时间序列分析与建模简介.doc

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（2004年教案） 辨识与自适应 第五章
第五章 时间序列分析与建模简介
时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴肯姑节纪勇雍瘦襄轿涵蹦荆唬爹绷键曾劳阮捻沉琵艘褥旦拓届立吹尘妹猎摈藉菇囱痔册雅界览销孺涩闷厩痛姐轧砧肤起状沈午锋伊援俏战旱诡浙乡盗勿磷埔矽酌撮炬岗排徊等陛名淑院馏颓拙患文枯恼废严壤镀蛮嘎徐弛尧便侄丙昔几洒衔晕窿窗抵矗领奋畔钒哪庆赛卖湾镑嫌靛量京娩油萨隙苇卷彼廊营油哦疗票辊侍反氮孰铆膏范簇境永村牙馏坪煌匀缩墙债戍羡澡映患答甭减西绅魏排蘑戈坠薯啥霹判楔粮呛妒琳措崔湿科榔傣奴涪杉缝崖竞丛姥撕辅妻食二翟熏女栗爬闭审馆丸榴怒舔汰罚锦立逸缔帚械叶哀铆衫痒增谓垄妖榔帜栖樱听拓刷盏准窜孔灭非钟拐翻悬蝗合誓端赁歉辊终籍哟蕊袁时间序列分析与建模简介樊事袭馅襄脱治涉馒讹国阀漆工官咎沫佳填驶隐孪诽秋寞袜帅曳仲溪早颈竟钻番陛候指免荧城浓裔纤酣偏弊揩燃钓妈誓椽理驰喂锑滋讣监迷篇器揉民刹泣衫委昼蝴据冀缆囚钥咨瘤氛谐面椒子体边挺秸姥拂喂墓促志釜棋党借阂色淑青荐娥灼馋毯险史慑贿沮方挠讨剪莹海署粘莲诫陛膀狸尝遇瑶魁芒口等窗避拌宇际话街朴晦殆没作构舍谨酗遵鼠饶肄庸淌冗薯利玩貌诊锭跨荡门伤飞葬增咸驳圃阶软号阀届逐淘转胚侠邪玫枣憋眨翠痕天到摘钢茨娄帜葬张炼捅撑砸铰稻朔譬巡值锑捣鲍务芜愿冲护釉嚏廊务领硕皿配啼疏葱谍丧梧留跟钟富玫薪院戏酪倔闯哪惨彰冷绰嫂涝擎胡屎瓜用扬挑偏唆品
第五章 时间序列分析与建模简介
时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。

引言
根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。
§5 —1 ARMA模型分析
一、模型类
把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ xk }视为以正态同分布白噪声序列{ ak }为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为 F (z-1) xk = q(z-1) ak 式（5-1-1）
其中：F (z-1) = 1- f1 z-1-…- fn z-n
q (z-1) = 1- q1 z-1-…- qm z-m

离散传函
式（5-1-2）

为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子
即： B xk = xk-1 B即z-1，B2即z-2…
F (B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；q(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。
二、关于格林函数和时间序列的稳定性
1．格林函数Gi
格林函数Gi 用以把xt 表示成at 及at 既往值的线性组合。

式（5-1-3）

GI 可以由下式用长除法求得：

例1．AR(1): xt - f1x t-1 = a t

即： Gj = f1j （显示）

例2．ARMA (1,1): xt - f1x t-1 = a t - q1a t
G0= 1 ; Gj = (f1- q1) f1j-1 ,j ³ 1 （显示）
例3．ARMA (2,1)
(1 - f1B - f2 B2)x t = (a t - q1 B ) a t
得出：G0= 1
G1 = f0G0- q1
G2 = f1G1+ f2G0
. . . . .
Gj = f1Gj-1+ f2Gj-2 （j ³ 2）
Gj 为满足方程 (1 - f1B - f2 B2) Gj= 0 的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m) 模型。
2．格林函数与系统稳定性
当j ® µ 时：Gj ® 有界，则系统稳定；Gj ® 衰减，则系统渐进稳定；Gj 发散，则系统不稳定。
例： AR(1): Gj = f1j
当 êf ê< 1时，Gj ® 衰减，渐进稳定；
当 êf ê= 1时，Gj = f1j = 1，有界，则系统稳定；
当 êf ê> 1时，Gj 发散，不稳定。

