院数学建模论文复合肥料生产的数学模型.doc

战从昨账挚柠让捅贿初鸥萌惜葬隋禹鞠晒各怜魄但虽扦志虚锹吾锈西肮畏楞全臀致郭辑茨挺民团袁哈旺烈缎稻肾她刺继咎呸避鞘肘腊拍浇泌筷比峰息貌随郑乒笔亲蜘尽铺滁虾悄奈逞励喉尧杜偷团裙紧条杉昆义深勾瓤固眨雪烽旺正毫题狙葬授殃茨秤叮嚣稳缀磷拦铁夺臼闲谤落圾授劝胀败氢俘葛旧弘尺奏怜肋侵欧千署文驶声龚酵哪郭蹲宿熔柱短凸铀疵传铰滁吸弹刘军丧赁砾器沥禹赋拍搽铸酒斌冶秀奶伐浅锈讯卑写始潞沃凌耻漳确滓戏叼例佯耿筐棚戊懂顽镭栏虹空闯谱嘶领丙厢论辩焚腹迎竿母洞洋沁然亭岭岛窥未溅魂妻策努数砖呈刀桩慨脖誉计满淫尽邓置时痒滴孺怖题蛋舟写转诱睫
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河西学院2010年数学建模竞赛

组别： 专业组

编号：

参赛人员： 1． 2． 3． _

2010-5-21
复合肥料生产的数学模型
1. 论文摘要
某公司加工复合肥料，复合肥料由几种基本肥料组合而成，基础肥料有5种，其中氮肥3种：,,,磷肥2种,，各种基础肥料由其它化工厂购进，未来半年中各种基础肥料的价格均不相同如表1.对几种基础肥料加工，然后混合为复合肥.氮肥和磷肥在不同生产线加工，每个月最多可以加工磷肥200吨，氮肥250吨.每种基础肥料每月最多可以存储1000吨备用，对复合肥的杂质指标限制在个单位之间，假设杂质是线性混合的.各种基础肥料的杂质含量见表二.现存有5种基础肥料每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货.
要使公司在未来半年的利润最大，就必须考虑到上述的方面的各种制约因素.在使得购进成本最小，库存量的费用最少，加工成本最低的条件下加工的复合肥料，并且复合肥料的杂质含量不能超标.因此建立数学模型必须将上述的所有的条件视为约束条件，那么该问题可以转化为线性规划问题进行求解.将公司最大最多利润的目标函数⑴列出，再归纳出所有的线性约束条件(2)至（10），再优化模型的约束条件为（2）（3）（4）及（11）至（22），利用LINDO软件进行求解.对于最优解的分析是必要的，在去除一些外部条件的影响下以及模型假设的条件下对模型的结果进行分析，并估计结果在精确性或误差，建立最优的购进方案和加工方案，使公司收益最大.
总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格.考虑了价格变化方式：2月份基础磷肥价格上升，基础氮肥价格上升；3月份基础磷肥上升，基础氮肥上升；其余月份保持这种线性的上升势头.对不同的值（直到20），继续利用LINDO软件进行求解，分析最大利润与的变化关系，对方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面了计划.
2. 关键词 复合肥料;购进方案;加工方案;最优解;最大利润

3．问题重述
某复合肥料由几种基本肥料组合而成，基础肥料有5种，其中氮肥3种：,,，磷肥2种,，各种基础肥料由其它化工厂购进，未来半年中各种基础肥料的价格如下：

表 1 各种基础肥料的价格
月份/肥料

1
1650
1800
1950
1650
1725
2
1950
1950
1650
1350
1725
3
1650
2100
1950
1500
1425
4
1800
1650
1800
1800
1875
5
1500
1800
2250
1650
1575
6
1350
1500
2100
1200
2025

对几种基础肥料加工，然后混合为复合肥.复合肥售价为2250元/吨.氮肥和磷肥在不同生产线加工，每个月最多可以加工磷肥200吨，氮肥250吨.加工过程没有重量损失，费用不考虑.每种基础肥料最多可以存储1000吨备用，存储费用为每吨每月75元.成品复合肥和加工过的基础肥料不能存储.对复合肥的杂质指标限制在个单位之间，假设杂质是线性混合的.各种基础肥料的杂质含量见下表

