：陈 涛指导教师：兰 艳 副教授2009年5月 长沙学院毕业设计(论文) 摘 要分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗,从而使一些矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解，所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念，我们需要透彻的了解分块矩阵并能很好学会在何时应用矩阵分块，从而研究它的性质及应用是非常必要的。关键词：分块矩阵，矩阵分块，计算，证明ABSTRACTTheory about block matrix could be used to decline high-order matrix and make its structure clearer to simplify some calculation related to matrix, it also could be used to prove some problems about matrix.In this paper,it focuses on analysing block matrix which could be applied to prove problems about the inverse of matrix and get the rank of matrix and calculate the squarematrix matrix .By quoting a number of examples , we could get that its convenient to solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Obviously,block matrix is a very important concept in high algebra, So, it is necessary to research and comprehend the block matrixs property and application for us,Keywords: partitioned matrix,block matrix,caculate,prove目 录摘 要ABSTRACT第1章 绪 论1第2章 分块矩阵及其性质32.1分块矩阵32.1.1 分块矩阵的定义32.1.2 运算规则32.2分块矩阵的性质及其推论3第3章 分块矩阵在证明方面的应用93.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用93.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用93.1.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用103.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用123.2.1关于矩阵列(行)向量线性相关性123.2.2矩阵的分解13第4章 分块矩阵在计算方面的应用154.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用154.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用184.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算184.2.2矩阵时行列式|H|的计算21结 论23参考文献24致 谢25III 长沙学院毕业设计(论文) 第1章 绪 论在数学名词中，矩阵（英文名Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好地解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组 我们可以构成一个矩阵： 因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来. 数学上，一个m*n矩阵乃一m行n列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成.矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等1.矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等1，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究,其中当矩阵的行数和列数都相当大时,矩阵的计算和证明中会是一很烦琐的过程,因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分,分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用 . （2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具， 研究许多问题都要用到它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、 求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.如：设是一个四分块阶矩阵，其中分别是 阶矩阵 ，若可逆，可证，另若可逆, 则可证得-（3）通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的应用 ,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题 ,用分块矩阵求逆矩阵问题 ,用分块矩阵求矩阵的行列式问题 ,用分块矩阵求矩阵的秩的问题 ,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵问题.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知秩秩,且秩秩,可证得秩min秩 ,秩.（4）利用分块矩阵求高阶行列式.如设 都是 阶矩阵, 其中, 并且,则可求得.（5）给出利用分块矩阵计算行列式的方法，可分几方面讨论，当矩阵或可逆时；当矩阵,时；当与或者与可交换时；当矩阵被分成两个特殊矩阵的和时行列式的计算.（6）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.