用MATLAB解决商品的成本与利润问题.doc

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用MATLAB解决商品的成本与
利润问题

姓名：朱远垚
学号：1060211014048
专业：2011级数学与应用数学
班级: 数学11班
指导老师：廖方茵
学院：数学与计算机科学学院

用MATLAB解决商品的成本与利润问题

摘要

MATLAB软件是目前比较流行的一套商业数学软件，在数理经济学，商品经济效益的优化及定性定量分析上发挥着重要的作用。在商品市场上，减少成本，增加利润是企业家们最关心的问题，但这其中牵扯了许多复杂的经济理论与数理经济问题，若将这些经济模式转化为数学模型，并利用MATLAB高质量的数值计算与强大的绘图功能进行分析，那么企业便可容易并清楚的了解商业动态，并实现经济效益的优化。

关键字:MATLAB语言 数学建模 成本 利润 物价指数

一、 引言
众所周知，经济问题与生活密不可分，对于生意人来说，追求商品利润是最终目的。但在变化莫测的经济市场中，怎样才能将经济理论模型与应用数学模型结合并解决复杂的数学计算呢？将经济转化为数学模型并用MATLAB语言的计算与绘图功能解决并预测市场动态是本论文的难点。
二、问题的解决
1、商品调价率的临界值
在社会主义市场经济条件下，企业把商品推向市场，并根据市场的变化，适当地调价（降价与偶提价）销售，常常可以增加销售收入或销售利润。但这并非说，盲目随意地调价销售都能达到目的。根据经济学弹性分析理论，对于高弹性需求的商品（需求价格弹性大于1），由于需求量的变化率大于价格的变化率，所以价格销售所引起的的需求量（销售量）增加而增加的收入（或利润），将大于降价本身所减少的收入（或利润），两者相抵，总收入（或总利润）仍可增加，故可降价销售。对于低弹性需求的商品（需求价格弹性小于1），由于需求量的变化率小于价格的变化率，所以提价销售所引起的需求量（销售量）减少而减少的收入（或利润），将小于提价本身增加的收入（或利润），两者相抵，总收入（或总利润）仍可增加，故可提升价格销售。
但对于上述结论的条件（级高弹性或低弹性需求的商品），在经济学弹性分析理论[1]中，一般都笼统地看做是必要条件和充分条件。实际上。他们只是必要条件，而不是充分条件。试看下面的例子：
问题一：某企业销售某商品，当价格为每件2元是，可销售20000件，销售收入为40000元。若该商品的需求价格弹性为1.6（数高弹性需求商品），且商品供应没有问题，现降价40%销售，则降价后的销售收入=降价后的价格×降价后销售量。
MABLAT命令如下：
z1=(2*(1-0.4))*(20000*(1+1.6*0.4)) %销售收入
z2=(2*(1-0.3))*(20000*(1+1.6*0.3)) %销售收入
z3=z1-z2 %销售收入差
结果如下：
z1 =
39360
z2 =
41440
z3 =
-2080
由此可知，比降价前减少640元。这说明，该商品虽为高弹性需求商品。但降价销售的结果，不但没有增加收入，反而减少了。但若降价30%销售。则降价后的收入为41440元，比降价前的增加1440元。由此可见，对于高弹性需求的商品，降价销售后能否增加销售收入，取决于降价的幅度。
问题二：某商场对顾客所购买的商品实行打折销售，标准如下（商品价格用price来表示）：
price<200 没有折扣
200≤price<500 3％折扣
500 ≤ price<1000 5％折扣
1000≤price<2500 8％折扣
2500≤ price<5000 10％折扣
5000≤ price 14％折扣
输入所售是商品的价格，求其实际销售价格。
MATLAB程序如下：
price=input('请输入商品的价格');
switch fix(price/100) %用价格以100
case{0,1} %价格小于200
rate=0; %不打折
case{2,3,4} %价格大于等于200小于等于500
rate=3/100; % 3%的折扣
casenum2cell(5:9) %价格大于等于200小于1000
rate=5/100; % 5%的折扣
casenum2cell(10:24) %价格大于等于1000小于2500
rate=8/100; % 8%的折扣
casenum2cell(25:49) %价格大于等于2500小于5000
rate=10/100; % 10%的折扣
otherwise %价格大于5000
rate=14/100; % 14%的折扣
end %结束
rice=price*(1-rate) %输出商品实际销售价格
请输入商品的价格2000
rice =
1720
从计算上来看，商家适当的进行商品的打折销售可促进商品的卖出，商家抓住了消费者喜欢买打折商品的心理，适时地对商品进行打折销售处理，有利于在商品的数量上卖出更多，从而获得更大的利润。另一方面，从上面的运用MATLAB语言来计算可看出，该语言的简单明了和方便快捷，利用此语言可更加方便简洁的将复杂的数学模型利用MATLAB语言快速的简化并解决问题，以便来解决实际问题。
2 、商品利润与上市时间的关系
众所周知，商品的上市时间的上市时间与商品的利润呈正比，上市时间越早，卖出的数量越多，获得的相应的利润就越大。下面就来研究一下商品利润与上市时间的关系。
问题三：某电子科技商品从2011年8月6日开始上市，通过市场调查，得到此电子科技商品的生产成本Q（单位为：元/个）与上市时间（单位为：天）的数据如下表所示：
表一：商品成本与上市时间的关系
时间/t
50
110
250
生产成本/Q
150
108
150

