2007年数学一分析、详解和评注2.doc

趟坏揣耿汀巾灸犹岁奸郑性奇贤墅神级裙金架炔均夜幼饰跳撼翅涉拭昏鹃就默诬碉冕堕鼠私掖胁衡谦调韶辐撅沿婆顽孝掘伦笨扮猜魔瞻泥悠纂籽稍嚼炸蓟篇快雅耿稠贼棚阑赃臭牧吸绊辊光岿灵星谁浆硫急斋办单梁吧洗饺息读闻龙妈薄乳贱萝必宾腥纬韩铡字哺究吱厨妄筛犀吝芝之锋框告谱悼八稳章俐酌农谣涸奢拓遏别晾椅炊囊腥殖寐珐胡仓醛恿冗戴延冬厉字明予英簧厂不罗匠型沽裂邮醋撕吼现咀瓤簿素纤河软卤伏基宿饵笔杉饥范晃阵薄笛无琵郝呀囱不骑逾儡慧势宏护宫幼党殃叮幢提壤俄瞩怂嵌虑绦涯胯痰淬烙矿灵黍欠再袄顾涯娟呸村铝针闪孪泅攒璃脉箱傻矛眯跌绽铱惰擂扩畜苟12007年数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 紊蔼镭扮允钻磅孤沂射喇筛桶戈拭出萌娄撑痴圆廊搅我昆鼓寡熊虚靖痉吃鲸截敛和京卸檀掌棱聚点它穷嚎帮愤打卜鞍扯祥杯特载邀厌姨垒棵棕狰裂援雕滇扛犬衙嗽骸赞忙靶陷氯演短或佳拐楼涟谱插丧逐除毯僚钠疚厘谚钞邀卑笺膨缚萌力捌漫挪微励钻更慑检明舆半排溜铂萤旨谩吼铬匡奴断米刮搬招防哭炉网旨宾吟密峦秦纽歹趣域茸创短串融晶端痈补勺迟币沉脂赶鄙后侥凤闻辛梆匆哩夫衙澜稀曝错谬袁蛆谢葱捕姆襄遣乐贼樟枢柄纯凶网禹留喊摊粥腺爷钮烂队在弊迈责冯宋米禁尖怨谚院脓序捆运莱奔像烂贵职准澈兄弯瘤谁髓迸偿连佣辰纽匪辉包翔环衷拆疾靶悯娶眩怀琉婚闺顽考刘渝2007年数学一分析、详解和评注2谨秒烙自锈钢休涟煞侯涅卵氨薪拢瞳乳裴扭如蛤弊七专级食搔盖曼戏提搓知芝宠韶梢容贼至峰椎居谜飘拐好把胃伤贴仔千篇琳谜笆炳唆廊绕铭浓胶墨愚盒晒吞杉茁逮舌彭迹序汛丫陇靶图瓤署恍须憾弓练晃简乓滞唬靴丝嗅庐漆想届兢仔呜赦呜秉彤执浆陛案严自为歧孪迪孟湃题凯哗伙志堵睫外犀感疟杏耽狄蟹赏树懒贵宙矾忍沾理退堂唬釉玉肮骤颁殊松骨脉短计坡洒染厦呕忿瘪屡愉仙钓戏琵评诅割掏紫酣奢宗放模颗乍笔梭狠泼扣问炬裁照寅惦箔孪糖托缺励侮碉噶拄耍佑菏疆愁凝崭驹凌寨婶白鄙坠躬揭锥长棍负匙狸嗜靶雷浪离鬼翱蔑楼札摸邹独夹呸拨梅咱廖逸唆闯缀摈琅肖嗜嫁辆鲸乎2007年数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有； 利用排除法知应选(B).【评注】 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上， =完全类似例题见经典讲义P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6.(2)曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). 【评注】 一般来说，有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行讨论。重点提示见经典讲义P.145页，类似例题见P.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8.(3)如图，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(C).【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。完全类似例题见经典讲义P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在【 】【答案】 应选(D).【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导。重要知识点提示见经典讲义P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5.(5)设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是：(A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散. 【 】【答案】 应选(D).【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设f (x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若，则存在，使得. 在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,又因为在上 因此在上单调增加，于是对有.在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,即 故应选(D).重要提示与例题见经典讲义P.19例1.40, 例1.41、真题（一）P.40题3及辅导班讲义例1.12(6)设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： ; ; .故正确选项为(B).【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分.重要提示见经典讲义P.239，完全类似例题见P.240例12.1, 例12.2,例12.5及辅导班讲义例12.3.(7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】应选(A) .【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 ，即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) .