对数与对数函数-知识点与题型归纳.pdf

1高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，且 a1)备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与2幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理名师一号P27注意：知识点一 对数及对数的运算性质1.对数的概念 一般地，对于指数式 abN，我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN，即 blogaN(a0，且 a1)其中，数 a叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”注意：(补充)关注定义-指对互化的依据2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；3logalogaMlogaN；MNlogaMnnlogaM(nR)；logamMn logaM.nm(2)对数的性质alogaNN；logaaNN (a0，且 a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b 均大于零且不等于 1)；logaNlogablogab，推广 logablogbclogcdlogad.1logba注意：(补充)特殊结论:log 10,log1aaa知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）4 a1 0a0，a1，N0)logaN练习:(补充)已知求1135,2abkabk答案:15k 例 3.名师一号P28 高频考点 例 1(2)已知函数 f(x)Error!则 f(f(1)f的值(log312)10是()A5B3C1D.72因为 f(1)log210，所以 f(f(1)f(0)2.因为 log30，所以 f3 112(log312)31213.log32 所以 f(f(1)f235.(log312)二、对数函数的图象及性质的应用例 1.(补充)求下列函数的定义域(1)y.log0.5(4x3)(2)ylog(x1)(164x)11解析：(1)由函数定义知：Error!Error!即 x1.34故原函数的定义域是x|x134(2)由函数有意义知Error!Error!即1x2，且 x0.故原函数的定义域为x|1x0，或 0 x0 恒成立，a24a04a0，即 a 的范围为(4,0)12例 2.名师一号P27 对点自测 5(2014重庆卷)函数 f(x)log2log (2x)的最小值x为_解析根据对数运算性质，f(x)log2log(2x)x log2x2log2(2x)log2x(1log2x)(log2x)2log2x122，当 x时，函数取得最小值.(log2x12)14221413注意：换元后“新元”的取值范围练习：1、求下列函数的值域（1）ylog(x22x4)15答案1，)（2）f(x)log x3log2x222 2(12 x 2)解析令 tlog2x，x21t1.12函数化为 yt26t2(t3)271t1.当 t1，即 x 时，ymax9.12当 t1，即 x2 时，ymin3，14函数的值域为3,9.2、已知集合 22logy yxaxaR 求实数 a 的取值范围分析当且仅当 f(x)x2axa 的值能够取遍一切正实数时，ylog2(x2axa)的值域才为 R.而当 0 恒成立，仅仅说明函数定义域为 R，而 f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)要使 f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与 x 轴有交点(但此时定义域不再为 R)正解要使函数 ylog2(x2axa)的值域为 R，应使f(x)x2axa 能取遍一切正数，要使 f(x)x2axa能取遍一切正实数，应有 a24a0，a0 或a4，所求 a 的取值范围为(，40，)15例 3.（1）名师一号P27 对点自测 4已知 a0 且 a1，则函数 yloga(x2 015)2 的图象恒过定点_解析令 x2 0151，即 x2 014 时，y2，故其图象恒过定点(2 014,2)练习:无论 a 取何正数(a1)，函数恒过定点 33logayx 【答案】4 3,注意：16对数函数图象都经过定点(1,0)01log,ayx aa 且例 3.（2）(补充)如右下图是对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 的图象，则 a、b、c、d与 1 的大小关系是 ()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc【答案】B在上图中画出直线 y1，分别与、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知 cd1a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()A B C D18答案：B.例 4.名师一号P28 高频考点 例 3已知函数 f(x)log4(ax22x3)(1)若 f(1)1，求 f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解析:(1)f(1)1，log4(a5)1，因此 a54，a1.这时 f(x)log4(x22x3)由x22x30 得1xbc Bbac Cacb Dcab【规范解答】方法 1：在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x 的图象，如图所示由图象知：log23.4log3log43.6.103方法 2：log3log331，且3.4，10310321log3log33.4log23.4.103log43.61，103log43.6log3log43.6.103由于 y5x为增函数，故 acb.