点的运动学(滚动).ppt

什么是运动学？点的运动学点的运动学点的运动方程（轨迹）点的运动方程（轨迹）点的速度点的速度点的加速度点的加速度点的复合运动点的复合运动刚体的运动学刚体的运动学刚体的平动（刚体上点的速度和加速度）刚体的平动（刚体上点的速度和加速度）刚体的定轴转动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度）刚体的定轴转动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度）刚体的平面运动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度）刚体的平面运动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度）刚体的定点运动和一般运动（不讲）刚体的定点运动和一般运动（不讲）运动学运动学：研究物体运动的几何性质的科学。：研究物体运动的几何性质的科学。.第五章第五章 点的运动点的运动研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系 运动的运动的运动方程运动方程、运动轨迹、速度和加速度。、运动轨迹、速度和加速度。书书137页页 5-2 直角坐标法直角坐标法当点的运动轨迹为已知直线或为未知时，用直角坐标法描述点的运动规律。1点的运动方程和轨迹方程点的运动方程和轨迹方程取直角坐标系，点 在运动过程中，坐标 ，随时间而变化。（1）运动方程.称为点 的运动轨迹的参数方程。消去式中的参数 t ，可得到点的轨迹方程空间曲线方程：P138点的速度点的速度书P137.P138点的加速度点的加速度.xyOACBl 曲曲曲曲柄柄柄柄连连连连杆杆杆杆机机机机构构构构中中中中曲曲曲曲柄柄柄柄OAOA和和和和连连连连杆杆杆杆A AB B的的的的长长长长度度度度分分分分别别别别为为为为r r和和和和l l。且且且且lrlr，角角角角=t=t，其其其其中中中中 是是是是常常常常量量量量。滑滑滑滑块块块块B B可可可可沿沿沿沿轴轴轴轴OxOx作作作作往往往往复复复复运运运运动动动动，试试试试求求求求滑滑滑滑块块块块B B的的的的运运运运动动动动方方方方程程程程，速速速速度度度度和加速度。和加速度。和加速度。和加速度。.运运运运 动动动动 演演演演 示示示示2/232/23.考虑滑块考虑滑块考虑滑块考虑滑块 B B 在任意位置，由几何关系得在任意位置，由几何关系得在任意位置，由几何关系得在任意位置，由几何关系得滑块滑块滑块滑块 B B 的坐标的坐标的坐标的坐标将将将将=t=t 代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得令令令令=r r/l l，将上式的根式展将上式的根式展将上式的根式展将上式的根式展开，有开，有开，有开，有xyOACBl解解:.略去略去略去略去 4 4以及更高阶项，并利用关系以及更高阶项，并利用关系以及更高阶项，并利用关系以及更高阶项，并利用关系滑块滑块滑块滑块B B的速度和加速度为的速度和加速度为的速度和加速度为的速度和加速度为xyOACBl则则可表示为可表示为可表示为可表示为.轨轨轨轨 迹迹迹迹 演演演演 示示示示.半径是半径是半径是半径是 r r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点MM，在初瞬时与轨道上的在初瞬时与轨道上的在初瞬时与轨道上的在初瞬时与轨道上的O O点叠合；在瞬时点叠合；在瞬时点叠合；在瞬时点叠合；在瞬时t t 半径半径半径半径MCMC与轨道的垂线与轨道的垂线与轨道的垂线与轨道的垂线HC HC 组成交角组成交角组成交角组成交角=t=t，其中，其中，其中，其中 是常量。试求是常量。试求是常量。试求是常量。试求MM点的运动方程，速度和加速度。点的运动方程，速度和加速度。点的运动方程，速度和加速度。点的运动方程，速度和加速度。解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有故有故有故有OHOH=弧弧弧弧MHMH 。在图示瞬时动点。在图示瞬时动点。在图示瞬时动点。在图示瞬时动点MM 的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为 H HC CD DMMx xy yO OA.