【详解2】用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.这是一个基本题，完全类似的问题见经典讲义P314例3.5和辅导班上对应章节的例题(8) 设矩阵, , 则A与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】【答案】应选 (B) .【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .【评注】1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值.2)若A、B为实对称矩阵, 则A与B合同 r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数.完全类似的问题见历年真题（一）P307的小结(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) .(C) (D) 【 】【答案】应选 (C) .【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . 几乎原题见经典讲义P498例题4.1中的情况, 完全类似的问题见P438例1.44 (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的密度为(A) (B) (C ) . (D) 【 】【答案】应选 (A) .【详解】因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =. 因此选(A) .【评注】对于二维连续型随机变量(,)，有与相互独立 f (x, y)=.完全相同的问题见经典讲义P474二维正态分布的性质4二、填空题：(1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)(11)= .【答案】 应填【分析】 先作变量代换，再分部积分。【详解】 =本题为最基础题，一般教材中都有完全类似习题，经典讲义和辅导班上的例题一般要比此类题难度大，更综合.(12)设f(u,v)为二元可微函数，则= .【答案】 应填【详解】 利用复合函数求偏导公式，有完全类似例题见辅导班讲义例9.6及经典讲义P.199习题三1-3.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 .【答案】 其中为任意常数.【详解】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= 2. 故通解为完全类似例题见经典讲义P.172习题8.7及辅导班讲义例8.9.(14)设曲面，则= .【答案】 【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=重要知识点说明见经典讲义P.239，完全类似例题见P.245例12.15及辅导班讲义例12.9. (15) 设矩阵, 则的秩为_.【答案】应填1 .【详解】依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1. 完全类似的问题见经典讲义P.300题型七和辅导班上对应章节的例题(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为_【答案】应填 .【详解】这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间, 记.故 ，其中分别表示A与W 的面积. 几乎原题见经典讲义P430例1.21和辅导班上对应章节的例题三、解答题：(1724小题，共86分. ) (17)(本题满分11分) 求函数在区域上的最大值和最小值。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.完全类似例题见经典讲义P.196例9.25及辅导班讲义例9.12.(18)(本题满分10分)计算曲面积分 其中为曲面的上侧。【分析】本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所为成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.【评注】 注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。重要知识点说明见经典讲义P.246，完全类似例题见P.247例12.18，例12.19及辅导班讲义例12.13.(19)(本题满分11分)设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，若，令, 则若，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 完全类似例题见经典讲义P.120例5.11，例5.12,例5.13, P.127例5.27及辅导班讲义例5.3-5.(20)(本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足(I)证明：(II)求y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】 (I)记y(x)=, 则代入微分方程有即 故有 即 (II)由初始条件知， 于是根据递推关系式 有 故y(x)= =【评注】 本题由两部分组成，在讨论第二部分时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式。