高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案).doc

考纲要求
（1）圆锥曲线
① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
④ 了解圆锥曲线的简单应用；
⑤ 理解数形结合的思想。
（2）曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
基本知识回顾
（1）椭圆
① 椭圆的定义
设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。
② 椭圆的标准方程和几何性质

焦点在x轴上的椭圆
焦点在y轴上的椭圆
标准方程
+=1（a＞b＞0）
+=1（a＞b＞0）
范围

图形

对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
顶点

轴
长轴A1A2的长为：2a 短轴B1B2的长为：2b
焦距
F1F2=2c
离心率

a,b,c关系

例题
例1：椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 。

变式1：已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 。

例2：若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ）
A．y2=x B．y2=x C．y2=16x D．y2=32x

变式2：动圆与定圆A：(x+2)2+y2=1外切，且与直线l∶x=1相切，则动圆圆心P的轨迹是（ ）

A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式4：在抛物线y2=2x上有一点P，若 P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小，则点P的坐标是 。

课后作业
1．已知椭圆+=1, F1、F2分别为它的左右焦点，CD为过F1的弦，则△F2CD的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．不能确定

2．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．

3．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．

答案：
例题
例1、2，120°解：∵，∴，∴，
又，∴，
又由余弦定理，得，
∴，故应填2，120°。
变式1、3解：依题意，有，

可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，

故有b＝3。
例2、C
变式2、D
变式3、D
变式4、（2,2）

课后作业
1．C
2．B
3．解：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。

（2）双曲线
① 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2（称为焦点）的距离的差的绝对值等于常数2a
(0＜2a＜|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,符号表示：||PF1|－|PF2||=2a (0＜2a＜|F1F2|)。
② 双曲线的标准方程和几何性质

焦点在x轴上的双曲线
焦点在y轴上的双曲线
标准方程
－=1（a＞0,b＞0）
－=1（a＞0,b＞0）
范围

图形

对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
顶点

轴
实轴A1A2的长为：2a 虚轴B1B2的长为：2b
焦距
F1F2=2c
离心率

a,b,c关系

例题
例3：如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

变式5：双曲线的一个焦点为，那么的值是（ ）
A．1　　 B．－1　 C．　　 D．－
变式6：曲线的离心率e∈(1, 2)，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞, 0) B．(－3, 0) C．(－12, 0) D．(－60, －12)
例4：设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
变式7：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式8：设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式9：双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．(1,3) B． C．(3,+) D．
例5：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式10：已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝（ ）
A．－12 B．－2 C．0 D．4
变式11：双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1

答案：
例题
例3、C
变式5、B
变式6、C
例4、B 解：由有,则,故选B。
变式7、B，解：因为，再由有，从而可得，故选B。
变式8、B
变式9、B
例5、C解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为
变式10、C解：由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，
.
∴·＝
变式11、解：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A

（3）抛物线
① 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线（定点F不在定直线l上）。
② 抛物线的标准方程和几何性质
标准方程

图形
l y

o F x

y l

F o x

y
F

o x
l
y
l

o x
F
顶点
坐标原点O（0，0）
对称性
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
焦点

离心率
e=1
准线方程

③ 知识拓展
抛物线焦点弦的性质
设AB是过抛物线焦点F的弦，若，则
1.，；
2.弦长丨AB丨==(α为弦AB的倾斜角)；
3.；
4.以弦AB为直径的圆与准线相切；
5.A，O与B在准线上的射影B’三点共线，B，O与A在准线上的射影A’三点共线。
例题
例6：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长是 。
变式12：抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是
变式13：设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能
变式14：过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________

课后作业
1．若双曲线的离心率为2，则等于（ ）
A．2 B． C． D．1
2．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　。

4．已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（，0） C．（4，0） D．（，0）
6．设分别是双曲线的左、右焦点。若点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点。若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（ ）
A． B．
C． D．

答案：
例题
例6、8
变式12、2
变式13、B
变式14、2，解：由题意可知过焦点的直线方程为，
联立有，
又。

课后作业
1．解：由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D。
2．B
3．3
4．A
5．解：由,易知焦点坐标是，故选B。
6．B
7．D，对于椭圆，因为，则
8．C

解圆锥曲线常用方法
（1）韦达定理的应用
例题
例1：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．

课后作业
1、双曲线的渐近线与圆相切，则r=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
2、设双曲线的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．5 C． D．
3、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A． 　　　 B． 　 C． 　　 D．

答案：
例1、解：(1):依题意：c=1,…………………………………………1分
则：,…………………………………………………2分
设椭圆方程为：……………………………3分
将点坐标代入，解得：………………………………………4分
所以
故椭圆方程为：………………………………………5分
（2）设所求切线的方程为：……………………6分

消除y

………7分
化简得：
①………………………………………………………8分
同理：联立直线方程和抛物线的方程得：

消除y得：

………………………………………9分
化简得：
② ………………………10分
将②代入①解得：
解得：
………………12分
故切线方程为：…………………………14分

课后作业
1、A
2、D 解：双曲线的一条渐近线为,由方程组 ,
消去y,得有唯一解,所以,
所以, ,故选D。
3、解：设由△ABF2是正三角形知所以椭圆的离心率，故选A。