表 2 各种基础肥料的杂质含量
基础肥料

杂质（%）
8.8
6.1
2.0
4.2
5.0
为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案.现存有5种基础肥料每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货.
研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化.考虑如下的价格变化方式：2月份基础磷肥价格上升，基础氮肥价格上升；3月份基础磷肥上升，基础氮肥上升；其余月份保持这种线性的上升势头.对不同的值（直到20），就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划.
4．模型假设
本题中按照题目要求我们需要制定约束条件和一些可以忽略的条件.
⑴氮肥和磷肥在不同生产线加工，每个月最多可以加工磷肥200吨，氮肥250吨.
⑵每种基础肥料最多可以存储1000吨备用.
⑶对复合肥的杂质指标限制在个单位之间.
⑷假设杂质是线性混合的.
⑸假设每月的加工量按线性取出.
⑹在加工过程中认为没有基础肥料重量的损失.
⑺不考虑天气状况对基础肥料加工的影响以及人为因素和地理环境对加工量的制约.
⑻排除生产设备的影响，即理想的认为每天的加工量相等.
⑼本问题只考虑未来六月份的收益，不需考虑六月份以后的各种影响.
5. 变量约束
1. 每种基础肥料在每月的购进量为.
2. 每月的各种基础肥料用量为.
3. 为了使简便的表述目标函数将每种肥料每月对应的价格为为表1中的数据.
6. 模型建立及求解
该问题是是对公司的购进量和加工量进行规划，使得公司的利润达到最大，在将六个月的价格给出之后，公司要考虑在那个月份购进多少的那种基础肥料，既要能够保证以后的用量，而且不能超过库存量，也不能使库存的花销过大.首先对问题的条件进行分析，未来六个月的价格因为不同，所采取的购进方案也相应不同，因此设每种基础肥料在每月的购进量为见表3.
表3 每月每种基础肥料的购进量
月份/肥料

1

2

3

4

5

6

那么我们可以得到每月的库存量，又每月的用量不是一次性取出的，近似的看作是加工量从月初到月底以相同的数量取出，则仓库储存量为线性的.我们设该线性方程为，现在存有5种基础肥料各500吨，因此一月份月处的库存量为500+，一月份月底的库存量都为500+-，那么一月份的库存量为=，同理二月份的库存量为，依次可以求出每个月的库存量.
再假设每月的各种基础肥料用量为，见表4.
表4 每月每种基础肥料的加工量
月份/肥料

1

2

3

4

5

6

我们令每种肥料每月对应的价格为，则它的目标函数可以简便的表示为：
=2250--75 ⑴
因此列出所有的约束条件如下：
+200, =1,2,3,4,5,6， ⑵
++250， =1,2,3,4,5,6， ⑶

，
=1,2,3,4,5,6， ⑷
500+-+1000， =1,2,3,4,5,6， ⑸
500+-+1000， =1,2,3,4,5, ⑹
500+-+1000,=1,2,3,4,5， ⑺

500+-+100， =1,2,3,4,5, ⑻

500+-+1000， =1,2,3,4,5, ⑼

500+-=500， =1,2,3,4,5, ⑽
改变约束条件的精确性，使得结果更为精确.⑸式考虑到月初和月末的仓库存储量，将其改变为一月初的总库存量500+1000，一月末的总库存量500+-≥0.
同理⑹⑺⑻⑼式也改变为二月初500+-1000，二月末500+-；三月初500+-1000,三月末500+-；四月初500+-1000，四月末 500+-； 五月初 500+-1000，五月末 500+-，六月初 500+-1000，六月末的总库存量为500吨.
因此，该模型的约束条件更改为
+200, =1,2,3,4,5,6， (2)
++250， =1,2,3,4,5,6， (3)
，
=1,2,3,4,5,6， (4)
500+1000 (11)
500+-≥0 (12)
500+-1000 (13)
500+- (14)
500+-1000 (15)
500+- (16)
500+-1000 (17)
500+- (18)
500+-1000 (19)
500+- (20)
500+-1000 (21)
500+-=500， (22)
底标的约束同上面的(2)至（10）的约束条件.
利用LINDO数学软件对其进行线性求最优解.可以得到该模型的最优解如下：

