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利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的夹角
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是。
向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，若与的夹角为锐角，则，若与的夹角为钝角则，所以有

练习 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.

(2)直线与平面所成的角
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是。
向量求法：
若是平面α的法向量, 是直线L的方向向量,则L与α所成的角或，所以

练习：1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1D1的中点，求A1B1与平面A1EF所成的角

2：在三棱锥P—OCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=,PC=4，D为PC的中点，求OD与平面PBC所成的角

(3)二面角
二面角的取值范围是。
二面角的向量求法：
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；
方法二：设，分别是两个面的法向量，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
(4)点到平面的距离
A
n
A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.，斜线AB与平面α的夹角为
B
H

=

=

典题赏析
题目1：如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、

第:1题
、、、
、，
从而
设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.
题目2. 已知正方体的棱长为a．
A
B
C
D
C1
D1
A1
B1
第2题
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成的二面角余弦值
解 (1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、
、，向量．
设是平面的法向量，于是，有
A
B
C
D
C1
D1
A1
B1
(O)
x
y
题目2
，即．
令得．于是平面的一个法向量是
． 因此，到平面的距离．
(2) 由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是．
设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则
．
题目3.如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，
，，。
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离。
解：．（1）如图建系，则
，
，故。
A
B
C
D
P
x
y
y
题目3
（2），设平面的法向量为，
依题意，，取。
，所以点到平面的距离。