数值分析试题及答案.doc

数值分析试题
一、 填空题（2 0×2′）
1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2 位有效数字。
2. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A‖∞＝___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，
‖AX‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=j(x)在有解区间满足 |j’(x)| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是： 1 ；所以当系数ai(x)满足 ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。
8. 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 r(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y=f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii ，(i=0,1,…,n)。
13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)>0 。
14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。
二、 判断题（10×1′）
1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × )
2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( Ö )
3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × )
4、 样条插值一种分段插值。 ( Ö )
5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( Ö )
6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 　　( Ö )
7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( × )
8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( × )
9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( Ö )
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × )
三、 计算题（5×10′）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

解答：
（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：

L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：

（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：

L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：

回代得：
2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
xi
0
1
2
f(xi)
1
-1
3
f ’(xi)

1
5
解答：
做差商表
xi
F(xi)
F[xi,xi+1]
F[xi.xi+1.xi+2]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]
0
1

1
-1
-2

1
-1
1
3

2
3
4
3
0

2
3
5
1
-2
-1
P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)
R4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

解答：
交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

雅克比迭代公式：

《计算机数学基础(2)》数值分析试题
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a1¹0)的绝对误差½x*－x½£( )．
(A) 0.5×10 s－1－t (B) 0.5×10 s－t (C) 0.5×10s＋1－t (D) 0.5×10 s＋t
2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．
(A) ， (B)
(C) (D)
3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( )
(A) (B)
(C) (D)
4. 等距二点的求导公式是( )
(A) (B)
(C) (D)
5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是

那么yp,yc分别为( )．
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题(每小题3分，共15分)
6. 设近似值x1,x2满足e(x1)=0.05，e(x2)=0.005，那么e(x1x2)= ．
7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是 ．
8. 牛顿－科茨求积公式，则＝ .
9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数j(x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．
10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是
预报值：，校正值：yk+1= ．
三、计算题(每小题15分，共60分)
11. 用简单迭代法求线性方程组

的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．
12. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)．
13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分，计算过程保留4位小数．
14. 用牛顿法求的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．
四、证明题(本题10分)
15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a=x0<x1<…<xn=b处的数值解近似值的梯形公式为
y(xk+1)»yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]
其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)

《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1. A 2. B 3. A 4. B 5. D
二、填空题(每小题3分，共15分)
6. 0.05½x2½+0.005½x1½ 7. 3次多项式
8. b－a 9. ½j¢(x)½£r<1 10. yk+hf(xk＋1, ) ．
三、计算题(每小题15分，共60分)
11. 写出迭代格式

X(0)=(0,0,0)T.

得到X(1)＝(2.5，3，3)T

得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T

得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T.
12. 计算均差列给出．

f(xk)
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
6

1
10
4

3
46
18
14/3

4
82
36
6
1/3

6
212
65
29/3
11/15
1/15
f(0,1,3,4,6)=
f(4, 1, 3)=6
13. f(x)=,h=．分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0.
函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3．

(9分)
=×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6
+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)]
=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1
14. 设x为所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115．
因为f¢(x)=2x，f²(x)=2，f(10)f²(10)=(100－115)×2<0，f(11)f²(11)=(121－115)×2>0
取x0=11．
有迭代公式
xk+1=xk－=(k=0,1,2,…)
x1=＝10.727 3
x2=＝10.723 8
x3=＝10.723 8
x*»10.723 8
四、证明题(本题10分)
15. 在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得
y(xk+1)－y(xk)=
用求积梯形公式，有
y(xk+1)－y(xk)=
将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到
y(xk+1)»yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1)

数值分析期末试题
一、 填空题（分）
（1)设 ，则______13_______。
（2)对于方程组 ，Jacobi迭代法的迭代矩阵是。
（3)的相对误差约是的相对误差的倍。
（4）求方程根的牛顿迭代公式是。
（5）设，则差商 1 。
（6）设矩阵G的特征值是，则矩阵G的谱半径。
（7）已知，则条件数 9
（8）为了提高数值计算精度，当正数充分大时,应将改写为。
（9）个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次。
（10）拟合三点，，的水平直线是。
二、 （10分）证明：方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性。
证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为

的特征多项式为

的特征值为，，，故＞1，因而迭代法不收敛性。
三、 （10分）定义内积

试在中寻求对于的最佳平方逼近元素。
解：，，
，，，，。
法方程

解得，。所求的最佳平方逼近元素为
，
四、 （10分）给定数据表
x
-2
-1
0
1
2
y
-0.1
0.1
0.4
0.9
1.6
试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。
解:
，

法方程

的解为，，，
得到三次多项式

误差平方和为
五. (10分) 依据如下函数值表

0
1
2
4

1
9
23
3
建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算，并在假设下，估计计算误差。
解:先计算插值基函数

所求Lagrange插值多项式为
从而。
据误差公式及假设得误差估计：

六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组

解 设

由矩阵乘法可求出和

解下三角方程组

有，，，。再解上三角方程组

得原方程组的解为，，，。
七. (10分) 试用Simpson公式计算积分

的近似值, 并估计截断误差。
解：

截断误差为

八. (10分) 用Newton法求方程在区间内的根, 要求。
解：此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设

则 ，
Newton法迭代公式为
，
取，得。
九. (10分) 给定数表

-1
0
1
2

10
14
16
15

1

0.1

求次数不高于5的多项式，使其满足条件

其中 。
解：先建立满足条件
，
的三次插值多项式。采用Newton插值多项式
+

再设 ，由

得

解得，。
故所求的插值多项式
其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。
二．培训的及要求培训目的
安全生产目标责任书
为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015年度安全生产目标的内容，现与财务部签订如下安全生产目标：
一、目标值：
1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。
2、现金安全保管，不发生盗窃事故。
3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。
4、安全培训合格率为100%。
二、本单位安全工作上必须做到以下内容：
1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。
2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。
3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。
4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。
5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。
6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。
7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。
8、虚心接受员工提出的问题，杜绝不接受或盲目指挥；
9、发生事故，应立即报告主管领导，按照“四不放过”的原则召开事故分析会，提出整改措施和对责任者的处理意见，并填写事故登记表，严禁隐瞒不报或降低对责任者的处罚标准。
10、必须按规定对单位员工进行培训和新员工上岗教育；
11、严格执行公司安全生产十六项禁令，保证本单位所有人员不违章作业。
三、 安全奖惩：
1、对于全年实现安全目标的按照公司生产现场管理规定和工作说明书进行考核奖励；对于未实现安全目标的按照公司规定进行处罚。
2、每月接受主管领导指派人员对安全生产责任状的落

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