谈浅对称性在数学中的应用---本科毕业设计.doc

聊城大学本科毕业论文 聊城大学 毕业论文题 目: 浅谈对称性在数学中的应用 专业代码: 070101 作者姓名: 李艳杰 2010 年 5 月 20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 目 录第一章 引言1第二章研究对称性的意义1第三章对称性在初等数学中的应用23.1 对称性在几何中的应用23.2 对称性在方程中的应用33.3 对称性在三角中的应用4第四章对称性在高等数学中的应用64.1 对称性在求导中的应用64.2 对称性在积分中的应用7第五章结束语16参考文献 17致 谢 18摘 要对称性在数学解题中有广泛应用, 在解题过程中, 充分考虑到对称性的因素可以起到事半功倍的效果. 在几何、方程、微分、积分中, 许多问题的求解都采用了对称性原理, 对于一元函数而言对称通常表现为奇、偶函数, 其图象关于原点、x、y 轴对称等. 在求解高等数学的某些问题时, 利用对称性往往能简化解题过程. 通过对初、高等数学的研究, 给出了利用对称性求解初等数学中的几何、方程等问题以及高等数学中的微分、积分问题的基本思路与方法. 关键词 对称性； 函数； 积分； 应用AbstractSymmetry in solving mathematical problems are widely used in problem-solving process, fully taking into account the factors the symmetry of the multiplier effect. In geometry, differential and integral equations, in the solution of the problem, many are symmetry principle, for a unary function, symmetric are usually in the form of a strange, even function, its image on the origin, x, y axis symmetry, etc. In solving some of the problems of higher mathematics, using symmetry tend to simplify the process of solving problems through the initial research, advanced mathematics, gives a solution in elementary mathematics using symmetry of geometry, equations, and the differential in higher mathematics, integral problem of method. Key words Symmetry; function; application; integration浅谈对称性在数学中的应用第一章 引 言作为人类认知世界的结晶, 对称性与人类的文明历史一样久远, 它普适于人类生活的各个方面. 我们的先人首先从认识自然界的形象对称开始, 如树叶的左右对称、月圆时的中轴对称等, 并把这种对称外化为人工自然当中. 如此, 对称性的触角自古代开始就向自然科学中延伸. 著名的古希腊数学家欧几里德在其几何原本中就研究几何图形的对称性. 近代的数学还进一步创立了关于对称性的数学理论群论. 对称是数学美的一种重要表现形式, 它不仅给我们以美感, 更重要的它是一种思想方法, 它既是思考问题的出发点, 又是探索解题思路的精良武器, 在简化解题过程、进行数学命题推广等方面也具有独特的作用, 用对称性学习有关数学知识, 可起到事半功倍的效果. 本文主要介绍了利用对称性求解初等数学中的几何、方程等问题以及利用对称性求解高等数学中的各种积分问题的基本解题思路与方法, 重点研究了对称性在重积分中的应用. 第二章 研究对称性的意义对称, 在现代汉语词典中解释为图形或物体对某个点、直线或平面而言, 在大小、形状和排列上具有一一对应关系.数学中的对称主要有几何对称和代数对称.几何对称是一种位置对称, 从变换的角度而言, 平面图形有轴对称、中心对称和平移对称三种对称形式, 代数对称通常有二元对称和多元轮换对称共扼、对偶、配对也可看作是一种广义的对称对偶是一种深层次的对称, 其对称性不表现在形状上, 而表现在某种关系上. 对称的概念在数学中有广泛而重要的应用. 对于一元函数而言对称通常表现为奇、偶函数, 其图象关于原点、轴对称等. 几何中的对称主要是轴对称和中心对称. 轴对称: 任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分； 中心对称: 任一对对应点的连线段过对称中心, 且被中心平分, 几何中的对称性是极为普遍的, 并有相对的固定规律. 在求解高等数学的某些问题时, 利用对称性往往能简化解题过程. 如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性, 并使人们的思维过程与之相适应, 不但可以更好的把握事物的本质, 还可以使思维和推理过程更简洁, 更快地打开思路, 并能快捷地解决问题. 