球面坐标和柱面坐标在计算中的应用--本科毕业设计论文.doc

（2015届）
本科毕业设计（论文）

题 目 名 称：
球面坐标和柱面坐标在计算中的应用
学 院（部）：
理学院
专 业：
数学与应用数学
学 生 姓 名：
吴永旭
班 级：
1101
学号： 11404200413
指导教师姓名：
唐亮
职称： 讲师
最终评定成绩：

2015年

湖南工业大学

本科毕业论文（设计这里有你自己的东西吗？例子和公式都是粘贴的
）

诚信声明

本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），题目《2011年中国各省财政收入数据的主成分分析研究》是本人在指导教师的指导下，进行研究工作所取得的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文章以明确方式注明。除此之外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。本人完全意识到本声明应承担的责任。

作者签名：
日期：2014 年 3 月 10 日

摘要

三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点同时也是难点。如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以利用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。纵观现有各个版本的高等数学和数学分析的系列教材中，应用柱面坐标和球面坐标来计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路。本文结合了数学分析、解析几何等教材以及相关的文献资料比较全面的给出了运用球面坐标和柱面坐标来简化三重积分和曲面积分的方法。在运用球面坐标和柱面坐标的基础上充分的运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性省略一部分计算，达到简化的效果。本文还归纳总结出一些学生常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并提出如何确定积分限，对学生计算三重积分有一定的指导意义。

关键词：球面坐标；柱面坐标；三重积分；曲面积分

ABSTRACT
University of triple integral and surface integral are key points and difficulties in mathematics and mathematical analysis. If when the integral region is a cylinder, cone surface, or spherical, this time we can use spherical coordinates and cylindrical coordinates transform integral calculation more simple. Throughout most of the existing various version of the series of higher mathematics and mathematical analysis teaching material, the application of cylindrical coordinates and spherical coordinates to calculate the triple integral and surface integral are gave no specific design formula, make it hard for students to master. So spherical coordinates and cylindrical coordinates in calculation, the application of this research can help students better grasp the problems of computation, clarify the thinking of the problem solving. This paper combines the mathematical analysis, parsing, how a few materials and relevant literature of using spherical coordinates and cylindrical coordinates is given to simplify the triple integral and surface integral method. In using spherical coordinates and cylindrical coordinates on the basis of fully using the parity of integrand and symmetry of integral area of omit part of calculation, the effect of simplified. This article also summarizes some common for students of triple integral limit type and integral domain projection area, and puts forward how to determine the bounds, for students to have certain guiding significance to the triple integral calculation.

Keywords:Spherical coordinates; Cylindrical coordinates; Triple integral.；Surface integral

目录球坐标和柱面坐标在计算中的应用不仅仅是在积分中的应用

第一章 绪论………………………………………………………………………………… 1
第二章 球坐标、柱面坐标简要简介………………………………………………4
2.1球坐标、柱面坐标的概念……………………………………………………6
2.2球坐标、柱面坐标的性质……………………………………………………6
第三章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用……………………6
3.1 三重积分限的确定………………………………………………6
3.2球坐标在三重积分计算中的应用
3.2.1一般情况下球面坐标三重积分的计算…………………………………6
3.2.2利用对称性和奇偶性简化球面坐标三重积分计算…………………6
3.3柱面坐标在三重积分计算中的应用………………………………………6
3.3.1一般情况下三重积分的柱面坐标计算法……………………………6
3.3.2运用对称性和奇偶性简化柱面坐标三重积分计算……………………6
第四章球坐标、柱面坐标在曲面积分计算中的应用………………………………4
4.1球坐标在曲面积分计算中的应用……………………………………………4
4.2柱面坐标在曲面积分计算中的应用…………………………………6
结论…………………………………………………………………………………………6
致谢…………………………………………………………………………………………6
参考文献……………………………………………………………………………………6

第1章绪论第一、二章合并为绪论，1、研究意义2基础知识

三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点但也是难点。如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。但在现有的各个版本的高等数学系列教材中，在柱面坐标和球面坐标中计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路研究意义应该是讲球坐标和柱坐标在计算中的简易性等
。

