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1华师大版九年级下册数学知识点总结华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章第二十六章 二次函数二次函数 一、二次函数概念：一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。2yaxbxcabc何何0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。二次函数的定义域是全体实数。0a bc何2、二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2。xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。abc何何abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2yax2.的性质：2yaxc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00何轴y时，随的增大而增大；0 x yx时，随的增大而减小；0 x yx时，有最小值。0 x y00a 向下00何轴y时，随的增大而减小；0 x yx时，随的增大而增大；0 x yx时，有最大值。0 x y023.的性质：2ya xh4.的性质：2ya xhk三、二次函数三、二次函数图象的平移图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk何 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk何的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c何轴y时，随的增大而增大；0 x yx时，随的增大而减小；0 x yx时，有最小值。0 x yc0a 向下0c何轴y时，随的增大而减小；0 x yx时，随的增大而增大；0 x yx时，有最大值。0 x yc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h何X=h时，随的增大而增大；xhyx时，随的增大而减小；xhyx时，有最小值。xhy00a 向下0h何X=h时，随的增大而减小；xhyx时，随的增大而增大；xhyx时，有最大值。xhy0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk何X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小值。yxxhyk0a 向下hk何X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大值。yxxhyk3【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。hk 概括成八个字“左加右减，上加下减”。方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，cbxaxy2ym变成（或）cbxaxy2mcbxaxy2mcbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移个单位，cbxaxy2m变成（或）cbxaxy2cmxbmxay)()(2cmxbmxay)()(2四、二次函数四、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，2ya xhk2yaxbxc即，其中。22424bacbya xaa2424bacbhkaa 何五、二次函数五、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称2yaxbxc2()ya xhk轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点y、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，0c何0c何2hc，x10 x 何20 x 何x则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy六、二次函数六、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。0a 2bxa 2424bacbaa何当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值2bxa yx2bxa yx2bxa y。244acba4 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。当时，随0a 2bxa 2424bacbaa何2bxa y的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值。x2bxa yx2bxa y244acba七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种x240bac形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然。2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大。0a aa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。aaa2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧。0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧。0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置。ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左ababx2y0aby0ab同右异”总结：3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy5 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置。cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。abc何何二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。九、二次函数图象的对称九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhkx2ya xhk 2.关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk 3.关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk 4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是。2ya xhk2ya xhk 5.关于点对称 mn何关于点对称后，得到的解析式是2ya xhkmn何222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变。求抛物a线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。6十、二次函数与一元二次方程：十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程240bac x1200A xB x，12()xx12xx，的两根。这两点间的距离.200axbxca2214bacABxxa 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有。20a xx0y 2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断2yaxbxcabcabc图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个x交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面2(0)axbxc ax以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a 二次函数图像参考：二次函数图像参考：0 抛物线与轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与轴只x有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与轴无x交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y=-x2y=-x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x27十一、函数的应用十一、函数的应用二次函数应用何何何何何何何何何何何何何何何何何何何第二十七章：第二十七章：圆圆一、知识回顾一、知识回顾圆的周长圆的周长：C=2r 或 C=d、圆的面积、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：圆环面积计算方法：S=R-r或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点二、知识要点一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；drC2、点在圆上 点在圆上；drB3、点在圆外 点在圆外；drA三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；dr3、直线与圆相交 有两个交点；drrddCBAO8drd=rrd四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 ；dRr外切（图 2）有一个交点 ；dRr相交（图 3）有两个交点 ；RrdRr内切（图 4）有一个交点 ；dRr内含（图 5）无交点 ；dRr周 1rRd 周 3rRd 五、垂径定理五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，OABCD 弧弧ACBD六、圆心角定理六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1周 2rRd周 4rRd周 5rRdOEDCBAOCDAB9推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：；AOBDOE ABDE；弧弧OCOFBABD七、圆周角定理七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角OCD CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNOFEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAOEDCBANMAO10（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，OABCDP PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，OABCD 2CEAE BE（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线OPAPB 2PAPC PB（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线OPBPE PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOAB即：、相交于、两点1O2OAB 垂直平分12OOAB十三、圆的公切线十三、圆的公切线PBAOPODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BA11两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；12Rt OO C22221122ABCOOOCO（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。2CO2CO十四、圆内正多边形的计算十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：OABCRt BOD:1:3:2OD BD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：Rt OAE:1:1:2OE AE OA （3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；180n Rl（2）扇形面积公式：213602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形面积nRlS2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhrB 圆柱的体积：2Vr h（2）A 圆锥侧面展开图=SSS侧表底2RrrB 圆锥的体积：213Vr h DCBAOECBADOBAOSlBAO周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBAB1RrCBAO12第二十八章第二十八章 样本与总体样本与总体 二.重点、难点：1.重点：了解普查与抽样调查的概念，并能根据实际情况确定收集数据的方式；了解总体、个体、样本等概念，能够指出研究对象的总体、个体与样本；学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，用样本估计总体；通过整理和分析数据，准确地作出决策。2.难点：正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并能选择合适的样本看总体；能够对数据的来源，处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的分析。三.知识梳理：知识点内容关注注意事项总体、个体、样本、样本容量总体是考察对象的主体，个体是组成总体的每一个对象，样本是总体中的一部分个体，样本容量是样本包含的个体数量样本容量是一个样本中个体的数量普查与抽样调查普查是对所有对象进行调查，抽样调查是对部分对象进行调查普查与抽样调查的范围不同简单的随机抽样使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，对每个个体都公平的方法，就是用抽签的方法决定个体进入样本简单的随机抽样对总体中每个个体来说，被抽到的机会是均等的随机性在抽样前，不能预测哪些个体会被抽中，这种不能事先预测结果的特性称为随机性随机性是抽取样本具有代表性的重要保障抽样调查的可靠性用随机抽样的方法获取样本，且样本容量合适时，由样本得出的特性会更接近总体的特性样本在总体中需有代表性；样本容量应该足够大；样本要避免遗漏某一个群体借助调查作决策通过媒体收集信息，将信息进行全面、科学地分析分析角度不同，得到的结论也会不同13容易误导决策的统计图媒体中数据很多，有许多有用的信息，但信息不一定可靠，要全面分析考虑信息的时效性、可靠性和代表性