初中数学知识结构单元详解.doc

数
与
式Ⅰ

实数的计算
实数有关概念
代数式有关概念
相反数、倒数
★ 0的相反数为0，但0没有倒数
相反数和为0；倒数积为1
实数的分类
科学计数法、有效数字和近似数
有理数、无理数
正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小
实数的大小比较
数轴三要素：原点、正方向、单位长度
数轴、绝对值
★ 非负数：a≥0。非负数有|a|，，.。几个非负数（或式子）的和为0，则每一个非负数（或式子）为0.

六种基本运算
运算顺序
运算律
加、减、乘、除、乘方、开方
加法交换律：
加法结合律：
乘法交换律：
乘法结合律：
分配律：
代数式
代数式的分类
代数式的值
★ 单独一个数或一个字母也是代数式
数值代替代数式里的字母，计算所得的结果
单项式
整式
有理式 多项式
代数式 分式

无理式（初中阶段只掌握二次根式）

考点
存在的问题
分值
题型
1、正数和负数
2、有理数概念
3、有理数的加减法
4、有理数的乘除法
5、有理数的乘方

1、正负数的实际意义不清
2、绝对值相反数意义混淆
3、数轴的画法、运用
4、有理数各种概念混淆
5、有理数加法法则的加减判断的运用，和减法的关系及符号的判断
6、有理数乘法的运用和意义的理解
7、有理数的混合运算顺序先后混淆
5-10
3-5
2-10

6-10
3-5
10-12
选择题、大题
选择题
作图题、选择题
选择题、计算题
选填题、计算题
选填题
运算

数
与
式Ⅱ

分式
分式运算
约分，通分→
★ （m≠0）
定义：A、B表示两个式子，形如,B≠0
约分和通分
分式基本性质
加减：同分母 异分母
乘除、乘方：
平方根：a的平方根（a≥0） 算术平方根：a的算术平方根（a≥0）
立方根： a 的立方根（a为全体实数）
根式
二次根式的运算
二次根式的质
方根有关概念
★ ①（a≥0）②|a|=③ ④（a≥0，b＞0）

加减：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式
乘除：（a≥0，b＞0）
分母有理化：，

整式的运算
单项式、多项式统称整式
★ 整式乘除
①幂运算法则； ②乘法公式；
③单项式乘以（或除以）单项式；
④单项式乘以多项式
⑤多项式乘以多项式
⑥多项式除以单项式

加减乘除
整式的定义
★ 整式的加减实则是去（添）括号后合并同类项
①去括号法则
a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c
②添括号法则
a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)
概念 （和差化积）
方法与步骤
因式分解
一提（公因式）；二用（公式）；
三试（十字相乘）；四查（不能分解为止）
整式

★ 负数没有平方根

考点
存在问题
分值
题型
1、 整式的定义
2、 整式的加减
3、 二次根式
4、 二次根式的加减
5、 二次根式的乘除
1、 整式的有关概念混淆
2、 单项式、多项式的系数和次数判断混淆
3、 同类项、合并同类型
4、 被开方数为负数
5、 化简时，未弄清楚被开方数的符号而直接开根号而出错
6、 忽略最简二次根式的条件
3-5
3-5
10-20
3-6
3-8

4-8
选填题
计算题
计算题、选填题
选填题
选择题、计算题

计算题

方程与不等式Ⅰ
一元一次方程
标准形式：（a、b为常数，且a≠0）
解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

定义：由几个一次方程组组成，并含有两个未知数的方程组
解法：代入（消元）法；加减（消元）法
代入（消元）法；加减（消元）法
二元一次方程组
一元一次不等式(组)
一元一次不等式组的解法
一元一次不等式的解法
基本性质
★（1） 若a＞b,则ac＞bc；（2） a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞
（3） a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
★ ★两边除以一个负数（式子），不等号方向一定要改变
(1) 先求出每个不等式的解集
(2) 在数轴上找这些解集的公共部分，并写出不等式组的解集

韦达定理

方程与不等式Ⅱ

解法和步骤
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程
一元二次方程根的判别式
一元二次方程
★ 一般形式：
一看（直接开平方法）：（k≥0）
二试（因式分解法）：提公因式（）；用公式（如）；十字相乘
三用（求根公式）：，注意：＜0，方程没有实数根
四配（配方法）：二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方