第2章球坐标、柱面坐标简要简介
2.1球坐标、柱面坐标的概念
空间中与坐标原点的距离为的任意点，总可以把它看成在以远点为中心，半径为的球面上，因此当我们把球面半径看成变量时，公式就说明了空间一点的位置，如果这是把变量改写成，并设

的值都确定，那么便有

点的位置也就被确定了；反过来，空间点的位置如果已经确定，那么三个值也就确定了（如果是原点，那么分别在到与到内任意取定；如果在轴上，但不是原点，那么这时可在到内任意取定，而或）。这样就使空间的点除去轴上的点，其余的点与有序三数组建立了一一对应的关系，并把有序三数组叫做空间点的球坐标或称空间极坐标，记做，这里的，，。
柱坐标系简要介绍
空间中与轴的距离为的点，总可以把它看成在以轴为轴，半径为的圆柱面上，因此当我们把圆柱面半径看成变量，并改用来表示时，那么由 可知的值可以确定空间一点的位置；反过来，如果点的位置确定时，那么的值也就确定（如果在轴上，那么可以任意确定），这样我们在空间中建立了另一种空间的点（除去轴上的点外）与有序三数组的一一对应关系，这里，，，，这种一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序三数组叫做点的柱坐标或称半极坐标，记做。
2.2球坐标、柱面坐标的性质
当建立了球坐标系后，空间中点的直角坐标与球坐标之间就有了下面的关系

第3章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用

3.1三重积分限的确定作为一章来写，要用例子来说明

计算三重积分的想法是将三重积分化为三次定积分来计算，其重点和关键点是确定积分限，积分的次序和选择合适的坐标系。但要确定好这些量，不仅对学生的几何直观能力有较强的要求，还需要方法和计算公式的灵活应用。要由空间立体图形的边界曲面方程在纸上画出所围成的区域很困难。所以这里归纳总结出了几种常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并指出如何确定积分限，以有效解决三重积分计算，对学习者有一定的指导意义。
1.由以为圆心的球面或者是椭球面所围成的区域，设这个方程为

（1） 作出方程 和方程的交线在面的投影区域
（2） 确定投影所围成的区域
（3） 确定的积分限，从方程中解,在投影区域中比较和的大小，大的作为上限，小的作为下限。
（4） 根据(2)、(3)写出曲面的积分限，计算三重积分。
2.是由方程所围成的区域
（1）作出方程和方程的交线在面的投影区域
（2）确定投影所围成的区域
（3）确定的积分限，从方程中解,在投影区域中比较和的大小，大的作为上限，小的作为下限。
（4）根据(2).(3)写出曲面的积分限，计算三重积分。

3.是由方程所围成的区域，其中，为同一类型的曲面。
（1）作出和的交线在面的投影区域，。
（2） 确定投影，所围成的区域。对于这种类型的图形，交线在面的投影为2条封闭曲线，令为外曲线，为内曲线，所围成的区域为，所围成的区域为，。
（3） 确定的积分限。从方程 中解出，而且需要分开进行，在上比较同型曲面的上下位置。在上比较的原像所在两个曲面的上下位置。
（4） 根据(2).(3)写出曲面的积分限，计算三重积分。
4. 是由方程和方程所围成的区域

（1） 在平面上分别作出方程和方程的各个截痕。
（2） 确定投影所围成的区域（由各个截痕所围成的公共部分）
（3） 确定z的上下限。从中解出，在积分区域中比较和的大小，大的作为上限，小的作为下限。
（4）根据(2).(3)写出积分区域的积分限，计算三重积分。

注：在面上的各个截痕所围成的区域如果为封闭的区域，则不需要考虑的各个截痕。
5 .推广如果是由方程和方程或者是所围成的区域
（1） 在(或者是)平面上分别作出方程或者是方程和方程的各个截痕。
（2） 确定投影区域或者是（和为各截痕所围的公共部分）
（3） 确定或者是的上下限。从方程中解出或者是，在和中比较出方程或者是方程的大小，大的作为上限，小的作为下限。
（4）根据(2).(3)写出积分区域的积分限，计算三重积分。
以上主要介绍了四种不同类型的方程如何确定三重积分积分限方法，与传统的做法相比作图简单，不同类型的区域积分限的确定方便;可解决因学习者空间想象力及欠缺作图能力所带来的解题困难。
3.2球坐标在三重积分计算中的应用
3.2.1一般情况下球面坐标三重积分的计算