第三章 对称性在初等数学中的应用对称性在初等数学中有着广泛的应用, 在中学数学中常有对称现象, 既有几何中的轴对称、中心对称等空间对称, 又有代数中的周期节奏和旋律的时间对称. 在学习过程中, 挖掘出数学问题中的关系结构的和谐性与对称性, 能简化运算, 优化思路. 下面谈谈对称在中学数学中的具体运用. 3.1 对称性在几何中的应用在几何方面, 对称性较为直观, 通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象. 球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的, 利用它们的对称性可以解决许多几何问题. 例1 如图, 一个圆柱被一个平面所截, 截面椭圆的长轴长为5, 短轴长为4, 被截后的几何体最短母线长为2, 求这个几何体的体积. 分析 该几何体既不是圆柱，也不是圆台, 更不是圆锥, 我们直接计算其体积是不行的. 利用对称原理, 在其上面补一个完全相同的几何体, 成为一个完整的圆柱. 解 由条件, 圆柱的底面直径为截面椭圆的短轴长4, 又长轴长为5, . 所以. 补成圆柱的母线长为7. 所求几何体的体积为. 在几何方面对称性较为直观, 因此就更能理解与留意, 而在代数方面就不那么直观, 而是较为抽象, 相对也就更不关心代数式的对称性, 其实对称性在代数上的应用也非常广泛, 往往能够化繁为简, 化难为易. 3.2 对称性在方程中的应用在解方程时, 有时若按常规方法去解, 则显得较为复杂, 这时可考虑添加因式, 用对称思想去求解. 例2 已知是方程的两根, 求的值. 分析 因为不是关于的对称式, 无法直接使用韦达定理, 但我们只需添加因式, 则； . 两式都是关于的对称式, 由此可得. 3.3 对称性在三角中的应用例3 已知, 求证. 分析 观察题目的条件和结论, 可以看出他们之间结构上的对称性： 与对称, 与对称, 有这种对称性的启发, 我们猜想, . 为此, 我们设, 原式变为： . （1）有：化简得： . 把（1）式中的与互换得： , 即.例4 在锐角ABC中, 求证： .分析 左、右两边均是关于的完全对称式, 只需比较和. 证 因为, ,.且根据条件有. 若, 则. 那么矛盾. 所以. 从而, . 又因为, 所以. 从而, . 同理, .三式分别相加并除2, 即可得到要证的不等式. 以上介绍了对称性在求解几何、方程、三角中的应用. 对称是初等数学中的常见现象, 学习过程中, 抓住对称关系可优化问题结构, 通过自己的不断摸索与实践, 逐步掌握对称的方法, 以便熟练运用对称去解决各类问题. 第四章 对称性在高等数学中的应用对称性在高等数学领域有相当重要的作用, 我们可以根据所研究的数学对象本身的对称性解决问题, 就微积分部分, 许多问题用“正规”的方法解决十分麻烦, 但根据函数奇偶性、积分区域、函数图象的对称性便可以简化运算. 4.1 对称性在求导中的应用定义1 若中任意两个变元对换而函数不变, 则称是对称函数. 定理1 若是偏导数存在的对称函数, 则. 定理1可以推广到高阶偏导数的情况.定理2 若函数的偏导数存在, 且, 则. 定义2 如果函数在轮换：换, 换, 换下不变, 则称为三元轮换对称函数. 定理3 若是一个三元轮换对称函数, 则它对任意变元所得的阶偏导数的结果都可以经轮换直接转换为其他变元的n阶偏导数. 例5 设, 求. 解 由于函数对于具有对称性, 且故. 有些函数在对换变量后与原来函数差别很小（如仅差一个负号）, 我们称之为“潜在对称”性函数. “潜在对称”性函数的求导, 对具备“潜在对称”性的函数, 视具体情况简化求导. 例6 设, 求. 分析 因为, 所以不具有对称性. 但考虑到仅差一个负号, 于是当存在时, . 可见, 将中互换后添一负号可得到. 也可用类似方法得到二阶导数. 4.2 对称性在积分中的应用4.2.1 对称性在定积分中的应用定理4 设函数在上连续, 则如果我们放宽条件, 只要求积分区间对称, 则可将定理4推广到： 定理5 设在上连续， 则定理6 若存在, 则定理7 设, 则例7 求积分. 解 . 因为. 从而, . 令, 则. 例8 计算. 解 . 例9 求. 解 令, 则 原式 . 例10 计算. 解 因积分区间关于原点对称, 可用公式, 于是, 原式 . 4.2.2 对称性在重积分中的应用关于对称性在重积分中有如下定理： 定理8 设在有界闭区域D上连续, （1）若D关于轴对称, 对于任意, 则其中. （2）若D关于轴对称, 对于任意, 则其中. 例11 计算. 解 是关于的偶函数, 积分区域D关于y轴对称, 由对称性得到. 例12 计算, 其中D为矩形. 解 容易看出积分中对称, 有 . 例13 计算. 解 积分中对称, 由对称性可知 . 例14 证明不等式. 其中是正方形域： . 证 因为积分区域D关于直线对称, 所以, 从而有因为, 所以. 从而. 又的面积为1, 所以. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 定理9 设在有界闭区域Q上连续, （1）若Q关于坐标面对称, 对于任意, 则其中 . （2）若Q关于坐标面对称, 对于任意, 则其中 . （3）若Q关于坐标面对称, 对于任意, 则其中 . 例15 计算三重积分, 其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体. 解 积分区域关于面对称, 被积函数是z的奇函数, 所以. 例16 计算. 其中是由球面所围成的空间闭区域. 