医用高等数学定积分.pptx

一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义定义1 1 若在某区间上若在某区间上 ,则称则称 为为 在该区间上的一个在该区间上的一个原函数原函数例如例如:,.,.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何表示原函数的全体如何表示?分析：分析：，.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数;则则（为任意常数）为任意常数）结论：结论：（1）不唯一）不唯一;（3）为为 原函数的全体原函数的全体;.定义定义 若若 是函数是函数 的一个原函数的一个原函数,则则 的原函数的全体的原函数的全体 称为的称为的不定积分不定积分.记记 为为 .任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量 由此可知由此可知,求求 不定积分只需求出不定积分只需求出 一个原函一个原函 数数,再加上任意常数再加上任意常数 .例例1 求求.解解.例例2 求求.解解.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:它们在点它们在点 处有相同处有相同的斜率的斜率 ，即这些，即这些切线互相平行切线互相平行故故 为在点为在点x x处切线斜率为处切线斜率为f(x)的一族曲线。的一族曲线。是积分曲线是积分曲线 上、下平移所得到一族上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线，称为积分曲积分曲线族线族二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基本积分公式 性质性质1.性质性质2.基本积分公式基本积分公式 ；(4)；(3)；.例例3 3 求求解解.例例4 4 求求解解.例例5 5 求求解解.例例6 6 求求解解 .例例7 7 求求解解 .三、换元积分法三、换元积分法 第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)定理定理则有换元公式则有换元公式例例8 8 求求.解解.解解.解解.例例9 9 求求.例例1010 求求.对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量.例例1111 求求.解解Cax+=23)(32.例例1212 求求.解解.例例1313 求求.解解Cxxxd+=2)(ln21lnln.例例1414 求求解解.例例1515 求求解解.另一方法另一方法:解解.例例1616 求求解解另一方法另一方法:解解.例例1717 求求.例例1818 求求.解解.2.第二换元积分法第二换元积分法定理定理解解 令令则则从而从而例例1919 求求 （根式代换）（根式代换）例例2020 求求（根式代换）（根式代换）解解 令令则则从而从而 若被积函数中含有若被积函数中含有 时时,可采用可采用三角替换的方法化去根式三角替换的方法化去根式,这种方法称为这种方法称为三角代换三角代换.三角代换常有下列规律：三角代换常有下列规律：可令可令可令可令可令可令例例2121 求求解解 设设.例例2222 求求解解 令令解解 令令例例2323 求求.于是于是,综上所述得：综上所述得：四、分部积分法四、分部积分法 证明证明由导数公式由导数公式 得得对上两边求不定积分得对上两边求不定积分得定理定理分部积分公式分部积分公式所以所以解解另一另一 思路：思路：例例2525 求求更复杂了更复杂了!解解例例2626 求求例例2727 求求解解解解例例2828 求求例例3030 求求解解解解例例2929 求求例例3131 求求解解例例3232 求求解解例例3333 求求解解解解例例3-343-34 求求解解例例3535 求求解解例例3636 求求故故例例3737 求求解解 设设 ,则则五、有理函数的积分五、有理函数的积分其中其中 、都是非负整数；都是非负整数；及及 都是实数都是实数,并且并且 ，.有理函数有理函数指指两个多项式的商所表示的函数两个多项式的商所表示的函数:假定分子与分母之间没有公因式，则假定分子与分母之间没有公因式，则称有理函数为称有理函数为真分式；真分式；称有理函数为称有理函数为假分式假分式.注意：注意：例：例：(1)利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和一个真分式之和和.(2)在实数范围内真分式总可以为化为几个在实数范围内真分式总可以为化为几个最简最简 分式分式之和之和.最简分式是下面两种形式的分式：最简分式是下面两种形式的分式：其中其中 都是待定的常数，都是待定的常数，k k为正整数且为正整数且满足条件满足条件 若有理函数的分母中有因式若有理函数的分母中有因式 ，则，则分解式含有下列最简分式分解式含有下列最简分式其中其中为待定常数。为待定常数。若有理函数的分母中有因式若有理函数的分母中有因式 ，则分解，则分解式含有下列最简分式：式含有下列最简分式：(3)有理函数化为有理函数化为最简分式最简分式之和的一般规律：之和的一般规律：其中其中 为待定常数为待定常数.为便于求积分必须把真分式化为最简分式之和为便于求积分必须把真分式化为最简分式之和,同时，同时，要把待定的常数确定要把待定的常数确定,这种方法叫这种方法叫待定系数法。待定系数法。例例 38 求求解解 设设下面确定系数下面确定系数A A和。和。方法一：方法一：去分母去分母,两端同乘两端同乘 ，得，得比较两端比较两端 同次幂的系数同次幂的系数,得得解方程组得解方程组得:方法二：方法二：在恒等式在恒等式 中，中，令令 得得 ;令令 得得 .于是于是故故例例39 求求解解 设设两边同乘两边同乘 得得解解 设设例例40 求求故故两边同乘两边同乘 得得故故解解 例例41 求求 分析分析:被积函数的分母被积函数的分母 在实数范围内在实数范围内 不能因式分解不能因式分解,可用凑微分法求解可用凑微分法求解.练习：练习：1原函数的概念不定积分的概念不定积分的性原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式质基本积分公式主要内容主要内容2两类换元法两类换元法3分部积分法分部积分法 （1）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积的乘积,设幂函数为设幂函数为 .(2)若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为的乘积，设对数函数或反三角函数为 .(3)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆二者皆可作为可作为 ,但作为但作为 的函数的类型不变的函数的类型不变.