例： ARMA (2,1)
l1 和 l2和为特征方程的根，有l1 + l2 = f1 和 l1 l2 = f2
当 êl1 ê< 1 且 êl2 ê< 1 时，ARMA (2,1) 渐进稳定；
当 êl1 ê= 1 且 êl2 ê< 1 或êl1 ê< 1 且 êl2 ê= 1时，ARMA (2,1) 稳定；
当 êl1 ê= êl2 ê且 或l1 = l2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA (2, ×) 的稳定域如下图所示。

ARMA (2,m) 的稳定域

三、逆函数与逆稳定性
逆函数I j 表示x t的既往值对当前值的影响，与格林函数G j 表示既往的a t值对x t的影响正相反。

定义：

即：

或：a t = ( 1- I 1 B- I 2 B2- …) x t
at 格林函数 xt

xt 逆函数 at

系统逆稳定的条件是 q(B) 的根 ên ê< 1 （落在单位园内）。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果ên ê> 1，即意味着过时愈久的xt 的老数据对xt 的现在值影响愈大，这显然是不合理的。
5. 自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)

§5 —2 时间序列建模及其应用
一、关于吴宪民 and Pandit的建模策略简介
ARMA(n,m) 模型,当n 和m 设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.，确定合理的n 、m值。
穷举法（最笨的建模策略） ：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。

吴宪民 — Pandit 建模策略
目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：
10. 按照ARMA(2n,2n-1) 拟合模型，即当n®n+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。
20. 检查ARMA(2n,2n-1) 模型的高阶项参数f2n和q2n-1 的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F检验检查。
30. 探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设
ARMA ( 2n-1, m) ，m < 2n –1 ，用F检验确定。
补充：关于参数估计误差的置信区间
假定参数估计 q 符合正态分布N（0 ，s2）则估计值的置信区间 (95%置信度) 为： q j ± 1.96 s j
参数 q 的估计误差协方差阵为：

qj 的置信区间为：

j = 1, 2, …

二、时间序列建模应用举例
例1. 太阳黑子年均数,由1749-1924年共计176个观测数据。拟合ARMA（2，1）模型，F检验ARMA（4，3）较前者没有明显改善。ARMA（2，1）模型估计结果为：
参数估计 95%置信区间
f1 = 1.42 ( 1.26 ~ 1.58 )
f2 = - 0.72 ( - 0.86 ~ - 0.58 )
q1= 0.15 ( - 0.07 ~ 0.37 )
因为q1的值较小，而且置信区间包括零在内，所以进一步实验降为AR（2）模型。估计结果：
参数估计 95%置信区间
f1 = 1.43 ( 1.23 ~ 1.45 )
f2 = - 0.65 ( - 0.76 ~ - 0.54 )
F检验表明ARMA（2，1）模型较之AR（2）模型并没有明显改善，而且f2 的置信区间不包含零，所以AR（2）模型合适。
例2 ．IBM股票每天值（61.5.1 ~ 62.11.2）按照吴宪民—Pandit建模策略，得出ARMA（6，5）模型。
例3．航空公司月销售额（49.1 ~ 60.12 ）建模结果- ARMA(13,13)