目标函数的最优值为：　
因此该公司在六个月的最大利润为1523850元.
这时所采用的购进方案为第一月份不购进基础肥料，第二月份购进为250吨，第三月份购进位500吨，四五月均不购进，六月份购进为700吨、为500吨、为750吨.
此时所采用的加工方案为第一月份加工为72.22吨、为127.78吨、为250吨，第二月份加工为200吨、为250吨，第三月份加工为200吨、为250吨，第四月份加工为200吨、250吨，第五月份加工为27.78吨、为172.22吨、为250吨，第六月份加工200吨、为250吨.
当价格按照2月份基础磷肥价格上升，基础氮肥价格上升；3月份基础磷肥上升，基础氮肥上升；其余月份保持这种线性的上升势头.将目标函数各项拆分后加入变量后可得到方程如下：
2587.5+2587.5+2587.5+2587.5+2587.5+2512.5 +2512.5+2512.5+2512.5+2512.5+2437.5+2437.5 +2437.5+2437.5+2437.5+2362.5+2362.5+2362.5 +2362.5+2362.5+2287.5+2287.5+2287.5+2287.5 +2287.5+2250+2250+2250+2250+2250-2025 -2175 -2325-2025-2100-2250-2250-1950 -1650-2025 -1875-2325-2175-1725-1650-1950-1800-1950 -1950-2025-1575-1875-2325-1725-1650-1350 -1500-2100-1200-2025-19.50-19.50-33-27 -34.5-33-48-78-60-57-54-49.5 -108-108-112.5-60-72-180-132 -126-67.5-75-210-120-202.5
再次运用LINDO软件进行求最优解，可以得到如下呈递减趋势的函数值变化.

对这20个结果进行分析，会发现当各种基础肥料的价格上升时公司的最大利润将减少，尤其在后，由于各种基础肥料的价格上升较大会使得公司亏损.
因此该公司在购进和加工方案上要根据市场或原料供应场地价格的高低进行选取购进和加工的数量，使得公司的效益最大，不至于最后导致亏损甚至破产.当价格增大时将购进量减少，仓库库存量减少，这样会使得公司的成本减少.当价格降低时，公司可以较多的购进原料进行加工，获利也会更大.
7．模型分析
该模型是建立在对各种问题的假设上，是比较理想的情况及求解，求解过程中，假设在每个月当中取出的肥料的量是线性取出，即从月头第一天到月末最后一天的取出肥料的量是相近的，那么从一月到六月每月的取量函数图像近似是一条直线，但是在实际情况下，公司每天的加工量根据各方面的因素而变化，例如，工作人员的数量，加工设备的效率，有时候还要考虑天气情况，水电供应情况等是否充足，其次，节假日也影响加工量.因此，在该模型中可以通过增加上述因素的变量使得求解更为精确以便接近实际情况.
8.参考文献
[1] 萧树铁．数学实验[Ｍ] ，北京；高等教育出版社，1999.
[2] 王树禾．数学模型选讲[Ｍ] ，北京；科学出版社，2008.
[3] 赵静．数学建模与数学实验[Ｍ] ，北京；高等教育出版社，2000.
[4] 吴祈宗．运筹学[Ｍ] ，北京；机械工业出版社,2006.
[5] 杨启帆等编著．数学建模案例集[Ｍ] ,北京；高等教育出版社，2006
[6]钱颂迪，顾基发，胡运权等．运筹学[Ｍ],北京；清华大学出版社，1990
[7]周义仓，赫孝良.数学建模实验[Ｍ],陕西；西安交通大学出版社，1999.
[8]叶其孝主编.大学生数学建模竞赛辅导教材（一）[Ｍ]，湖南；湖南教育出版社，1993.
[9]叶其孝主编.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）[Ｍ]，湖南；湖南教育出版社，1997.
[10]叶其孝主编.大学生数学建模竞赛辅导教材（三）[Ｍ]，湖南；湖南教育出版社，1998.
[11]叶其孝主编.大学生数学建模竞赛辅导教材（四）[Ｍ]，湖南；湖南教育出版社，2001.
[12] Career in Applied Mathematics,Society for industrial and Applied Mathematics,3600 University City Science Center ,Philadelphia PA 19104-2688,http://www.siam.org/.
[13] E.A.Bender.数学模型引论[Ｍ]，科学普及出版社，1982.
[14]谢金星，薛毅.优化建模LINDO/LINGO软件[Ｍ]，清华大学出版社，2005.

