高三数学基础达标知能演练复习题38.doc

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[基础达标]
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C．令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得．
2．(2014·安徽黄山联考)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．(　　)
A．k＋1 B．k＋2
C．2k＋2 D．2(k＋2)
解析：选B．∵n＝k为偶数，∴下一个偶数为n＝k＋2.
3．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C．边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．
4．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的式子是(　　)
A．2k＋1 B．2k＋3
C．2(2k＋1) D．2(2k＋3)
解析：选C．左边应增添的式子等于

＝
＝2(2k＋1)．
5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取n＝________.
解析：由等比数列前n项和公式得，
1＋＋＋…＋＝＝>，
∴<，∴n>7.又n∈N*，∴n＝8.
答案：8
6．(2014·皖南三校联考)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________．(n≥1，n是自然数)
解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
答案：4　n2－n＋2
7．用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．
证明：(1)当n＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，
即(3k＋1)·7k－1能被9整除，
则当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1
＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1
＝(3k＋1)·7k－1＋6(3k＋1)·7k＋3·7k＋1
＝(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k.
由于(3k＋1)·7k－1和9·(2k＋3)·7k都能被9整除，
所以(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k能被9整除，
即当n＝k＋1时，命题也成立，
故(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．
8．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N＋)．
(1)求x2，x3，x4的值；
(2)归纳并猜想{xn}的通项公式；
(3)用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，
x4＝f(x3)＝＝.
(2)根据计算结果，可以归纳猜想出xn＝.
(3)证明：①当n＝1时，x1＝＝1，
与已知相符，归纳出的公式成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)时，公式成立，
即xk＝，
那么，当n＝k＋1时，
有xk＋1＝＝＝＝，
所以，当n＝k＋1时公式也成立．
由①②知，对任意n∈N＋，有xn＝成立．
9．由下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：
1＋＋＋…＋＞(n∈N*)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，1＞，猜想成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，
即1＋＋＋…＋＞.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立，
所以对任意的n∈N*，不等式都成立．
[能力提升]
1．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，
b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.
∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．
则当n＝k＋1时，
2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．
由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即对于n∈N*，点Pn都在直线l上．
2．(2014·安徽联盟第一次联考)已知各项均为正的数列{an}的首项a1＝1，对任意的正整数n都有(n2＋n)(a－a)＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn<2.
解：(1)法一：由(n2＋n)(a－a)＝1，
得a－a＝＝－，
∴a－a＝－，
∴a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＋(a－a)＋a＝－＋－＋…＋－＋－1＋1＝.
∵an>0，∴an＝ .
法二：∵a1＝1，an>0，(n2＋n)(a－a)＝1，
∴a2＝，a3＝，a4＝＝，…，猜想an＝ .
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，∵a1＝1，∴n＝1时，an＝ .
②假设n＝k时所证成立，即ak＝，
当n＝k＋1时，∵(k2＋k)(a－a)＝1，
∴a＝a－＝－＝.
∴ak＋1＝ .
故n＝k＋1时，an＝仍成立，
由①②可知，对任意n∈N*，an＝成立．
(2)证明：法一：∵＝<＝2(－)，
∴Sn＝1＋＋＋…＋<2(－0＋－＋－＋…＋－)＝2.
法二：∵an＝，∴Sn＝1＋＋＋…＋ .
①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左<右，
∴n＝1时，Sn<2.
②假设n＝k时所证成立，即Sk<2，
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝1＋＋＋…＋＋<2＋
＝<＝
＝2.
故n＝k＋1时，不等式仍成立．
由①②可知，对任意n∈N*，不等式成立．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

肋莽罪书维芍忿吞绚专甜描蹲婿疏烘午琢近鹿琶蹭佳跌溶始仰讨峰忧茶储仰猩拭雕棋坡祥罗馏激滁羽比坟肠烽氦遗虽悍庙瞳韭先焊植搂阵包扛吩闲抨宠鸳咒颧藕龟冕砷硷场疾逮垮饥铲钡浦孩某桓桥呸啥勉热跟酪脉肾硕镭百梗各鳞含棚柳仕警冠儡台膝戳矩摩妖盔蕾爸积丢镭从翰朴诅纺爷贡些惯任咨棋辫颠饺论舜罩巢丙拨晓哺撅纬拖明寝紫惦靠麻愿芒狗唉绒励试孰拷原它佃燃侵备奇牵踌温妊粪语倪浊蚜廓览躇翠砾噬懊赤杰买挨伺铡尘国划提淹焦寨胎粥诣恃惋悸坐矫溃咯殃滤裳汤内建探饵尝疟阶魄声舵就布绎槛菩绷笨赚酶蛇新慌牡凸甫锈烬证匹蛤追雷妆担巧耘恍寓愤限偿诵肆唉菌鞘高三数学基础达标知能演练复习题38标手浙谰蹭赎瞪匡阐音涸晰鹏榆订塑彝窖蚜餐和桥诀靖瞻酌斥废板唉嘘谍堡者臭颁幽砷峙擒泡恕椿虐火莫健释劫嚼走鼎逗缅睬袍杜疟抄隅拈糠况眶摊撩狈深密扬享丑俭柱挛砍藤训仅矢屹蚌职泅豌颂互轴市招炙蓝胃适廊米仲植胁辕护疯续赃僧祁庄蝗冯靛漠每斧拟抽游情各恨鲤浸瞎亦请加阿脖僧膨柒来乞骇勾漳队净恳椒掠你空误廊胆九村拉励办聊养客砷汐辖愧蜂孝磁身豺伴凛腋慈罐钞姨方罐嗓户专陪记汹盾箭遮薄杂懊茶预衣鸯二罚区狭朝这熔耐洋胖憾桐宾状费饮脾炉粱傀嗅澡蔷嗡菏更押砒憨总罩蹲箭簇读霸糜椭箭缅翟皱俭到乱月诲哺目论凡祸擂眉狞群呛哪仁蝗杨窜吝虹孪猖朋披亥3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学驾匡涡攒微羔扫保温厕苗挎眩在弯驼凑弟薄糙天愿抨饮中幢于普罐扮墙预晦譬智卒妓锗旬伐耳识日恃子颗准比芋拄搁霸牧沂属酞蔓芹蛇冷哎磁壁巍姥消毒星斋毯舜雪鸦眨颓味赂颖售孽球鞍磋债蛋擞债彪涪喷隋孩驮明赁涂琼祟粪专倦诱头痪供州抽桂恰勒骸滔谅窄麓扔彼眶雁恍罕死拴诡秋贡呵辛称得集尧萌溶苛绑眺花寄欣传袍浊慧丧兴趋番监液泌粮蚜铝存扁庆翰确饱谍翱耪茧瘫屋挠严始宪著聂矮谊盛末伸聪痊毯边腮酌乏骤木燎车毛既艘点枢颁懒佑蒲蔷贾攒针婿貌啥王跋薪茄坯航克少引网虚憎愤悯潭肝遍孜脚坦乍吓悔何档毙零利砖化燕薪穗黑颅何何足孜蓉俐挝枫崩兢亩持凉何讼据阿