一元二次方程根与系数的关系
①△＞0时，方程有两个不等实数根
②△=0时，方程有两个相等实数
③△＜0时，方程无实数根
★ ∆≥0时，方程有实数根
一元二次方程的两个根为，则，
★ 利用韦达定理求含根代数式的值的方法
（1） 通分：如倒数和
（2） 配方：如平方和
（3） 去括号：如
（4） 提公因式：如
解法步骤
分式方程
概念：分母含有未知数的有理方程
方程与不等式Ⅲ
（1）去分母：方程两边同时乘以各分母的最简公分母，化为整式方程
（2）解所得整式方程
（3）检验：把解得的整式方程根代入最简公分母，不为0是原方程根，
为0不是原方程根（是增根）

方程（组）应用题
解应用题步骤
应用题常见重要等量关系式
（1） 审题；（2）设未知数；（3）列方程（组）（找等量关系）；
（4）解方程（组）；（5）检验作答

★（1）路程=速度×时间
（2）工作量=工作时间×工作效率
（3）增长（降低）量=原量×增长（降低）率
连续增长（降低）两次后的量=原量（1增长（降低）率）
（4）利润=售价-进价
总利润=单个利润×销售量

考点
存在问题
分值
题型
1、 从算式到方程
2、解一元一次方程
3、实际问题与一元一次方程
4、一元二次方程
5、降次—解一元二次方程
6、实际问题与一元二次方程
1、字母表示数理解有障碍
2、移向和去括号符号问题
3、去分母漏乘
4、去括号变号
5、移项变号规律
6、找等量关系 根据等量关系列方程
7、根据实际问题分析问题
8、一元二次方程忽略二次项系数，a≠0
9、公式法解方程，易忽略前提条件是判别式≥0
10、解分式方程忘记对根进行检验
11、实际问题，忽略根据实际问题验根
12、利润问题易错（公式应用不灵活）
6-12
6-9
10-12
3-6
3-6
10-12

3-9
8-12
3-6
10-12
8-10
选填题
选择题
选填题、计算题
选填题、计算题
计算题
解答题

选填题
选择题、计算题
选填题
解答题
解答题
函数Ⅰ
平面直角坐标系
★ 坐标平面内的点与有序实数对是一、一对应的

特殊位置点坐标的特征
1、 坐标轴上的点特征：
x轴上的点纵坐标为0，记作（，0）
y轴上的点横坐标为0，记作（0，）
2、 与坐标轴轴平行的直线上的点特征
与x轴平行的直线上的点纵坐标相同
与y轴平行的直线上的点横坐标相同
3、 象限角平分线上的点特征
一三象限：x=y ；二四象限：x=−y
距离的表示
点平移、对称的坐标变化规律
1、点A（x,y）到两坐标轴的距离：
到x轴的距离等于
到y轴的距离等于
2、同一坐标轴上两点间的距离:
x轴上的两点间的距离等于
y轴上的两点间的距离等于

点P（x，y） 向右平移a个单位长度 点P'（x＋a，y）
点P（x，y） 向左平移a个单位长度 点P'（x－a，y）
点P（x，y） 向上平移a个单位长度 点P'（x，y＋a）
点P（x，y） 向下平移a个单位长度 点P'（x，y－a）
左右平移改变横坐标“左－右＋” , 上下平移改变纵坐标“上＋下－”
关于x轴、y轴、坐标原点对称的两点：
　 关于X轴对称的两点 横 坐标相同， 纵 坐标互为相反数
　 关于Y轴对称的两点 纵 坐标相同， 横 坐标互为相反数
　 关于原点对称的两点 横 、纵 坐标都分别互为相反数

