露天矿生产的车辆安排-数学建模论文-毕业论文.doc

摘要
本片论文通过建立线性约束模型，并用lingo进行求解，分别对所给的模型一和模型二求解。
我们首先确定模型一和模型二求解时所用的铲位，分别以模型一和模型二的要求为目标函数，题中各类要求为约束函数，在10个铲位的情况下，通过lingo软件编程求解得到最优解，通过最优解分别剔除掉利用率最低的三个铲点，为下来模型的求解做铺垫。
针对模型一，我们确定了铲位1、2、3、4、8、9、10共7个铲位，以模型一的要求为目标函数，题中各类要求为约束函数，在确定铲位的情况下，求解得到需要出动7个电铲，13辆卡车，得到在满足各类条件的要求下最小运量为85628.6吨公里。并得到了13辆卡车的最优运输路线，具体参见下文。
针对模型二，我们确定了1、2、3、5、7、8、10共7个铲位，类似于模型一的求解，通过lingo编程求得需要出动7辆铲车，20辆卡车，得到在满足各类条件的要求下最大产量为100716吨，其中矿石产量为55594吨，岩石产量为45122吨。同时通过使卡车空载运行里程最短，也求出了20辆卡车在各条线路上的分配情况，具体参见下文。
论文最后我们也剖析了所选用模型的优点和需要改进的地方，也与实际联系比较。

关键词：露天矿 车辆安排 线性规划 约束条件 最优解 lingo

露天矿生产的车辆安排
一．问题重述
铁矿是钢铁工业的主要原料基地，它的生产主要是由电铲装车、卡车运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。
铲位情况：
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位将石料分成矿石和岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。
卸点情况：
卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。矿石卸点需要的铁含量假设要求都为29.5%1%，称为品位限制，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。卸点一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。
所用卡车情况：
所用卡车载重量为154吨，平均时速28。卡车每个班次每台车消耗近1吨柴油。在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。
车道情况：
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。
求解要求：
卡车不等待条件下满足产量和品位要求，并分别满足下列条件；
1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；
2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。
请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

二．问题的假设
1）为了方便调度卡车，假设优先安排使卡车尽量往返于指定线路上。
2）假设一个班次内卡车中途不停歇。
3）电铲和卡车在一个班次的时间内都要正常工作，不需要维修。
4）题中所给的数据都是准确无误的。
5）只考虑一个班次的生产计划。
6）电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上的卡车服务。
7）卡车的调头时间可以忽略不计。
8）假设一个班次内卸点不发生改变。

三．符号的说明
表示往返于第i个铲点和第j个卸点的车次数；
表示第i个铲点到第j个卸点的距离；
为第i个铲点可提供的矿石量；
为第i个铲点可提供的岩石量；
为第j个卸点需要的石料量；
为第i个铲点矿石的含铁量；
一次往返所需时间；
所需固定卡车数；
所需固定车次；
所需变动车次。

四．基于线性规划的模型的建立
4.1 7个铲位的确定
有10个铲位，却只有7量铲车，题目中并没有要求尽量减少铲车的数目，为了在8小时内完成任务，我们假设7量铲车都工作，我们第一步需要做的就是确定铲车工作的7个铲位。
首先假设10个铲位都有铲车，根据线性约束条件求出最优解，然后选取解中装车次数最多的7个铲位为所用铲位。

4.1.1 针对目标一的铲位的确定

针对原则一，目标函数为：

其中表示往返于第i个铲点和第j个卸点的车次数，表示第i个铲点到第j个卸点的距离。
约束条件有：
（1）铲点所供石料量限制：

其中为第i个铲点可提供的矿石量，为第i个铲点可提供的岩石量；
（2）卸点所需石料量限制：
其中为第j个卸点需要的石料量；
（3）品位限制： （j=1、2、3;）
其中为第i个铲点矿石的含铁量；
（4）时间限制：

在lingo软件中求解（程序参见附录一）得：

表1 模型一10个铲位到卸点的运输车次
注：表中空白处表示为零

铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位5
铲位6
铲位7
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏

13

52

13
倒装场I

40

45

倒装场II

15

2

68
岩石漏
81

43

岩场

70
15

由上表可看出铲位5和6没有用到，从铲位的装车次数来看，铲位7的装车次数为2，是最少，故铲位5、6、7被淘汰，7个铲车分别安排在铲位1、铲位2、铲位3、铲位4、铲位8、铲位9、铲位10。

4.1.2 针对目标二的铲位的确定

针对目标二，其约束条件不变，目标函数变为：

用lingo求解（程序参见附录二）得：

表2 模型二10个铲位到卸点的运输车次

铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位5
铲位6
铲位7
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏
1