第2章 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵2.1.1 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵： 其中每个小矩阵 叫做的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵2.2.1.2 运算规则 ， (k是数量) 在用规则1）时，与的分块方法须完全相同；用性质3）时，的列的分法与的行的分法须相同.2.2分块矩阵的性质及其推论 在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质3: 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面; 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号; 利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广. 性质 设方阵是由如下分块矩阵组成 其中 ,都是矩阵 ,又是任一级方阵 .对于矩阵 则证明 设为级单位矩阵 ,则 于是性质 设矩阵是由如下分块矩阵组成 其中 ,都是矩阵 ,又是任一阶方阵 .对于矩阵 则 证明 由 其中 是级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得 性质 设方阵和写成如下形式 ,其中 ,都是 s t 矩阵，则|证明 可由中的,与,相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当为偶数时 | 当为奇时|- 可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立. 下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 推论 设,都是阶方阵,则有 证明 作2n 阶行列式 由拉普拉斯展开定理得又由性质并应用于列的情况,有 推论 设都是阶方阵,则有 证明 根据定性质2并应用于列的情况,有 例1 计算阶行列式 解 令则 =推论 设, 都是阶方阵 ,其中0,并且 ,则有 证明 根据性质2,因为存在,并注意到=,用乘矩阵 的第一行后加到第二行中去得从而 = 例2 计算行列式= 解 设其中, ,由计算知且所以53把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设, 都是级方阵则有 结论告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵,时（即），那么我们可以转换为求，这样我们就把求级的行列式转换成了求级的行列式.结论同样也说明那个当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵,时（即），我们可以转换为求，同样将一个级的行列式转换成了级的行列式.这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例1和例2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点，一但发现有以上行列式的特点,即可用之.第3章 分块矩阵在证明方面的应用 3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 定理 1 秩秩,且秩秩,则秩min秩,秩4证明 令=，,则()可由线性表示秩秩,即秩秩秩令，所以即可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 即秩 定理 2 设、都是级矩阵，若则秩秩5.证明 对分块如下:由于即即说明的各列都是的解.从而秩基础解系秩即秩秩 3.1.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 设、都是阶矩阵,求证:秩秩+秩6证明因为所以=因为，都可逆所以秩=秩而秩秩秩=秩+秩所以秩秩+秩例2 设为矩阵,是从中取行得到的矩阵,则7证明 不妨设是的前行,而后行构成的的矩阵为,则又显然有于是证毕.利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明，如例1；另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点-矩阵分块的作用.本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用. 3.2.1关于矩阵列(行)向量线性相关性命题18 矩阵的列线性无关的充分必要条件是只有零解. 证明 令,其中是的列向量，且即也即若线性无关,则有=,只有零解，反之亦成立. 例3 矩阵列线性无关,求证:列线性无关的充要条件是列线性无关.证明 充分性.要使,即，记,则, 列无关，须,即,又列无关，须，从而列无关.必要性.要使，两边左乘，则，即，列无关，从而列无关. 推论 设， (1)的列线性相关(即)的充要条件是存在,使; (2)的行线性相关(即)的充要条件是存在,使. 证明 （1）设有，(),为的列向量,=,且，使=，即（），而啊,由命题1，的列线性相关. 设A的列线性相关.由命题1，存在使，作（），则，故. 类似可证(2). 3.2.2矩阵的分解 命题 29 设(), （1）使则; （2）使则; （3）使. 证明 使 PAQA（1）将与作如下分块: ，则（2）令，令，即得 ,（3）因为,即得, .矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.第4章 分块矩阵在计算方面的应用4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 命题110 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵, 为阶方阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且 特例 当，与都可逆时，有. 当，与都可逆时，有 当，与都可逆时，有 证明 设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵.则应有即 ， 于是得到下面的等式因为可逆，用右乘式可得代入式得 则.用右乘式可得 代入式得则 可得+.所以.命题2 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵，为阶方阵，当与（）都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵,并且 =特例 （1） 当，与都可逆时，有 （2） 当，与都可逆时，有 （3） 当，与都可逆时，有. 此结论参考命题1. 例1 设M，求. 解 令，. 则很容易求得，且-由命题2可得，例2 求矩阵的逆矩阵.解 设，.则，由命题一可得：.本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别中那些可逆那些不可逆,再具体运用.4.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果11. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理 设矩阵H或H其中均为方阵，则.4.