球坐标的变换

由于

当在上取值时，，所以在球坐标变换下，按公式（４）公式（４）？？？？？要标号
，三重积分的球坐标换元公式为

这里为在球坐标变换下的原象。

例1 求，其中为由与所围成的区域所构成。
解 做广义球坐标变换

于是．在上述广义球坐标变换下，的原象为

则有

3.2.2利用对称性和奇偶性简化球面坐标三重积分计算每一类举一个例子

1以定理形式，加证明，后面的同样处理
若积分区域可以写成或者是，，，并且，即表示积分区域关于平面对称则
（1） 若,那么

（2） 若那么

2 若积分区域可以写成或者是。且，，。并且，，即表示积分区域关于平面对称。则当
（1）

（2）

3若积分区域可以写成或者是，，，并且，即表示积分区域关于平面对称则

（1） 当时，

（2） 当时，

例题2 计算，其中是由球面所围成的闭区域．
解：　积分区域关于平面对称，而被积函数是关于的奇函数（即），故所求积分等于0。
3.3柱面坐标在三重积分计算中的应用
3.3.1一般情况下三重积分的柱面坐标计算法
　　　　　　　　　　（４）
由于变换的函数行列式

按（４）式，三重积分的柱面坐标变换元公式为

例题 计算，其中是有曲面与为界的区域
解　在平面上的投影区域为．按柱坐标变换，区域可表为

所以由公式，有

3.3.2运用对称性和奇偶性简化柱面坐标三重积分计算
1若积分区域可以写成；，其中为连续的函数，并且（则表示积分区域关于平面是对称的）。则
（1） 假设，那么

（2） 假设，那么

2若积分区域可以写成，其中（为积分区域被竖标为的平面所截出来的平面闭区域，且，即表示积分区域关于平面对称）
（1） 假设，那么

（2） 假设，那么

3若积分区域可以写；并且，。且其中、均为连续的函数（表示积分区域关于平面对称）。
（1） 假设则

（2） 假设则

4若积分区域可以写；并且，。,并且，其中、均为连续的函数（表示积分区域关于平面对称）。

(1) 假设则

(2) 假设则

5若积分区域可以写为；并且，。,并且，其中、均为连续的函数（表示积分区域关于轴对称）。

（1）若则

（2）若则

第四章 球坐标、柱面坐标在曲面积分计算中的应用
曲面积分可以分为两种，分别是第一型曲面积分和第二型曲面积分。计算曲面积分是整个积分计算中较为复杂与困难的问题。但是当积分区域是圆柱面、球面或圆锥面时，可以类比三重积分的计算一样，运用球坐标变换和柱坐标变换可以简化计算。
4.1球坐标在曲面积分计算中的应用
当是球面或者是球面的一部分，假设球面的方程是，利用球面的坐标,则球面的方程可以用来表示，假设：，，。
利用球面坐标的坐标面常数，常数将积分曲面进行分割，得到许多小曲面，其面积元素为

曲面元上面的每一点和球面坐标之间的对应关系为

得出

例题3 求，其中为球面
解： 可以利用球面坐标公式来计算，

4.2柱面坐标在曲面积分计算中的应用
当是圆柱面货柱面的一部分，假设圆柱的方程是，利用柱面的坐标,该圆柱面的方程可以用来表示。假设：，，。以坐标面常数，常数来分割曲面，设为曲面上被任意分割的一小块曲面，其面积元素，曲面元上任意一点与对应的柱面坐标之间有着下面的关系

所以

例题4 求，其中是介于平面，之间的圆柱面，此圆柱面的方程为。
解 利用柱面坐标公式变换得到

当计算第二型曲面积分时，可将第二型曲面积分化成第一型曲面积分，在利用上述方法进行计算。
例题5 求，其中为球面方程的外表面。
解：

结 论

参考文献

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