63
47
11

20

18
倒装场I
4
51
1

25
35
9
35

倒装场II
56
17

10

27

50
岩石漏
6
18

14
8

33
41
40

岩场
29
7
32
6
38

22

9
17
铲位车次总和
97
93
96
67
92
35
91
96
49
85

由上表中最后一行易知，铲位6、9、4的装车车次相对来说最少，故被淘汰，针对模型二，选用的铲位为1、2、3、5、7、8、10。

4.2 基于线性规划对模型一、二的求解
4.2.1 对模型一的求解
7个铲位确定后对公式中无关变量进行剔除，并加上限制条件，使所用卡车不超过20辆：

同样通过lingo求解（程序参见附录三）可得：

表3 模型一7个铲位到卸点的运输车次

铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏

13

54

11
倒装场I

42

43

倒装场II

13
2

70
岩石漏
81

43

岩场

70
15

然后，对各条线路进行卡车车辆分配，其中，我们把卡车分为固定和变动两类，固定类的卡车一个班次内只在指定条线路上往返运输，变动类的卡车可中途变化运输路线。我们首先求出每条线路上所需固定类的卡车数目，为了调度简便，我们假设优先最大量的安排固定类卡车，每条线路上的固定卡车数目计算方法如下：
固定卡车数目=
公式中[]表示取整
其中， 一次往返所需时间： = 3+5+
继而，可算出每条线路固定车次：

固定车次=
故可得下表：
表4 模型一各线路上卡车数目

总车次
一次往返所需时间
所需固定卡车数
所需固定车次
所需变动车次
R(1,4)
81
10.8
1
44
37
R(2,1)
13
30.3
0
0
13
R(2,2)
42
12.3
1
39
3
R(2,3)
13
24.6
0
0
13
R(3,3)
2
24
0
0
2
R(3,4)
43
13.5
1
35
8
R(4,2)
43
12.9
1
37
6
R(8,1)
54
16.2
1
29
25
R(9,5)
70
12.6
1
38
32
R(10,1)
11
13.5
0
0
11
R(10,3)
70
10.2
1
47
23
R(10,5)
15
10.5
0
0
15
优先安排各铲点固定卡车数目如下表：

表5 模型一各路线固定卡车数

R(1,4)
R(2,2)
R(3,5)
R(4,2)
R(8,1)
R(9,5)
R(10,3)
固定卡车编号
1
2
3
4
5
6
7

此时共用了7辆卡车，为计算各条线路变动卡车数，画出更直观的变动车次与线路关系如下图：

图1 变动车次与线路关系
当一辆卡车在R(1,4)上运输了37次后，有两种选择，要么从铲点1继续装载运往其他卸点，要么不再返回铲点1，直接从岩石漏出发去往其他需要的铲点，根据这种临近选择路线的方法，我们得到模型一的变动车辆安排如下：
表6 模型一各线路上变动车次的安排
卡车编号
运行线路
运行车次

8
R(1,4)
37
R(3,4)
5
9
R(10,5)
15
R(9,5)
25
10
R(2,1)
13
R(8,1)
5
11
R(8,1)
20
R(10,1)
11
12
R(10,3)
23
R(3,3)
2
R(2,3)
7

13
R(2,3)
6
R(2,2)
3
R(4,2)
6
R(9,5)
7
R(3,4)
3

至此，对于模型一的求解结束，共需13辆卡车，7辆铲车，最小运量为85628.6吨公里，在实际中，变动车次安排中大部分车辆直接从卸点开始变动到另一线路，并未返回到原来铲点，节省了不少时间和路程，为了计算方便，运算过程中并未考虑这些，故可以轻松完成任务，并且总的运量更小。

4.2.2 模型二的求解
选用的铲位为1、2、3、5、7、8、10，类似于模型一的求解，变换目标函数并剔除不必要的变量，并加上限制条件，使所用卡车不超过20辆：

利用lingo求解（程序参见附录四）得：
表7 模型二7个铲位到卸点的运输车次

铲位1
铲位2
铲位3
铲位4
铲位8
铲位9
铲位10
矿石漏

20

59

倒装场I
15
49

71
25

倒装场II

19
26

43
25
15
岩石漏
81
28
50
1

岩场

12
28
12
81

表8 模型二各线路上卡车数目

总车次
一次往返所需时间
所需固定卡车数
所需固定车次
所需变动车次
R(1,2)
15
16.2
0
0
15
R(1,4)
81
10.8
1
44
37
R(2,2)
49
12.3
1
39
10
R(2,3)
19
24.6
1
19
0
R(2,4)
28
15.6
0
0
28
R(3,1)
20
26.1
1
18
2
R(3,3)
26
24.0
1
20
6
R(3,4)
50
13.5
1
35
15
R(5,2)
71
13.5
2
70
1
R(5,4)
1
19.8
0
0
1
R(5,5)
12
23.1
0
0
12
R(7,2)
25
14.4
0
0
25
R(7,3)
43
11.4
1
42
1
R(7,5)
28
18.6
1
25
3
R(8,1)
59
16.2
2
58
1
R(8,3)
25
15.0
0
0
1
R(8,5)
12
18.6
0
0
12
R(10,3)
15
10.2
0
0
1
R(10,5)
81
10.5
1
45
36