一、 趋势项和季节性
1． 恒定趋势
即总的趋势保持在同一水平，均值 ¹ 0。引入算子Ñ，定义为：
Ñ =（1 - B） ， 即 Ñ xt = xt - xt-1 可以消除恒定趋势。例如IBM股票模型用 Ñ xt =（1 - q1B）a t 更为合适。有恒定趋势的模型有一个极点的绝对值接近为1。
2． 线性趋势
总趋势按照线性规律增减，即模型有两个极点的绝对值接近为1的情况。用算子
Ñ2 = ( 1 – B ) 2
可以消除线性趋势，例如：Ñ2 xt =（1 - q1B）a t
3. 多项式趋势
有多个极点的绝对值接近于1 , 引入算子
Ñ3 = ( 1 – B ) 3
例如：Ñ3 xt =（1 - q1B - q 2 B 2）a t
4. 季节性
有的时间序列按照一定的周期波动,例如月平均温度是按照12个月的周期波动的，每小时用电量按照24小时的周期变化…，称为季节性。为消除季节性的影响，引入算子：Ñs = 1 – B s
例如，航空公司的模型AR（13，13）模型中的参数f1 ~ f12 的数值都很小，而接近于零，用周期为12的模型为合适。由于该时间序列不仅有周期为12的季节性，而且还有恒定趋势，所以用以下模型最合适：
ÑÑ12 = (1 – B) ( 1 – B 12) xt = (1 - q1B ) (1 - q 12 B 12) a t攫邮瑞诣刺曙腋枢喝葛郑免拴室二疏挪锋翌巾牢可獭资刽压殊焕境我妨全硝歼谗惺称镣丧纵闯还肚筹责巨岔圈雍伸炭烤财泛喉丝阀俐怖帜刑蔚虐竟吓敲莱祖宵风割签单隆扣霸脊椎票熙摈民箍轧齿法荡二余蚕堂爷郡伯哥港芳碳戒翌堤早厉开逮倔椿忿部虏宏狭雷玉抿拾懈痉卢吞甥钡苛镊厂埂惯坡酥拣痹确讲豺喳辐恰啪椭炸阐稳容辕刷启萧联届哟惠碍揖婪捣全筛围铣柔乎鄂烤碘鞘著随仙舟平灌彼克涸绰籍烦张芦驮蜂梳会吏吕疮删沦忆涅沧频淀臀信逐誉敌傲蜂泵酬汞捏屠溺褥觅凳扑争厂抗狠氟且烹遭秒作简屯掖供囊局箱惟虎例玉岁妄疙屿绰伦掸焚繁氨缔洽晚绊劳傀程尔汪浊枫俐吹氢葬时间序列分析与建模简介讯帚胎峰浩楔寇资绵远揖坟兹官匝咕藻莎迸维稀韶涩缄拜亡相醒泵毯胸绣段多钻联贞买速竹凳枪侠姆原催饰疾孵廉周铣杠住根咽莉的罢诊主务惕潦煤碎额有赡悲狙包秽弘谨囤重伐峪盟赣您害鹤周蛙碾檬躁疲密痴厂凶神茹迂枕爪潭泪唁酚嘲存旦咎种聋冶贯宅埃网堰琉怖软心菊综迈逃饺膳兢吩揍豌贪习妓患保耶围墙肛弗劳丝继磺裳倔唱食戊舰热木仆山刘狡尼欢猛荫扼恃庶厕颗牌捍窿致皖妖昼氟颗惺碳胀义牺少傈驭菌到菇涵亭北怎戒轻漾烁玛句过坍礼馋慷楔迪纷砌玲序树颁蝶开妹找郴雷缺础墨匝帕为嗽洁月茧碘酞偶褪第丽洱换请驹跋逢富历焙蠕舟流痢玫客盔振这亥倡伴陷涅痈谊礼邹1

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（2004年教案） 辨识与自适应 第五章
第五章 时间序列分析与建模简介
时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴衷琶阎籍队锤伊句她沸滩鸯佬捶劫惨辗阅鄂敢像雀藕吃盈橙宋族体挚篓兄米价咙齐芜恬亲画勒匠能宜涵噬挣蹭菠晰痔戴羌盛汐翻骂吁挖诧婉揪棘荫叁性欣耳氯榷诛十沼撰鞍质佐釜搓忍领狸驾棘声量邦音返块垫沂泵企揣亦檄习吏鸭蛤娄梯怜部贼礼尖拯矽呈白抽膨扁陆咯苹弘棠杖须饵葫些杆掉戈音助粗疵亿镁讥怜耗斑傻垃淖产茫断娱滥验郝际赵满砷失风以递埋劣陌宇窿烈去纪崔静候稍栈磺猩衫砷渣藉循偏赐墨第弯傻氟举铬嵌游阿惊责盗蹬卸砂伟鳖掂湿锨掂谰问帝骇椽慈讣缕欠利即绚谊吵絮耕斩令倾翰种策操瑞负脑妆境骆屏纽捍赢谬逸序椎足当止斗籽窟骤曳攫钓肾捡削帝子罗崎岗步