（2）圆锥曲线弦长问题
例题
例2：已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为。

（1）求椭圆C的方程;
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

课后作业
1、设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。

2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

答案：

例题
例2、解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ∴，
∴所求椭圆方程为。
（2）设，。
①当轴时，。
②当与轴不垂直时，设直线的方程为。
由已知，得．
把代入椭圆方程，
整理得，
∴，。
∴

。
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述。∴当最大时，面积取最大值

课后作业
1、解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以，

因为,a>1, 若a≥, 则≤1，当时，|PQ|取最大值；
若1<a<，则当y=－1时， |PQ|取最大值2。

2、解：设椭圆方程为
（1）由已知得
∴所求椭圆方程为 。

（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去y得关于x的方程：
由直线与椭圆相交于A、B两点，∴解得
又由韦达定理得
∴
原点到直线的距离
∵。
令， 则∴≤
当且仅当即时，
此时。 所以，所求直线方程为

（3）圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
1．在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
2．在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；
3．在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
例3、对于双曲线，过点能否作直线，使与双曲线交于两点，且点 是的中点。

例4、椭圆的一个焦点是 ，且截直线 ，所得弦 的中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程。

课后作业
1、如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
2、已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为
3、已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为
4、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（2）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。

答案：
例3、解：假设存在直线m，设，则

（1）－（2）得：
∴ ∴
∴m的方程为：即
由 得
∴m与已知双曲线无交点，即假设不成立， ∴m不存在。
例4、解：设所求椭圆方程为（a＞b＞0），由，得，
将与 （a＞b＞0）联立消去y得

设，，则，解出、，
所求椭圆方程为 +=1。

课后作业
1、
2、
3、 解：设抛物线为，与联立方程组，消去y，得：，
，故
4、解：（1）∵，,∴,,
∵圆过点O、F， ∴圆心M在直线上。
设则圆半径。
由得解得。
∴所求圆的方程为。
（2）设直线AB的方程为
代入整理得
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，
记中点则

线段AB的中点N在直线上，
∴
∴，或当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。
∴直线AB的方程是或

分类题型
类型一：三角形面积
例1：已知椭圆 （）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.

例1：解：（Ⅰ）由题意， 又，所以，
所以椭圆的方程为
. ………………4分
（Ⅱ）设，，，
联立 消去得……（*）， ………………6分
解得或，所以，
所以，， ………………8分
由直线斜率为，则，解得（满足（*）式判别式大于零）……10分
到直线的距离为，所以 ，
所以△的面积为. ………13分

练习1：已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点．
（I）若，求直线的方程；
（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．

练习1：解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，
因为 直线过点，可设直线：．
因为 两点在圆上，所以 ，
因为 ，所以
所以 所以 到直线的距离等于．
所以 ， 得
所以 直线的方程为或………………6分
（Ⅱ）因为与的面积相等，所以，
设 ，，所以 ，．
所以 即　　（*）；
因为　，两点在圆上，所以
把（*）代入，得 ，所以
所以 直线的斜率， 即.…………………13分

类型二：与圆的知识结合
例2：已知椭圆的长轴为4，且点在该椭圆上。
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程。

例2：解：（Ⅰ）由题意：，．所求椭圆方程为．
又点在椭圆上，可得．所求椭圆方程为． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，椭圆右焦点为．
因为以为直径的圆过原点，所以．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为．
直线交椭圆于两点， ，不合题意．
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为．
由可得．
由于直线过椭圆右焦点，可知．
设，则，
．
所以．
由，即，可得．
所以直线方程为． ………………14分

练习2：已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

练习2：解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则
解得 ∴ 椭圆C的标准方程为 ……… 4分
Ⅱ）由方程组消去，得 …… 6分
由题意△，整理得： ① …7分设，则， ．…… 8分
由已知， 且椭圆右顶点为
∴　…… 10分
即 ，
也即 ，
整理得．解得 或 ，均满足①… 11分
当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；
当时，直线的方程为 ，过定点，
故直线过定点，且定点的坐标为． ……………… 13分

类型三：中点问题
例3：若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴的一个端点与左右焦点、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ) 过点作直线与椭圆交于、两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

例3：解：(Ⅰ)设椭圆的方程为 ……1 分
由 ……4 分
所以，椭圆的方程为 …… ……5 分
(Ⅱ) 、，
当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率；……6 分
当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为… 7 分
由联立消去并整理得：
设，则 ……10分
当时，的中点为坐标原点，直线的斜率； ……11 分
当时，，

且……13 分
综上所述，直线的斜率的取值范围是. ……14 分

练习3：在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；
（Ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．

（Ⅰ）解：由已知，动点到定点的距离与P到直线的距离相等．
由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线． 所以曲线的方程为． ………………3分
（Ⅱ）证明：设，．
由得． 所以，．
设，则．因为轴， 所以点的横坐标为．
由，可得 所以当时，．
所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行．………………8分
（Ⅲ）解：由已知，． 设直线的垂线为：．
代入，可得 （*）
若存在两点关于直线对称，
则，
又在上，所以， ．
由方程（*）有两个不等实根
所以，即
所以，解得或．………………13分

类型四：与向量知识结合
例4：已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.

