中值定理导数的应用知识点.pdf

第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、四个中值定理的关系 推 广 推 广 罗 拉格朗日定理 柯 尔 特例 推 特例 特例 西)b(f)a(fx)x(F定 广 定0n 理 理 泰勒定理二、微分中值定理名 称条 件结 论罗尔定理 b,aC)x(f.1在内存在 )x(f.2b,a)b(f)a(f.3使得b,a0)(f拉格朗日定理 b,aC)x(f.1在内存在 )x(f.2b,a使得b,aab)a(f)b(f)(f推论 1在定理条件下，若0)x(f则（为常数）C)x(fC推论 2若都满足定理条件，)x(g),x(f且)x(g)x(f则C)x(g)x(f（为常数）C柯西定理、)x(f.1b,aC)x(F、在内存在 )x(f.2)x(Fb,a)b,a(x,0)x(F.3使得b,a)(F)(f)a(F)b(F)a(f)b(f三、洛比达法则类型条 件结 论00或型 若时，（或）；ax 00)x(F)x(f 在内，和都存在，且)a(U0)x(f)x(F0)x(F（有限或）（可以是）A)x(F)x(flimaxa)x(F)x(flimaxA)x(F)x(flimax四、其他不定型转化为或00不定型转 化 过 程.0；或 001000102100111111121122121101lnee100 00ln00ee000ln00ee五、泰勒公式分 类定 理泰勒公式 设在含有的某开区间内具有直到)x(f0 xb,a阶的导数，则 1n)xx(!1)x(f)x(f)x(f000 200)xx(!2)x(f)x(R)xx(!n)x(fnn00)n(其中。xx,)xx()!1n()(f)x(R0)1n(0)1n(n麦克劳林公式)0 x(0 2x!2)0(fx!1)0(f)0(f)x(f)10(,x)!1n()x(fx!n)0(f1n)1n(n)n(六、可导函数单调性的判定定 理（判 别 法）设，在内可导，则b,aC)x(fb,a上单调递增 b,a)x(f在bax0 xf，）（上单调递减 b,a)x(f在bax0 xf，）（七、曲线凹凸性的判定定理定 理补 充 说 明设，在上存在，b,aC)x(f)x(f b,a为凹弧)x(f0 xf）（设，上可导，b,aC)x(fb,a为凹弧在内上升。)x(f）（xf b,a曲线为凹弧切线斜率单调递增八、曲线的渐近线铅直渐近线若或，则是)x(flim0 xx)x(flim0 xx0 xx 的铅直渐近线（可以是）)x(fy 0 x水平渐近线若或，则是A)x(flimxA)x(flimxAy 的水平渐近线)x(fy 斜渐近线若，又存在，ax)x(flim)x(xbax)x(flim)x(x则是的一条斜渐近线baxy)x(fy 九、弧微分22)dy()dx(dsdxy121.时，)x(fy dxy1ds22.时，)t(y)t(x22)t()t(ds3.时，)(dds22