由于时间原因，从铲点7运往倒装场I的矿石最多只能运19次，比计算出的少了6次，有计算可知，并不影响倒装场I的品位要求，故可舍弃。 得到的车次安排如下：
卡车编号
运行线路
运行车次
1
R(1,4)
44
2
R(2,2)
39
3
R(2,3)
19
R(10,5)
1
4
R(3,1)
18
R(10,3)
1
5
R(3,3)
20
6
R(3,4)
35
7
R(5,2)
35
8
R(5,2)
35
9
R(7,3)
42
10
R(7,5)
25
R(7,2)
1
11
R(8,1)
29
R(10,3)
1
12
R(8,1)
29
R(10,3)
1
表9 模型二的卡车分配
13
R(10,5)
45
14
R(1,4)
37
R(2.4)
5

15
R(1,2)
15
R(2,2)
10
R(2,4)
7
16
R(2,4)
16
R(3,4)
15
R(3,1)
1

17
R(3,1)
1
R(3,3)
6
R(7,3)
1
R(7,5)
3
R(8,5)
12
R(8,1)
1

18
R(5,4)
1
R(5,5)
12
R(5,2)
1
R(7,2)
11
R(10,5)
1
19
R(8,3)
25
R(10,3)
10

20
R(10,3)
2
R(10,5)
34
R(7,2)
7

至此 ，模型二的求解结束，选择1、2、3、5、7、8、10共7个铲点，出动20辆卡车，获得的最大产量为100716吨，其中矿石产量为55594吨，岩石产量为45122吨。

五．模型的评价
优点：
1.模型中假设车次都是往返于指定线路，简化了问题，便于找到合适的线性模型，同时也符合实际，便于工作人员对车辆进行调度。
2.在车次安排上面，充分考虑了线路问题，为尽可能减少空载运行距离，当线路变动时，并不是盲目变动，而是选择就近线路继续运输，这样一来有些车次完成任务后并不需要回到原来的铲点，直接从卸点开始另外的任务，节省了时间和路程。

缺点：
1.模型中后半部分的车辆安排，计算量太大，由于时间关系并未给出合理的计算程序或快捷的通用算法，不易于推广。
2.在分配变动车次时，有些变动卡车需要从一个铲位调到另一个铲位工作，其中定要再消耗一定时间和里程，本次计算中并未考虑，在实际中会引起矛盾。
3.对于模型一和模型二求出的最优解只是相对于选定的铲位而言，并不是对10个铲位而言的最优解，由于对于每种模型铲位的选取都有=120种可能，穷举运算量太大，所以只是选取了相对好的解。

参考文献
【1】网络优化 赫孝良
【2】姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.高等教育出版社.2011.1
【3】露天矿生产的车辆安排 赵航 陈哲 李辉
【4】李继承.数学实验.高等教育出版社.2006.10
【5】工程数学学报 2003年12月 第20卷第7期 文章编号：1005-3085
（2003）07-0069-07
【6】工程数学学报 2003年12月 第20卷第7期 文章编号：1005-3085
（2003）07-0083-07
【7】四川理工学院学报（自然科学版）2004年12月 第17卷第3•4期 文
章标号1008-438X（2004）03-04-0099-05

附录一
data:
kuangshi=9500,10500,10000,10500,11000,12500,10500,13000,13500,12500;
yanshi=12500,11000,13500,10500,11500,13500,10500,11500,13500,12500;
hantieliang=0.3,0.28,0.29,0.32,0.31,0.33,0.32,0.31,0.33,0.31;
shiliao=12000,13000,13000,19000,13000;
juli=5.26 1.9 4.42 0.64 5.89
5.19 0.99 3.86 1.76 5.61
4.21 1.9 3.72 1.27 5.61
4 1.13 3.16 1.83 4.56
2.95 1.27 2.25 2.74 3.51
2.74 2.25 2.81 2.6 3.65
2.46 1.48 0.78 4.21 2.46
1.9 2.04 1.62 3.72 2.46
0.64 3.09 1.27 5.05 1.06
1.27 3.51 0.5 6.1 0.57;
enddata
min=@sum(link:154*checi*juli);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#LT#4:154*checi(i,j))<=kuangshi(i););
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#GT#3:154*checi(i,j))<=yanshi(i););
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):154*checi(i,j))>=shiliao(j););
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))>=0.285;);
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))<=0.305;);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j):5*checi(i,j))<=480;);
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):3*checi(i,j))<=480;);
@for(link:@gin(checi););

