活用教材,激活思维——以“三线八角”的教学为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（中旬）教学技巧79投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（中旬）名称位于截线位于被截线同类角同位角同旁同方向蚁1与蚁5袁蚁2与蚁6蚁3与蚁7袁蚁4与蚁8同向错角两旁同方向蚁1与蚁6袁蚁2与蚁5蚁3与蚁8袁蚁4与蚁7同旁外角同旁两外侧蚁1与蚁8袁蚁2与蚁7外错角两旁两外侧蚁1与蚁7袁蚁2与蚁8表1蚁8蚁1蚁1要蚁2要蚁3要蚁2蚁3邻补角对顶角要要要蚁4蚁5蚁6蚁7蚁4要要要要蚁5要要要要要蚁6要要要要要要蚁7要要要要要要要蚁8要要要要要要要要表2师：很好，同学们思考这个问题时采用了数学中一种常见的研究方法分类讨论法.我们能不能将图2和图3中的角进行分类呢？能否按照我们学过的对顶角和邻补角进行分类呢？生5：图2中的蚁1和蚁3以及图3中的蚁1和蚁5既不属于对顶角也不属于邻补角，因此我们不能按照对顶角和邻补角进行分类，但是我们可以将两幅图中的角分为有公共顶点的角和没有公共顶点的角.师：非常好，大家进行分类讨论时，首先要明确的是分类标准.生5发现对顶角和邻补角都有公共顶点，因此按照是否有公共顶点分类可以将图中所有的角都包含进去.在图3中，直线AB，CD与EF相交构成了八个角，今天我们就来重点研究其中没有公共顶点的角.请同学们观察图3中的蚁1和蚁5，蚁6，蚁7，蚁8的 位 置，蚁2 和蚁5，蚁6，蚁7，蚁8的位置，它们之间具有哪些共同特征？生6：它们的顶点以及一条边都在直线EF上.师：是的，观察得非常仔细.因为直线EF与AB，CD相交，所以我们称直线EF为直线AB，CD的截线.也可以称直线AB，CD被直线EF所截.师：接下来我们一起探究图3中的蚁1和蚁5具有怎样的位置关系.大家先观察这两个角的边以及具体的位置关系.生7：蚁1和蚁5都有一条边在截线EF的左边，并且蚁1和蚁5分别在直线AB和CD的上方.师：是的.我们可以从图中观察到蚁1和蚁5这两个角不仅都在截线EF的同一侧，而且都在直线AB，CD的同一方，我们将具有这样位置关系的一对角称为同位角.我们在图3中还能发现具有这种位置关系的角吗？生8：同位角还有蚁2和蚁6，蚁4和蚁8，蚁3和蚁7.师：找得很准确，那么我们找同位角有什么诀窍吗？请大家总结寻找同位角的方法.生9：我认为找同位角时可根据它的定义去确定，先确定两个角都在截线的左侧或右侧，再确定两个角在直线AB，CD的上方或下方.师：这位同学总结得非常准确，我们能否根据这位同学总结的“秘诀”来分析其他没有公共顶点的角的位置关系呢？能否仿照同位角的定义给其他角命名呢？生10：蚁1和蚁6由于处在截线的两侧，因此不属于同位角，但是这两个角都位于直线AB，CD的上方，因此可以把这两个角的位置关系命名为同向错角.师：很好，根据生10的解释，我们还能在图3中找出其他同向错角吗？生11：图3中的同向错角还有蚁2和蚁5，蚁4和蚁7，蚁3和蚁8.师：很好，图3中除了同向错角和同位角这两种位置关系外，还有其他位置关系吗？生12：图3中还有蚁1和蚁7以及蚁1和蚁8的位置关系不属于同位角和同向错角.蚁1和蚁7在截线EF的两边，并且蚁1和蚁7分别在直线AB和CD的外侧，所以蚁1和蚁7的位置关系可以称为异向错角或外错角.师：非常好，那么图3中还有其他外错角吗？生13：还有蚁2和蚁8.师：再观察图3，还有其他角的位置关系没有讨论吗？生14：蚁1和蚁8的位置关系与前面的都不一样，因为蚁1和蚁8都在截线EF的同一边，并且蚁1和蚁8分别在直线AB和CD的外侧，两个角这样的位置关系，我们可以称为同旁外角.蚁2和蚁7也同样是同旁外角.师：刚才我们讨论了“三线八角”中的同位角、同向错角、外错角以及同旁外角的关系，现在根据我们讨论的结果，请大家填写表1.师：请同学们根据表1的统计，观察图3中还有哪些没有公共顶点，也没有讨论过它们位置关系的一对角？生15：根据表1的统计我们发现，蚁3和蚁5，蚁3和蚁6，蚁4和蚁5，蚁4和蚁6的位置关系还没有讨论.师：下面让我们根据讨论同位角、同向错角、外错角、同旁外角的经验来 教学技巧80投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（中旬）教学技巧81