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述此电子科技商品的生产成本Q与上市时间t的变化关系：
(1)
（2）利用你选取的函数，求电子科技商品的生产成本最低时的上市天数及最低成本（最大利润）[2]。
解： 由提供的数据可以知道，此电子科技商品生产成本Q与上市时间的关化变化的函数不可能是常函数，从而用公式第一，三，四中的任意一个进行描述时都应有a不等于0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数进行描述最合适不过。
由表格所提供的三组数据分别代入得到：
150=2500a+50b+c
108=12100a+110b+c
150=62500+250b+c (2)
用MATLAB语言直接法求解上述线性方程组:
命令如下：
A=[2500,50,1;12100,110,1;62500,250,1]; %将方程中的系数提出并写成A为M*N的形式 b=[150,108,150]'; %将方程左端的系数提出写成b为N*1的列向量 x=A/b % 获得系数矩阵A相同的M个线性方程组数值的解x
结果如下：
x =
0.0050
-1.5000
212.5000
或者用LU分解求上述线性方程组：
MATLAB命令如下：
A=[2500,50,1;12100,110,1;62500,250,1]; %将方程中的系数提出并写成A为M*N的形式 b=[150,108,150]'; %将方程左端的系数提出写成b为N*1的列向量 [L,U]=lu(A); %对矩阵进行LU 分解 x=U\(L\b) % 获得系数矩阵A相同的M个线性方程组数值的解x
结果如下：
x =
0.0050
-1.5000
212.5000
因此，解得上述方程组： 所以，描述该电子科技商品的生产成本与上市时间的变化关系的函数为： 。用MATLAB语言绘出该电子科技商品的生产成本与上市时间的关系曲线图。
MATLAB命令如下： t=0:1:250; %将天数分为250天 Q=(1/200)*t.^2-1.5*t+225/2; %写出表达式 plot(t,Q) %会出图像
结果如图一：

图一：商品的生产成本与上市时间的关系图。
由上图可知：当t=150天的时候，成本Q最低为100元/个。
由此可以看出：利用MATLAB的求解线性微分方程组以及二元一次方程组及其强大的绘图功能可轻易地解决该电子科技产品在商品市场中的成本与利润的关系。该电子科技产品在上市150天的时候，它的生产成本最低，即代电子科技商品的商家所获得的利润最大。另外，从这个问题可以看出，MATLAB语言的简便性。
问题四：某商品在近30天内每件的销售价格p（元）和时间（t）的函数关系为：
p=t+20 (0<t<25)
p=-t+100 (25≤t≤30) (3)
设某商品的日销售量Q（件）与是将t的关系为：Q=40-t (0<t<30),求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额的最大值是第几天。
日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日销售量及销售价格（每件）均为t的一次函数，从而日销售金额为t的二次函数，则该问题为二次函数模型。
设：日销售金额为y（元），则y＝PQ. 所以： (4)
（1）当0<t<25且t∈N时，，绘制出该函数的图像：
MATLAB命令如下：
t=0:1:25; %取时间为25天
y=-(t-10).^2+900 %写出表达式
plot(t,y) %绘出图像
结果如图二：

图二：0<t<25时的销售曲线图
所以，当t=10时，最大销售金额为900元。
（2）当25<t<30且t∈N时，,绘出此函数的图像，
MATLAB命令如下：
t=25:0.5:30; %取时间为25--30天
y=-(t-70).^2-900 %写出表达式 plot(t,y) %绘出图像
结果如图三：

图三：25<t<30时的销售曲线图
所以，当t=25时，最大销售金额为1125元。综合（1）（2）得到最大销售金额为1125元。因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大[3]。
三、 结论
从以上利用MATLAB语言[4]对3种经济学中关于成本与利润的模型的分析后，我们不难的看出，MATLAB语言给经济学在统计与计算上带来的简便与实用。具体如下：
1.switch.......case语句可解决商品调价率问题，
2.利用plot函数绘制饼图可直观的分析商品的出售率以及直观的看出商品的最大收益值，解决经济优化问题。
3.利用residue函数可解决拉氏变换问题并用来衡量物价指数，MATLAB语言可简单地解决商品中的有关线性方程组的有关问题。
MATLAB的出现给经济优化和数理经济分析[5]中一些理论的掌握提供了很大的方便，利用其先进的计算机软件环境，可将数理经济理论中的很多定理直观化、可视化，可有效的解决商品经济中复杂的数学问题，并通过数值计算、图形绘制后清晰明了的预测市场经济动态，通过调整商品的成本，获得更大的利润价值，为企业家提供更大的商业利益。

参考文献
[1] 刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2] 张金永.数理经济学(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2008. [3]林光.简明经济统计学(第二版）[M]北京：北京大学出版社，2002.
[4]龚纯.MATLAB语言常用算法程序集(第一版)[M].北京:北京大学出版社，2005. [5]张先治.经济效益研究（第一版）[F]大连：东北财金大学出版社，1996.

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