附录二
data:
kuangshi=9500,10500,10000,10500,11000,12500,10500,13000,13500,12500;
yanshi=12500,11000,13500,10500,11500,13500,10500,11500,13500,12500;
hantieliang=0.3,0.28,0.29,0.32,0.31,0.33,0.32,0.31,0.33,0.31;
shiliao=12000,13000,13000,19000,13000;
juli=5.26 1.9 4.42 0.64 5.89
5.19 0.99 3.86 1.76 5.61
4.21 1.9 3.72 1.27 5.61
4 1.13 3.16 1.83 4.56
2.95 1.27 2.25 2.74 3.51
2.74 2.25 2.81 2.6 3.65
2.46 1.48 0.78 4.21 2.46
1.9 2.04 1.62 3.72 2.46
0.64 3.09 1.27 5.05 1.06
1.27 3.51 0.5 6.1 0.57;
enddata
max=@sum(link:154*checi);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#LT#4:154*checi(i,j))<=kuangshi(i););
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#GT#3:154*checi(i,j))<=yanshi(i););
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):154*checi(i,j))>=shiliao(j););
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))>=0.285;);
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))<=0.305;);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j):5*checi(i,j))<=480;);
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):3*checi(i,j))<=480;);
@for(link:@gin(checi););
end

附录三
model:
title:mine problem;
sets:
chandian/1..7/:kuangshi,yanshi,hantieliang;
xiedian/1..5/:shiliao;
link(chandian,xiedian):checi,juli;
endsets
data:
kuangshi=9500,10500,10000,11000,10500,13000,12500;
yanshi=12500,11000,13500,11500,10500,11500,12500;
hantieliang=0.3,0.28,0.29,0.31,0.32,0.31,0.31;
shiliao=12000,13000,13000,19000,13000;
juli=5.26 1.9 4.42 0.64 5.89
5.19 0.99 3.86 1.76 5.61
4.21 1.9 3.72 1.27 5.61
2.95 1.27 2.25 2.74 3.51
2.46 1.48 0.78 4.21 2.46
1.9 2.04 1.62 3.72 2.46
1.27 3.51 0.5 6.1 0.57;
enddata
max=@sum(link:154*checi);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#LT#4:154*checi(i,j))<=kuangshi(i););
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#GT#3:154*checi(i,j))<=yanshi(i););
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):154*checi(i,j))>=shiliao(j););
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))>=0.285;);
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))<=0.305;);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j):5*checi(i,j))<=480;);
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):3*checi(i,j))<=480;);
@for(link:@sum(link:checi*(8+30*juli/7))<=9600;);
@for(link:@gin(checi););
end

附录四
model:
title:mine problem;
sets:
chandian/1..7/:kuangshi,yanshi,hantieliang;
xiedian/1..5/:shiliao;
link(chandian,xiedian):checi,juli;
endsets
data:
kuangshi=9500,10500,10000,10500,13000,13500,12500;
yanshi=12500,11000,13500,10500,11500,13500,12500;
hantieliang=0.3,0.28,0.29,0.32,0.31,0.33,0.31;
shiliao=12000,13000,13000,19000,13000;
juli=5.26 1.9 4.42 0.64 5.89
5.19 0.99 3.86 1.76 5.61
4.21 1.9 3.72 1.27 5.61
4 1.13 3.16 1.83 4.56
1.9 2.04 1.62 3.72 2.46
0.64 3.09 1.27 5.05 1.06
1.27 3.51 0.5 6.1 0.57;
enddata
max=@sum(link:154*checi);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#LT#4:154*checi(i,j))<=kuangshi(i););
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j)|j#GT#3:154*checi(i,j))<=yanshi(i););
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):154*checi(i,j))>=shiliao(j););
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))>=0.285;);
@for(xiedian(j)|j#LT#4:(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)*hantieliang(i)))/(@sum(chandian(i):154*checi(i,j)))<=0.305;);
@for(chandian(i):@sum(xiedian(j):5*checi(i,j))<=480;);
@for(xiedian(j):@sum(chandian(i):3*checi(i,j))<=480;);
@for(link:@sum(link:checi*(8+30*juli/7))<=9600;);
@for(link:@gin(checi););
end

15