当当当当 t t=2n=2n 时时时时这表示，当这表示，当这表示，当这表示，当MM点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。M M点的切向加速度和法向加速度点的切向加速度和法向加速度点的切向加速度和法向加速度点的切向加速度和法向加速度注意，尖点注意，尖点注意，尖点注意，尖点.5-3 自然坐标法1、弧坐标形式弧坐标形式的运动方程的运动方程xyzOMs0+-r点的运动轨迹为已知曲线点的运动轨迹为已知曲线坐标原点O在已知轨迹上任选一点。弧坐标s沿轨迹从O到点M的弧长。坐标正方向指定坐标原点O的某一侧为正向。.曲率曲率(curvature)MTTMT”曲率半径曲率半径(radius curvature)MTT”极限位置所在的平面称为极限位置所在的平面称为 密切面密切面(osculating plane)曲线的几何性质曲线的几何性质.法面M+s密切面密切面切线切线2、速度与加速度、速度与加速度速度速度加速度加速度副法线副法线主法线主法线反映速度大小的变化反映速度大小的变化反映速度方向的变化反映速度方向的变化速度、加速度矢量在密切面内速度、加速度矢量在密切面内 自然轴系自然轴系(trihedral axes on a curve)以点以点M为坐标原点，并跟随点为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为一起运动的直角坐标系，称为自然轴系然轴系。分解为两项an恒指向曲线凹侧恒指向曲线凹侧.运运运运 动动动动 演演演演 示示示示.销钉销钉销钉销钉B B可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于R R 的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道DE DE 和摆杆的直槽中滑动，和摆杆的直槽中滑动，和摆杆的直槽中滑动，和摆杆的直槽中滑动，AOAO=R R=0.1m=0.1m。已知摆杆的转角已知摆杆的转角已知摆杆的转角已知摆杆的转角 （时间以（时间以（时间以（时间以s s计，计，计，计，以以以以radrad计），计），计），计），试求销钉在试求销钉在试求销钉在试求销钉在t t1 1=1/4 s 1/4 s 和和和和 t t2 2=1 s 1 s 时的加速度。时的加速度。时的加速度。时的加速度。R RO O R RE ED DB BC Cs sOOA A-s-s+s+s选滑道上选滑道上选滑道上选滑道上O O 点作为弧坐标的原点，点作为弧坐标的原点，点作为弧坐标的原点，点作为弧坐标的原点，并以并以并以并以O O D D为正向。则为正向。则为正向。则为正向。则B B点在任一瞬时的弧坐标点在任一瞬时的弧坐标点在任一瞬时的弧坐标点在任一瞬时的弧坐标这就是这就是这就是这就是B B点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。教材题5-7P154.例：例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。运动方程运动方程:解：解：.矢径法矢径法描述点在空间运动的基本方法（推导公式时用）描述点在空间运动的基本方法（推导公式时用）*用矢径 描述点 在空间的位置随时间的变化。点的运动方程-矢量形式 当 时，的极限位置为曲线在M点处的切线。此时 的极限即为设点M沿轨迹运动，t 瞬时在 M点，用r(t)来描述。瞬时在 点，用 描述。在 时间间隔 内，点M 的位移为 ，即矢径在 内的增量。在 内点M的平均速度为.6-1 刚体的平行移动（简称平动或移动）刚体的平行移动（简称平动或移动）1定义定义刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保持平行，称为平动称为平动 1）刚体上各点轨迹的形状相同。2）同一瞬时，刚体上各点的速度 和加速度完全相同。因此，平动刚体的运动学问题，平动刚体的运动学问题，归结为点的运动学来处理归结为点的运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代表刚体上其它各点的运动。.平移刚体的运动特性：平移刚体的运动特性：刚体上所有点的刚体上所有点的运动轨迹相同运动轨迹相同速度相同速度相同加速度相同加速度相同O=0.平移刚体的动画演示平移刚体的动画演示刚体的直线平移刚体的直线平移刚体的曲线线平移刚体的曲线线平移.