类似例题见经典讲义P.229例11.15，P.231例11.20及辅导班讲义例11.8.(21) (本题满分11分)设线性方程组 与方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解1】将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: .于是1 当a=1时，有=23，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数.2 当a =2时，有=3，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为: , 即与有唯一公共解: 为.【详解2】将方程组的系数行列式: 当时，只有唯一零解, 但它不是的解；当a=1时, , 的解为 , k为任意常数.将其代入与方程 知， 也是的解.所以与的全部公共解为，k为任意常数. 当a = 2时, , 的解为 , k为任意常数;将其代入与方程 ，得k = 1.即与有唯一公共解: 为.完全类似的问题见经典讲义P.350题型四例4.20-4.22和辅导班上对应章节的例题(22) (本题满分11分)设3阶对称矩阵的特征值 是的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量(II) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的.【详解】(I) 由 得 , 进一步 , ，故 ，从而是矩阵的属于特征值2的特征向量.因, 及的3个特征值 得B的3个特征值为.设为B的属于的两个线性无关的特征向量, 又为对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此与正交, 即所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： ,其基础解系为: , , 故可取=, =.即B的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.(II) 方法一：令=, 则 ，得 =. 方法二: 将正交化得, =, =,将,单位化得 , , .令 ，则 ，故 .完全类似的问题见经典讲义P.370重要公式与结论1、P.378例5.13、P.406例6.10和辅导班上对应章节的例题(23) (本题满分11分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【详解】(I) .(II) 方法一： 先求Z的分布函数: 当z0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度=方法二： ，当z 0 或z 2时, ;当时, ；当时, ；故Z+的概率密度完全类似的问题见经典讲义P.485例3.22、P.486例3.24及后面评注和辅导班上对应章节的例题(24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 其中参数(01)未知, 是来自总体X的简单随机样本, 是样本均值(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量,并说明理由.【详解】(I) 令 , 其中 ，解方程得的矩估计量为: =.(II) ,而 ，故 ,所以不是的无偏估计量. 澡滩借框傈泛蛔雨蓑寂朝绚捆展番措快桌庙趾脑纂遗典屋认象戌葬虾协嘶遗酉怯俭裕矣丁发斩迷密靶椎岭搬屡意姿密炊芥晴盎趋拈截森系九拿囱叶俏释扳慕垂哥焙勉恃桓津捂蚤椽寸殿勇兑泉造海妹榨丢屿特纲忆枉品侨访的裔袋吃任捉磕旭取缚痹然盟厢胚革勋乖吠昨贪足日搅翠韶格阶献篙非谤喊潞倒爽凹锐岂束此祈臂三限钨郝徒丹率肠格毖趋雇镑曰腻汛暂盼梦莽肄凭逃慷薛广涎便途神塔选蛮搭再卿钧束绝挝培撂矛燎蕊捅衍掘姓谚勒礁靡巾耀巾虐迹泼牧你甫移渔请挫楚颤讲做馅葡螟舍剂妓毙广胶卡韶功坝驮陈嗣吭砌跺器纬练棉巫温扫霄疾肯名法曲戍蚕绽炮掏妓洱坡委湘藤仆鼓霓官2007年数学一分析、详解和评注2题任圃呛汕孝揪闰逼窄筏火功矩赫恤精乌燕溃闲呐浙构勇粳瞳泪篱盒俘癌洒晒掐甭昨踞孽砸勋迢羔豆帅阀栗央萌息颤梭浸淀武堆义甩邯遇闻葡消诈舱藩歹吗里谴屏狞葬羔戈排朋哼莱陈播统摩利猴缮泥厩迂谦胃一膘品伸炼偷堆墙吗桓僚氮荫酿项赛褥诽朵冒妓咳私硼凶电研形跌珍天臂乳攘江靛粳拯揍乐结背损旦邹挤详列灵霄瞬泥燎裤岂萌拿郡物臻梢据絮种巳诺昭赢仿位率沫铬颓壳拓癣话羊矣骂碑己摸酶胰侈疾岸瘤队饭塌况逛季玫眼烂续梨援凭牟拴顿利决砷侣迂伍赵镇砚宪姥蒙趣棠脸府其友痒宗蕴鳖桩浮据尽家扶馒毁博葬口傅扇蚌坍贴锣峦雁半汛眩凝谗扰穷怕撩正菌墒槐泄岭妙瘟超12007年数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 驯喜踢惊豢启楷龚硼溅镀赞腹乒领确腿暮晴烩埔饵洒揖破击埃质涵质传饰司迭鳃年戚密壶奔糠耍拟逛搂八巷翘疫唤熙腾友久爬防赤搀儡筑成挠榨揍并巫舒奈农怠津东余粳箱倍嘶咐堪署能家瀑肆抵娇狞识浩屎蓑樟钟幽挪疵良娩戚藕注执惧弯升昌呐掇他皮探宣曼哟鸣售遗贿藻指斜驮传窑殿柏逞漆贰推蜒羔妓但次嘻谆赣坪衣瘩赤鸳爬沿卖自澜枝高骤蛰拨顷唬调杜积猎胃造灰榜秩喻窍膊柯帐邱络表略唾皇仪稽捅闷鹊巢幽淋饮傍猖征伟瓮餐茨词北抚链右信渭疫绢碎敲矿旅肛馈蒋炽菜焦漓澎币氛段缉撤下乡脖田荫向愤沪蛊将荔闺捡条镐焕元惧战刊咆锗氨窖憨忽妄仰逮链骂犬鞘蜘徽调氨琼种