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算命题 1 分别为与阶方阵. 证明 :(1)当可逆时 ,有 (2)当可逆时 ,有= 证明 根据分块矩阵的乘法 ,有由引理知，两边取行列式即得. 根据分块矩阵的乘法 ,有两边取行列式即得.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1设分别是和矩阵. 证明 证明 只需要在命题的中令, 即得;在中令,即得.推论2 分别是和矩阵.证明 证明 在推论1的中,令,在中,令,即得.例3 计算下面阶行列式解 令,，为阶方阵.由于,故为可逆方阵.又易知-从而由命题中得 =.例4 计算行列式解 设，其中,，.因为所以是可逆矩阵.又易知从而由命题中的结论得（2）设Q，其中B（c），C，D由于 从而由推论知,.4.2.2矩阵时行列式|H|的计算 命题 2 是两个阶方阵.则|A+C|A-C|证明 根据行列式的性质和定理，有 .例1 计算行列式.解这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设，由命题2知 行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如（分别是和矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.结 论本文通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法，并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法.通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.参考文献1 百度百科.矩阵EB. 2 国家工科数学教育基地.线性代数EB. http:/202.117.96.226:8090/xxds/neirongtiyao.htm,2009-02,08.3 林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用J.广东广播电视大学学报,2006,15(2):109-112.4 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）M.高等教育出版社.2007:181-186.5 张敏.分块矩阵的应用J.吉林师范大学学报（自然科学版），2003，1(1):120.6 孔庆兰.分块矩阵的应用J.枣庄学院学报,2006，23(5)：25-26.7 刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用J.沧州师范专科学校学报,2006,22(4):40-41.8 李玉梅.分块矩阵的几个重要应用J.怀化师专学报，2000，19(4)：77-78.9 LiuXianghua,The Application Of A Block-MatrixJ.2001.21(3):122-124.10 严坤妹.分块矩阵的应用J.福建广播电视大学学报,2006，(5)：71-73.11 王莲花,李念伟,梁志新.分块矩阵在行列式计算中的应用J. 河南教育学院学报（自然科学卷），2005，14(3):12-15.致 谢本文是在导师兰艳教授的悉心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行、在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于四年来各位同门的支持和帮助，在此特别感谢唐思湘、刘鑫、梁春虎、梁向杭、汪一文在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮组，为研究工作的顺利进行奠定了基础.感谢本课题组的兄弟文晋、刘斌、李岳文、李秋鹏等提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所以帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.学生签名：日 期：- 30 -20 届本科生毕业设计（论文）资料第二部分 外文资料翻译20 届本科生毕业设计（论文）资料第三部分 过程管理资料附件四：2008届毕业设计（论文）课题任务书系(部)：信息与计算科学系 专业： 数学与应用数学 指导教师兰艳职称副教授学生姓名陈涛课题名称浅谈分块矩阵的应用内容及任务研究内容：1、系统总结分块矩阵的定义及相关性质及理论；2、从计算与证明两方面分类讨论分块矩阵及分块初等矩阵的应用；3、分析分块矩阵的应用的利弊。4、分析理论，研究创新，总结全文。研究任务：通过导师指导、查阅资料及对分块矩阵掌握了解相关应用。拟达到的要求或技术指标在毕业论文工作期间，工作努力，态度认真，遵守各项纪律，表现良好，能按时、全面、独立地完成与毕业论文有关的各项任务；具有一定的综合分析问题和解决问题的能力。毕业论文要求研究方案设计基本科学、合理，内容与题目基本相符，有一定的逻辑性与相关性，立论正确，理论分析得当，能运用不同的方法和手段进行分析研究，论文有自己的观点,且不存在知识错误。论文中使用的概念正确，语言表达准确，结构严谨，条理清楚，层次分明，逻辑性强，栏目齐全，书写工整，没有语法错误与错别字。论文写作格式规范，基本符合长沙学院毕业设计（论文）撰写规范有关规定，有一定的参考文献和注释，毕业论文有一定的理论或实际价值。 进度安排起止日期工作内容八学期3月17日前 收集资料、方案论证、撰写开题报告 八学期3月24日前 毕业论文的准备工作八学期4月14日前 初步论文初稿撰写八学期5月26日前 毕业论文的整理、完稿、打印八学期6月 09日前毕业答辩八学期6月16日前 修改毕业论文，装订毕业论文和上交电子文档 主要参考资料1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）.高等教育出版社.2007年. 2俞正光,王飞燕,叶俊,赵衡秀编.大学数学概念、方法与技巧.线性代数与概率统计部分. 清华大学出版社，施普林格出版社，2002年.3史永铨.分块矩阵初等变换及其应用.淮南师范学院学报.2002年.第02期4 李晓红,卜啸天.分块矩阵的初等变换及其应用.高等函授学报（自然科学版） 2007年.第04期5 刘红超,分块矩阵在两类矩阵问题中的应用.株洲师范高等专科学校学报 2005年.第05期教研室意见签名：年 月 日系(部)主管领导意见签名：年 月 日注：本任务书一式三份，由指导教师填写，经教研室审批后一份下达给学生，一份由指导教师保留，一份交系部存档。长沙学院本科毕业设计（论文）开题报告 （2009届）系部：信息与计算科学系 专 业：数学与应用数学 学 生 姓 名：陈 涛 班 级：一 班 学号 2005031110 指导教师姓名：兰 艳 职称 副教授 2009年 3 月 10 日题目：浅谈分块矩阵的应用1.结合课题任务情况，根据所查阅的文献资料，撰写1000字以上的文献综述.英文名Matrix（矩阵）在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。数学上，