解 因为积分区域关于平面对称, 故有, 所以.因为区域关于平面对称且函数是相应于的奇函数, 又也关于平面对称且函数是相应于的奇函数, 于是有. 例17 算, 其中解 因为关于坐标面, 坐标面对称, 由定理9得重积分的积分区域比较复杂, 在运用对称性时, 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面. 4.2.3 对称性在曲线积分中的应用曲线积分是定积分的推广, 它与在对称区间上的奇偶函数定积分有类似的性质. 定理10 设在光滑有界曲线弧上连续, （1）若关于轴对称, 则其中. （2）若关于轴对称, 则其中. 用对弧长的曲线积分定义容易证明. 例18 计算, 其中为折线段所围成区域的整个边界. 解 由于曲线关于轴对称, 而是关于的奇函数, 故. 又关于轴对称, 而是关于的奇函数, 故. 从而. 在曲线积分中, 常用轮换对称性化简曲线积分. 所谓轮换对称性, 即积分曲线方程中的变量轮换位置, 方程不变. 例19 计算, 其中为. 解 由于积分曲线方程中的变量具有轮换对称性, 即三个变量轮换位置, 方程不变, 而且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关, 故有4.2.4 对称性在曲面积分中的应用下述结论以一种情形为例, 其它类型可以类推（1）设分片光滑曲面关于平面对称, 而是上的连续函数, 则(其中为在平面上侧的部分).例20 求, 其中为半球面位于闭区域内的部分. 解 关于坐标面和对称, 而是关于变量, 也是关于变量的奇函数, 所以. 从而,原式=（2）设分片光滑的闭曲面关于平面对称, 法方向取外侧, 而是上的连续函数, 则(其中为在平面上侧的部分).例21 求, 其中为锥面为的朝下的单位法向量. 解 原式. 由于既关于平面对称, 也关于平面对称, 而为的偶函数, 为的偶函数, 所以. 原式以上介绍了对称性在微分、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分中的应用, 在应用对称性求积分时应该注意：必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用； 对坐标的曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧, 需慎重； 有些问题用轮换对称性也可得到简便的解答. 第五章 结束语对称思想是一种重要的数学思想, 利用对称关系解题也是常用的一种解题技巧. 用对称性解题, 不仅可以提高解题的速度, 增大正确率、更重要的是增强学生学习数学的兴趣, 反映数学的内在美, 提高学生数学素质, 意义重大. 开发问题中的对称关系, 往往能使问题得到简捷的解答. 本文初步讨论对称性及其在几何、方程、三角、微积分中的应用, 给出了各部分关于对称性的定理, 并应用定理解题. 由于对称性普遍存在于数学各领域中且具有非常丰富的内容, 因此, 对称在数学研究中的重要作用, 还有待于进一步的挖掘、开发、推广、利用, 从以上内容可以看出, 在求解多元函数的积分问题中, 对称性的利用是极为有用的, 自觉地注意到问题的对称性并巧妙地用它去解答问题, 对于学好多元函数的积分学, 从而更进一步学好高等数学是十分重要的. 参考文献1数学分析(上、下册). 华中师范大学数学系编. 武汉： 华中师范大学出版社. 2000.2高中数学（必修4）. 北京： 人民教育出版社. 2008.3张开瑜. 对称美在数学中的应用. 中学数学教学. 1999, 6.4蔺守臣, 蔡恒录. 对称思想及解题. 天水师专学报（教育科学版）. 2000(20).5朱根林, 孟庆麟. 对称性原则在高等数学中的应用. 宿州学院学报. 2009, 4.6郭环. 对称性在积分中的应用. 山东轻工业学院学报. 2001, 6.7孔令华. 对称性在数学中的应用. 赣南师范学院学报. 2002(6).8胡晓明. 对称性在数学解题中的应用. 中国校外教育. 2009, 8.9于频. 对称性在微积分应用中的教学归纳. 重庆工学院学报. 2003, 10.10王伟平. 对称在高等数学解题中的应用. 济南交通高等专科学校学报. 2001, 3.11张振强. 对称性在二重积分计算中的应用. 南宁师范高等专科学校学报. 2002. 12梁应仙, 辛兰芬. 对称性在三重积分计算中的应用. 沈阳大学学报. 2003, 12.13文武. 对称性在重积分中的应用. 川东学刊（自然科学版）. 1997, 4.14刘维龙, 邵益新. 曲线积分计算中奇偶性、对称性的应用. 无锡教育学院学报. 1998.15于信, 李秀珍. 对称性在多元函数积分中的应用. 山东商业职业技术学院学报. 2004, 12.致 谢首先我非常感谢刘利英老师在我的论文创作期间, 对我的耐心指导并帮我及时纠正了论文的一些不足之处, 给我提出了宝贵的意见, 使我在写本文的过程中不断的改进, 为论文的成功完成奠定了基础. 对于本论题的完成, 老师花费了不少心血, 她丰富的授课内容拓宽了我的视野, 严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样, 她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪, 让我顺利的完成这篇文章. 此外, 在完成这篇文章的过程中, 我还得到了许多同学的热心帮助. 在此, 我对给予过我帮助的老师和同学表示衷心地感谢. 18