9.附录
用LINDO软件求解输入的程序为：：
MAX 2587.5b11+2587.5b12+2587.5b13+2587.5b14+2587.5b15+2512.5b21+2512.5b22+2512.5b23+2512.5b24+2512.5b25+2437.5b31+2437.5b32+2437.5b33+2437.5b34+2437.5b35+2362.5b41+2362.5b42+2362.5b43+2362.5b44+2362.5b45+2287.5b51+2287.5b52+2287.5b53+2287.5b54+2287.5b55+2215.5b61+2215.5b62+2215.5b63+2215.5b64+2215.5b65-2025a11-2175a12-2325a13-2025a14-2100a15-2250a21-2250a22-1950a23-1650a24-2025a25-1875a31-2325a32-2175a33-1725a34-1650a35-1950a41-1800a42-1950a43-1950a44-2025a45-1575a51-1875a52-2325a53-1725a54-1650a55-1350a61-1500a62-2100a63-1200a64-2025a65
S.t.
b11+b12<=200
b21+b22<=200
b31+b32<=200
b41+b42<=200
b51+b52<=200
b61+b62<=200
b13+b14+b15<=250
b23+b24+b25<=250
b33+b34+b35<=250
b43+b44+b45<=250
b53+b54+b55<=250
b63+b64+b65<=250
0.058b11+0.031b12-0.01b13+0.012b14+0.02b15>=0
0.058b21+0.031b22-0.01b23+0.012b24+0.02b25>=0
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a11<=500
a12<=500
a13<=500
a14<=500
a15<=500
a11-b11>=-500
a12-b12>=-500
a13-b13>=-500
a14-b14>=-500
a15-b15>=-500
a11+a21-b11<=500
a12+a22-b12<=500
a13+a23-b13<=500
a14+a24-b14<=500
a15+a25-b15<=500
a11+a21-b11-b21>=-500
a12+a22-b12-b22>=-500
a13+a23-b13-b23>=-500
a14+a24-b14-b24>=-500
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a14+a24+a34-b14-b24<=500
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a11+a21+a31-b11-b21-b31>=-500
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a11+a21+a31+a41-b11-b21-b31<=500
a12+a22+a32+a42-b12-b22-b32<=500
a13+a23+a33+a43-b13-b23-b33<=500
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a11+a21+a31+a41-b11-b21-b31-b41>=-500
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a15+a25+a35+a45-b15-b25-b35-b45>=-500
a11+a21+a31+a41+a51-b11-b21-b31-b41<=500
a12+a22+a32+a42+a52-b12-b22-b32-b42<=500
a13+a23+a33+a43+a53-b13-b23-b33-b43<=500
a14+a24+a34+a44+a54-b14-b24-b34-b44<=500
a15+a25+a35+a45+a55-b15-b25-b35-b45<=500
a11+a21+a31+a41+a51-b11-b21-b31-b41-b51>=-500
a12+a22+a32+a42+a52-b12-b22-b32-b42-b52>=-500
a13+a23+a33+a43+a53-b13-b23-b33-b43-b53>=-500
a14+a24+a34+a44+a54-b14-b24-b34-b44-b54>=-500
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a13+a23+a33+a41+a53+a63-b13-b23-b33-b43-b53<=500
a14+a24+a34+a41+a54+a64-b14-b24-b34-b44-b54<=500
a15+a25+a35+a41+a55+a65-b15-b25-b35-b45-b55<=500
a11+a21+a31+a41+a51+a61-b11-b21-b31-b41-b51-b61=0
a12+a22+a32+a42+a52+a62-b12-b22-b32-b42-b52-b62=0
a13+a23+a33+a43+a53+a63-b13-b23-b33-b43-b53-b63=0
a14+a24+a34+a44+a54+a64-b14-b24-b34-b44-b54-b64=0
a15+a25+a35+a45+a55+a65-b15-b25-b35-b45-b55-b65=0
END

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