《导数及其应用》经典题型总结.pdf

1导数及其应用导数及其应用经典题型总结经典题型总结一、知识网络结构一、知识网络结构题型一题型一 求函数的导数及导数的几何意义求函数的导数及导数的几何意义考点一考点一 导数的概念，物理意义的应用导数的概念，物理意义的应用例 1(1)设函数在处可导，且，求；()f x2x(2)1f 0(2)(2)lim2hfhfhh(2)已知，求.()(1)(2)(2008)f xx xxx(0)f 考点二考点二 导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用例 2:已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1，1)，且在点 Q(2，-1)处与直线 y=x-3 相切，求实数a、b、c 的值例 3：已知曲线 y=.34313x(1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则2题型二题型二 函数单调性的应用函数单调性的应用考点一考点一 利用导函数的信息判断利用导函数的信息判断 f(x)f(x)的大致形状的大致形状例 1如果函数 yf(x)的图象如图，那么导函数 yf(x)的图象可能是()考点二考点二 求函数的单调区间及逆向应用求函数的单调区间及逆向应用例 1 求函数的单调区间.（不含参函数求单调区间不含参函数求单调区间）5224xxy例 2 已知函数f(x)x2alnx(aR，a0)，求f(x)的单调区间（含参函数求单调区间含参函数求单调区间）12练习：求函数的单调区间。xaxxf)(例 3 若函数 f(x)x3ax21 在(0,2)内单调递减，求实数 a 的取值范围（单调性的逆向应用单调性的逆向应用）3练习 1：已知函数，若在上是增函数，求的取值范围。0,1,0(,2)(3axxaxxf)(xf 1,0(a2.设 a0,函数在（1，+）上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围。axxxf3)(3.已知函数f(x)ax33x2-x+1 在 R 上为减函数，求实数 a 的取值范围。总结：总结：已知函数在上的单调性，求参数的取值范围方法：)(xfy),(ba 1、利用集合间的包含关系 2、转化为恒成立问题（即）（分离参数）0)(0)(/xfxf或 3、利用二次方程根的分布（数形结合）例 4 求证，（）（证明不等式证明不等式）xx sinx练习：已知 x1，证明 xln(1x)4题型三 函数的极值与最值考点一 利用导数求函数的极值。例 1 求下列函数的极值：(1)f(x)x；(2)f(x).（不含参函数求极值不含参函数求极值）14xlnx1x例 2 设 a0，求函数 f(x)x2(x1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求含参函数求ax极值极值）例 3 设函数 f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程 f(x)9x0 的两个根分别为 1,4.若 f(x)在a3(，)内无极值点，求 a 的取值范围（函数极值的逆向应用函数极值的逆向应用）例 4已知函数 f(x)x33ax1，a0.（利用极值解决方程的根的个数问题利用极值解决方程的根的个数问题）(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围5题型四题型四 函数的最值函数的最值例 1 求函数的最大值与最小值。（不含参求最值不含参求最值）2,2,14)(2xxxxf例 2已知函数 f(x)ax36ax2b，试问是否存在实数 a、b，使 f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由(最值的逆向应用最值的逆向应用)例 3已知 f(x)xlnx，g(x)x3ax2x2.(1)求函数 f(x)的单调区间(2)若对任意 x(0，)，2f(x)g(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围（利用极值处理恒利用极值处理恒成立问题成立问题）练习 1 已知f(x)x3x22x5，当x1,2时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。12(2)f(x)ax33x1 对于x1,1恒有f(x)0 成立，则a_.二、知识点二、知识点1、函数从到的平均变化率：.f x1x2x 2121f xf xxx62、导数定义：在点处的导数记作 f x0 xxxfxxfxfyxxx)()(lim)(000003、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜 yf x0 x yf x 00,xf x率 4、常见函数的导数公式：；C01)(xxxxcos)(sinxxsin)(cos；aaaxxln)(xxee)(axxaln1)(logxx1)(ln5、导数运算法则：；1 f xg xfxgx；2 f xg xfx g xf x gx 3 20f xfx g xf x gxg xg xg x6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；,a b 0fx yf x若，则函数在这个区间内单调递减 0fx yf x7、求解函数单调区间的步骤：()yf x（1）确定函数的定义域；（2）求导数；()yf x()yfx（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；()0fx（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间()0fx 8、求函数的极值的方法是：解方程当时：yf x 0fx 00fx如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；10 x 0fx 0fx 0f x如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 20 x 0fx 0fx 0f x9、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数 f(x)（3）求方程 f(x)=0 的根（4）用方程 f(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由 f(x)在方程 f(x)=0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：yf x,a b求函数在内的极值；1 yf x,a b将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，2 yf x f a f b最小的一个是最小值