解：（1）由题意可得：
=1 所求的椭圆方程为：
（2）设
由 得：
（*）
解得：
由 可得：，即
整理得：
把（*）代入得： 即：
解得：
综上：

练习4：在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.其中F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且.
（1）求C1的方程；
（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。

类型五：最值问题
例5：已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，一个焦点的坐标为．
（I）求椭圆C方程；
（II）设直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点T．当变化时，求面积的最大值．

解：（Ⅰ）由：知．……………………………………………1分
设，在上，因为，所以，得，
在上，且椭圆的半焦距，于是………………………5分
消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为． ………………………………………………… 7分
（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，
因为，所以与的斜率相同，故的斜率．
设的方程为．……………………………………………………… 8分
由 消去并化简得 ．………… 10分
设，，，.……………………11分
因为，所以．
．……………… 12分
所以．此时，
故所求直线的方程为，或． …………………… 14分

解法一：（I）依题意，设椭圆C的方程为
:…………3分 ………4分
椭圆C的方程是 ………………5分
（II）
设，AB中点为
…………10分
…………9分

………………11分

………13分
，
当，即时，取得最大值为 ………………14分
解法二：（I）同解法一
（II）
设，AB中点为
… ……………8分
………………10分

的方程为
令，得， ………………9分
设AB交轴与点R,则 ………………11分

……………13分
当，即时，取得最大值为…………14分

类型六：存在性问题
已知双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
(II) 在双曲线右支上是否存在一点P，使，其中、分别为双曲线的左右焦点，若存在求的值，若不存在，请说明理由

答案：解：(Ⅰ) －y2＝1 （Ⅱ）

(2007广东文19)平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点O.椭圆＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 略

（2008广东理）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

解：（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
类型七：轨迹方程问题
例题：已知的周长为6，点。
（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为1的直线与点A的轨迹C交于P、Q两点，O为坐标原点，求的面积。

答案：(Ⅰ) （II）

高考链接
（一）小题
1、（2007广东理11）在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是
2、（2008广东理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线
方程是 ．
3、（2009广东理11）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为__________________．
4、（2010广东理12）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0 相切，则圆O的方程是
5、（2012广东理12）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。
（二）解答题：
理科
1、(2007广东理18)
平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点O.椭圆＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2、(2008广东理18)
设b>0，椭圆方程为，抛物线方程为，如图4所示，过点F(0,b+2)作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点．
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
(2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，
试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．（不必具体求出这些点的坐标）

3、(2009广东理19)
已知曲线C：与直线l：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，
(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
(2)若曲线G：与D有公共点，试求a的最小值．

4、(2010广东理20)
已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线与交点的轨迹的方程；
(2)若过点 的两条直线和与轨迹E都只有一个交点，且，求 的值．

5、(2010广东理21)
设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为：，对于平面上给定的不同两点，，
(1)若点是平面上的点，试证明：；
(2)在平面上是否存在点，同时满足
①；②
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．

6、(2011广东理19)
设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．
(1)求的圆心轨迹的方程；
(2)已知点，，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标．

7、(2011广东理21)
在平面直角坐标系上，给定抛物线：．实数，满足，，是方程的两根，记．
(1)过点 作的切线交轴于点．证明：对线段上的任一点，有；
(2)设是定点，其中，满足，，过作的两条切线，，切点分别为，，，与轴分别交于，．线段上异于两端点的点集记为．证明：；
(3)设．当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为)．

8、（2012广东理20）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。

文科
1、（2013年文科20题）
已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）
抛物线的方程为；
（2）设点,，，
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即.
∵， ∴ .
∵点在切线上, ∴. ①
同理， . ②
综合①、②得，点的坐标都满足方程 .
∵经过两点的直线是唯一的，
∴直线 的方程为，即；
（3）由抛物线的定义可知，
所以
联立，消去得，

当时，取得最小值为

2、（2012年文科20题）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点，
且在在上。
（1）求的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程
【解析】（1）由题意得：
故椭圆的方程为：
（2）①设直线，直线与椭圆相切
直线与抛物线相切，得：不存在
②设直线
直线与椭圆相切两根相等

直线与抛物线相切两根相等

解得：或

3、（2011年文科21题）
在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。
21．（本小题满分14分）
解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

因此即
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线，

又
因此M在轴上，此时，记M的坐标为
为分析的变化范围，设为上任意点
由
（即）得，

故的轨迹方程为
②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：

；

当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。
再过H作垂直于的直线，交
因此，（抛物线的性质）。
（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。
当时，则
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为
（3）由图3知，直线的斜率不可能为零。
设
故的方程得：
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
又由E2和的方程可知，若与E2有交点，
则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。
因此，直线的取值范围是

4、（2010年文科21题）
已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.
（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；
（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；
（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，
【解析】（1），的切线斜率，的方程为，
当x=0时，，；
（2）原点O到的距离，
，

，
此时，，；
（3）

而
，∵，
∴，得证。

5、（2009年文科19题）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为

（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

6、（2007年文