荡荡荡荡木木木木用用用用两两两两条条条条等等等等长长长长的的的的钢钢钢钢索索索索平平平平行行行行吊吊吊吊起起起起，如如如如图图图图所所所所示示示示。钢钢钢钢索索索索长长长长为为为为长长长长l l，单单单单位位位位为为为为mm。当当当当荡荡荡荡木木木木摆摆摆摆动动动动时时时时钢钢钢钢索索索索的的的的摆摆摆摆动动动动规规规规律律律律为为为为 ，其其其其中中中中 t t 为为为为时时时时间间间间，单单单单位位位位为为为为s s；转转转转角角角角 0 0的的的的单单单单位位位位为为为为radrad，试试试试求求求求当当当当t t=0=0和和和和t t=2=2 s s时时时时，荡荡荡荡木木木木的的的的中中中中点点点点MM的速度和加速度。的速度和加速度。的速度和加速度。的速度和加速度。O OA AB BO O1 1O O2 2 l ll l（+）MM A A点的运动方程为点的运动方程为点的运动方程为点的运动方程为 A A点的速度点的速度点的速度点的速度 A A点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度代入代入代入代入t t=0=0和和和和t t=2=2，就可求得这两瞬时就可求得这两瞬时就可求得这两瞬时就可求得这两瞬时A A点的点的点的点的速度和加速度，亦即点速度和加速度，亦即点速度和加速度，亦即点速度和加速度，亦即点MM在这两瞬时的速度和加速度。在这两瞬时的速度和加速度。在这两瞬时的速度和加速度。在这两瞬时的速度和加速度。.第六章第六章 刚体的基本运动刚体的基本运动6-2 刚体绕定轴的转动（简称定轴转动）刚体绕定轴的转动（简称定轴转动）1定义定义 刚体在运动过程中，其上有且只有一条直线始终固定不动时，称刚体绕定轴转动称刚体绕定轴转动，该固定直线称为轴线或转轴称为轴线或转轴。.不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。.6-3 定轴转动刚体上点的运动定轴转动刚体上点的速度和加速度定轴转动刚体上点的速度和加速度1、点的速度、点的速度2、点的加速度、点的加速度切向加速度大小：切向加速度大小：法向加速度大小：法向加速度大小：加速度的大小：加速度的大小：速度的大小：速度的大小：速度的分布规律：速度的分布规律：加速度的方向：加速度的方向：.例例:直径为d 的轮子作匀速转动，每分钟转数为n。求轮缘上各点速度和加速度 由于轮子作匀速转动，所以.6-4 轮系的传动比轮系的传动比齿轮传动齿轮传动机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。图7-6所示为一对外接（啮合）齿轮。图7-7为一对内接齿轮。（1）齿轮传动特点两轮接触点的速度大小、方向相同。两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。.2皮带轮和链轮传动皮带轮和链轮传动皮带轮（链轮）传动适用于两轴距离较远的情况。（1）特点：皮带不可伸长（理想化）。设皮带与轮之间无相对滑动。皮带（链条）上各点，,相同。（2）传动比观察图7-9，并由上述皮带传动特点可知：.例：例：已知图示瞬时（已知图示瞬时（=30=30）圆盘的角速度为圆盘的角速度为 和角加和角加速度为速度为 ，求该瞬时杆上求该瞬时杆上A点的速度和加速度。点的速度和加速度。OAc.解：解：1、建立、建立A点的运动方程点的运动方程OAc2、求、求A点的速度点的速度3、求、求A点的加速度点的加速度.角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量.6-5 相关物理量的矢量表示法速速 度：度：加速度：加速度：r:从转轴上任一点到从转轴上任一点到P点的矢径点的矢径切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度角角 速速 度：度：角加速度：角加速度：k 为为z z 轴的单位向量轴的单位向量R:P 点到转轴的距离点到转轴的距离矢径原点在O结果相同.P点速度：点速度：问题：问题：若定轴转动刚体上固连一坐标系若定轴转动刚体上固连一坐标系Axyz，其坐标轴的单，其坐标轴的单位向量分别为位向量分别为 i,j k。求：求：注：注：第八章要用到该公式第八章要用到该公式.用矢积表示点的速度用矢积表示点的速度用矢积表示点的速度用矢积表示点的速度用矢积表示点的加速度用矢积表示点的加速度用矢积表示点的加速度用矢积表示点的加速度.