最长公共子序列.doc

动
态
规
划

一、 问题描述
用动态规划法求两个字符串A=‘xzyzzyx’和B=‘zxyyzxz’的最长公共子序列

二、 算法分析
(1)、若xm=yn,则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共自序列；
(2)、若xm≠yn,且zk≠xm，则Zk是Xm-1和Yn的最长公共自序列；
(3)、若xm≠yn,且zk≠yn，则Zk是Xm和Yn-1的最长公共自序列；
设L(m,n)表示序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列的长度
L表示已经决策的长度
S表示每个决策的状态
L(0,0)=L(0,j)=0 1≤i≤m, 1≤j≤n
L(i-1,j-1)+1 xi=yi,i≥1,j≥1
L(i,j)=
max{L(i,j-1),(L(i-1,j)} xi≠yi,i≥1,j≥1

1 xi=yi
S(i,j)= 2 xi≠yi 且L(i,j-1)≥L(i-1,j)
3 xi≠yi 且L(i,j-1)< L(i-1,j)

x
z
y
z
z
y
x

0
0
0
0
0
0
0
0
z
0
0
1
1
1
1
1
1
x
0
1
1
1
1
2
2
2
y
0
1
1
2
2
2
2
2
y
0
1
1
2
2
3
3
3
z
0
1
1
2
2
3
3
4
x
0
1
1
2
3
3
3
4
z
0
1
2
2
3
3
4
4
长度矩阵L

三、 源代码
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main()
{
string str1 = "xzyzzyx";
string str2 = "zxyyzxz";

int x_len = str1.length();
int y_len = str2.length();

int arr[50][50] ={{0,0}};

int i = 0;
int j = 0;

for(i = 1; i <= x_len; i++)
{
for(j = 1; j <= y_len; j++)
{
if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + 1;
}
else if(arr[i][j - 1] >= arr[i - 1][j])
arr[i][j] = arr[i][j - 1];
else
arr[i][j] = arr[i -1][j];
}
}
for(i = 0 ; i <= x_len; i++)
{
for( j = 0; j <= y_len; j++)
{
cout << arr[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;)
{
if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
cout << str1[i - 1] << " ";
i--;
j--;
}
else if(arr[i][j -1] > arr[i - 1][j])
j--;
else
i--;
}
cout << endl;
return 0;
}