第一象限
（ ＋ ， ＋ ）
（ －， － ）
第三象限
（ ＋， － ）
第四象限
（ －， ＋ ）
第二象限
函数有关概念
定义
自变量取值范围
函数值
待定系数法
变化过程中有两个变量 x、y，若x的每一个值，y都有唯一值和它对应，那么y是x的函数，x叫自变量
★ （1）使函数关系式有意义
①整式：全体实数；②分式（）：分母a≠0；③二次根式（）：被开方数a≥0
（2）使实际问题有意义，如时间不能为负等
自变量x每取一个值，函数唯一确定的值与之对应
先根据条件设函数关系式，然后根据条件求出待定的系数，从而求出函数关系式的方法

考点
存在问题
分值
题型
1、 平面直角坐标系
2、 坐标方法的简单运用
1、 不能准确的写出某点的坐标
2、 如何建立直角坐标
3、 不能准确找到有序数对
4、 不能准确写出某点经平移后的坐标
3-6
3-6
3-6
5-7
选择题
选填题
选择题、判断作图
解答题

名称
解析式
图像
性质
正比例函数

过原点的一条直线
当时，图像过一、三象限，↑↑
当时，图像过二、四象限，↑↓
一次函数

一条直线
当、时，图像过一、二、三象限，↑↑
★ 两点确定一条直线
一次函数与x轴交点坐标（ ）
一次函数与y轴交点坐标（0，b）
当、时，图像过一、三、四象限，↑↑
当、时，图像过一、二、四象限，↑↓
当、时，图像过二、三、四象限，↑↓
反比例函数

双曲线
当时，图像过一、三象限，分别在各支上↑↑
当时，图像过二、四象限，分别在各支上↑↓

二次函数

类型
解析式
开口方向
对称轴
增减性
顶点坐标
最值
一般式

，开口向上
，开口向下

时，对称轴右侧x↑ y↑
对称轴左侧x↑ y↓

时，对称轴右侧x↑ y↓
对称轴左侧x↑ y↑

若，时，
若，时，
顶点式

，开口向上
，开口向下

时，对称轴右侧x↑ y↑
对称轴左侧x↑ y↓

时，对称轴右侧x↑ y↓
对称轴左侧x↑ y↑

若，时，
若，时，
交点式

，开口向上
，开口向下
注：当抛物线与轴有两个交点时可用交点式

考点
存在问题
分值
题型
1、 二次函数及其图像
2、 用函数观点看一元二次方程
3、 实际问题与二次函数
1、 不能准确的认识图像，做到数形结合
2、 不能准确辨别用哪种公式求出解析式
3、 二次函数与圆、轴对称综合题
4、 实际问题中，不能准确的将已知条件和二次函数建立起来，解决问题
8-10
6-8
10-12
8-10
选填题
计算、解答题
代几综合题
代几综合题
①

②

③

④

⑤

如图⑤ 平行线的性质：1、两直线平行同位角相等（∠1=∠2）；2、两直线平行内错角相等（∠3=∠2）；3、两直线平行同旁内角互补（∠4＋∠2=180°）
（性质用于计算）

平行线的判定：1、同位角相等（∠1=∠2）两直线平行；2、内错角相等（∠3=∠2）两直线平行；3、同旁内角互补（∠4＋∠2=180°）两直线平行
（判定用于证明）
角
角度进制
1°=60′，1′=60″
对顶角
相等.如图，∠1=∠2

余角、补角及其性质
余角：∠1+∠2=90°。同角（或等角）的余角相等
补角：∠1+∠2=180°。同角（或等角）的补角相等
线
直线
两点确定一条直线
线段
两点之间线段最短
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度① ★垂线段最短

经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
垂线
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等。反之也成立
∵MN是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB 如图②
角平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等。反之也成立。
∵OC是∠AOB的平分线上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE 如图③

平行线
经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
平行线间距离：相等。如图④，a∥b，MN⊥b，MN为平行线间距离
图形的认识Ⅰ

①

②

③

④

⑤

⑥
角平分线
三条角平分线交点为内心，如图②
内心I到三边距离相等ID=IE=IF
如图①，∠A＋∠B＋∠C=180°；∠1=∠A＋∠B；a－b＜c＜a＋b
三角形的边、角关系
中线
三条中线交点为重心，如图③
重心G到对边中点距离是到顶点距离的一半,
四点共圆（M、B、C、N或A、M、K、C或A、B、K、N）
垂线
三条垂线交点为垂心，如图④
外心O到三个顶点的距离相等OA=OB=OC
三条中垂线交点为外心，如图⑤
中垂线
E、F分别为AB、AC中点 如图⑥
中位线
平行于第三边，并且等于第三边的一半 ,且
,
三角形的有关概念
三角形的分类
按角分
按边分
图形的认知Ⅱ