注意：名师一号P28 问题探究 问题 3比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性22练习:1、若 0 xy1，则()A3y3x Blogx3logy3Clog4xlog4y D.xy(14)(14)解析：0 xy1，由 y3u为增函数知 3x3y，排除 A；log3u 在(0,1)内单调递增，log3xlog3ylogy3，B 错由 ylog4u 为增函数知 log4xy，排除 D.(14)(14)(14)答案：C232、对于 0a1，给出下列四个不等式loga(1a)loga(1)；1aa1aa.其中成立的是()A与 B与C与 D与答案：D 解析：由于 0a1a 1aloga(1)，a1aa.1a 选 D.24四、对数方程与不等式例 1.(1)(补充)方程 log3(x210)1log3x 的解是_答案x5解析原方程化为 log3(x210)log3(3x)，由于log3x 在(0，)上严格单增，则 x2103x，解之得x15，x22.要使 log3x 有意义，应有 x0，x5.注意：依据对数函数恒单调求解。例 1.(2)温故知新 P32 第 9 题 已知函数，且关于的方程 2log030 xx xf xxx25有且只有一个实根，则实数的取值 0f xxaa范围是 练习：温故知新 P31 第 5、6 题 温故知新 P29 第 10 题例 2.（1）(补充)已知 0a1，loga(1x)logax 则()A0 x1 Bx C0 x D.x1121212分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数 ylogax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析：0a1 时，ylogax 为减函数，26原不等式化为Error!，解得 0 x.12例 2.(2)(补充)设 0a1，函数 f(x)loga(a2x2ax2)，则使 f(x)0的 x 取值范围是()A(，0)B(0，)C(，loga3)D(loga3，)解析：0a1loga(a2x2ax2)1a2x2ax30ax3 或 ax1(舍)xloga3，故选 C.注意：关于含对数式(或指数式)的不等式求解，27 一般都是用单调性或换元法求解例 2.（3）名师一号P28 高频考点 例 2(2)当 0 x 时，4xlogax，则 a 的取值范围是()12A.B.C(1，)D(，2)(0，22)(22，1)22解析：由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax，即当 0 x 时，函数 y4x的图象在函数(0 x 12)12ylogax 图象的下方又当 x 时，4 2，即函数 y4x的图象过点，12(12，2)把点代入函数 ylogax，得 a，若函数 y4x的(12，2)2228图象在函数 ylogax 图象的下方，则需a1 时，不符合题意，舍去所以实数 a 的取值范围是.(22，1)答案：B.练习:当时，不等式恒成立，则实(1,2)x2(1)logaxx数的取值范围是_。a29分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设，21()(1)f xx2()logafxx则的图象为右图1()f x所示的抛物线，要使对一切，恒成立，,(1,2)x12()()f xfx1a 观察图象得：只需即可。故，21(2)(2)fflog 211aa取值范围是。12aa变式:名师一号P28 变式思考 2(2)xy012y1=(x-1)2y2=logaxP(2,1)30不等式 logax(x1)2恰有三个整数解，则 a 的取值范围为()A，B，)C(1，D(1,165941659416594解析:不等式 logax(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知 a1，其整数解为2,3,4，则应满足Error!得a0.原方程有两个实数解，即方36程 t22t3k10 有两个正实数解，则Error!，解得 k.1323 练习 3:对任意的恒成立，求的范222(45)43411,()()33mxxmx m xxRm围.解：由题意即对任意的1013恒成立 222,(45)434xRmxxmxm x即对任意的,xR恒成立22(45)(44)30mmxm x 2222450450(44)12(45)0440mmmmmmmm 或37 15151191mmmmmm 或或或119m 练习 4:已知函数的定义域为，)43lg(112xxxxyM（1）求 M（2）当 时，求 的最小xMxxaxf432)(2)3(a值.解(1)21011340 xxxxx且由题可得 1,1)M 可解得(2)2()23 4xxf xa =22243(2)33xaa38,，,1,1)x 1222x，3a 223a若，即时，=，2132a34a min()f x(1)f 324a若，即时，12223a 334a 所以当即时，=22,3xa 22log()3ax min()f x243amin2332()44()43(3)34aaf xaa 练习：1、不等式 x2logax0 在 x(0，)时恒成立，则 a 的取值12范围是()A0a1B.a1 D0a116解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数 yx2与 ylogax 的图象与性质，因此可在同一坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标系中画出 yx2，x(0，)与 ylogax 的图象，12由图象易得Error!即a1.故选 B.116