直角三角形
1、∠C=90°，则∠B＋∠A=90°；2、勾股定理：
性质
判定
1、∠A＋∠B=∠C=90°；2、勾股定理逆定理：
等腰三角形
性质
1、等边对等角；2、三线合一（中线、高线、角平分线）；3、轴对称图形
判定
等角对等边 ∵∠B＝∠C，∴AB＝AC

等边三角形
1、具有等腰三角形的所有性质；2、三个角都等于60°；3、三边相等
性质
1、∠A=∠B=∠C；2、有一个角是60°的等腰三角形
判定
全等三角形
性质
1、对应角相等；2、对应线段（边、中线、高线、角平分线）相等
一般三角形
SSS；SAS；ASA；AAS
直角三角形
SSS；SAS；ASA；AAS；HL
判定
三角形
★ （1）直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
图形的认知Ⅲ
图形的认知Ⅳ

角度α
30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

1

（1）三边关系：勾股定理
（2）锐角关系：∠A+∠B=90°
（3）边角关系（锐角三角函数）：
sin A= cos A= tan A=
解Rt∆
利用直角三角形已知2个条件（除直角外，至少一个为边）求其它边和角的过程
锐角三角函数
正弦：

余弦：

正切：
特殊角三角函数值
解直角三角形
特殊的四边形

名称
图形
性质
判定
边
角
对角线
对称性
平行四边形

对边平行且相等
对角相等，邻角互补
互相平分
中心对称
1、 两组对边分别平行
2、 两组对边分别相等
3、 一组对边平行且相等
4、 两组对角分别相等
5、 两条对角线相互平分
矩形

对边平行且相等
四个角都是直角
相互平分且相等
中心对称
轴对称
1、 有三个角是直角
2、 有一个角是直角的平行四边形
3、 两条对角线评分且相等
菱形

对边平行
四条边都相等
对角相等，邻角互补
相互平分且垂直
每一条对角线平分一组对角
中心对称
轴对称
1、 四条边相等
2、 一组邻边相等的平行四边形
3、 两条对角线平分且垂直
正方形

对边平行
四边都相等
邻边相互垂直
四个角都是直角
相等、相互平分且垂直
每一条对角线平分一组对角
中心对称
轴对称
1、 一组邻边相等的矩形
2、 有一个角是直角的菱形
3、 两条对角线相互平分相等且垂直
等腰梯形

两底平行
两腰相等
同一底上的两角相等
相等
轴对称
1、 同一底上两个角相等的梯形
2、 对角线相等的梯形
圆

经过不在同一直线上的三点确定一个圆
圆的有关性质
圆是轴对称图形，也是中心对称图形
圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
∵MN是⊙O的直径，MN⊥AB，
∴AC=BC，AM=BM，AN=BN

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。∠ BAC=∠BOC
②同弧（或等弧）所对的圆周角相等
③半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
圆切线（长）判定与应用
与圆的有关的位置关系

图
点与圆位置关系
d与r关系
（d表示点到圆心距离）
图
直线与圆位置关系
d与r关系
（d表示圆心到直线的距离）

点在圆内

相交

点在圆上

相切

点在圆外

相离

图
性质
判定

a为⊙O的切线，则OP⊥a
经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的其切线

AP切⊙O于A，BP切⊙O于B
PA=PB，∠APO=∠BPO

图
圆与圆位置关系
d与R、r关系
（d表示两圆圆心距）

外离

外切

相交

内切

内含

与圆有关的计算
弧长公式

圆锥表面积公式

圆锥侧面积公式

圆柱侧面积公式

扇形面积公式

圆柱表面积公式

图形与变换

轴对称：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、正n 边形

中心对称：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正n 边形（n 为偶数）
对称、平移、旋转
比例线段
等比性质
和比性质
基本性质
位似图形
若两个图形相似，且对应点的连线（或延长线）交于一点，这两个图形又叫位似图形，交点叫位似中心
判定
性质
(1)对应角相等；(2)对应边成比例；(3)对应线段（中线、高、角平分线）比等于相似比；(4)周长比等于相似比；(5)面积比等于相似比的平方
①两角对应相等；②两边对应成比例，夹角相等；③三边对应成比例
相似三角形
尺规作图
五种基本尺规作图
(1) 作一条线段等于已知线段；(2)作线段垂直平分线；(3)作角平分线；
(4)作一个角等于已知角；(5)过一点作已知直线的垂线
会作特殊三角形、四边形、外接圆、内切圆、圆的切线

视图与投影
三视图：主视图、俯视图、左视图

镶嵌
任意一正三角形、正四边形、或正六边形可以镶嵌平面（镶嵌中心角度和为360°）

平行线分线段成比例
概率与统计

总体与样本
总体：所要考察对象的全部 个体：总体中每一个考察对象
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本
样本容量：样本中个体的数目

平均数
如果有n 个数，则它们的平均数为
加权平均数：如果在n个数中，，
那么他们的平均数为
★ 通常用样本平均数估计总体平均数

众数
在一组数据中出现次数最多的数据
中位数
将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
统计图表
条形图、扇形图、折线图
频率与方差
极差= 最大值-最小值
方差：
标准差：
频数：在一个样本中，每一个数据出现的次数
频率=频数/样本容量 （★一个事件中频率的和=1）

概率
事件A出现次数/所有可能结果数（）
必然事件： =1 不可能事件： =0 不确定事件（可能事件）：0≤≤1

求概率的方法
①画树状图；②列表
★ 大量重复实验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.

知识点
考点
存在问题
分值
题型
相交线与平行线
1、 相交线
2、 平行线性质及其判定
3、 平移
1、 对图像的分析没有形成思维
2、 同位角、内错角、同旁内角混淆不清
3、 不能很好利用平行线关系，应用到证明题中
4、 对真假命题与定理的判断易出错，分不清题设和结论
5、 不能很好的理解平移定理
3-6
6-9
8-10
3-6
6-8
选填题
选填题、解答题
证明题
选填题
解答题、证明题
三角形
1、 与三角形有关的线段
2、 与三角形有关的角
3、 多边形及其内角和
4、 全等三角形
1、 三角形三边关系不能正确分析
2、 三角形高线、中线、角平分线应用与证明
3、 三角形的角度计算
4、 多边形的内角和与外角和计算
5、 全等三角形边角关系与证明
6、全等三角形的应用
3-6
8-12
3-6
8-10
10-12
6-9
选填题
作图、证明题
计算、解答题
填空题、解答题
证明题
选填题
相似三角形
1、 图形相似
2、 相似三角形
3、 位似
1、 用错相似三角形的判定方法
2、 找错对应边、错认为相似三角形的面积比等于边之比
3、 相似三角形的应用与证明
9-15
6-9
10-12
选填题
填空题
证明题
解直角三角形
1、 锐角三角形
2、 解直角三角形
1、 用三角函数计算时易忽视“在直角三角形中”
2、 三角函数与圆综合应用证明
6-9
10-12
选填题
证明题
圆
1、点、直线、圆和圆的位置关系
2、正多边形和圆
3、弧长和扇形
1、 圆的有关概念混淆不清，理解不正确
2、 垂径定理的应用
3、 不能正确添加辅助线
4、 混淆三角形的内心与外心
5、 错用扇形面积公式
6、 分不清圆锥底面的半径与侧面展开图中扇形的半径
6-9
10-12
8-10
6-9
6-9
6-9
选填题、解答题
证明题、代几综合题
证明题
选择题、证明题
选填题
选填题
平行旋转
图形的旋转、中心对称
1、 旋转角易找错
2、 与圆、二次函数综合
6-9
10-12
选填题
证明题、代几综合题
概率初步
1、 随机事件与概率
2、 用列举法求概率
1、 列表或树状图列出所有结果，易重复或漏掉
2、 缺少描述性语言
5-6

选填题
解答题
投影与视图
投影、三视图
对物体三视图的认识
3-6
选填题