资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，．如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有满足等式：．设，则满足的等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D在半径OA上，点F在半径OB上，点E在弧AB上，则扇形与正方形的面积比是（ ）
A．π：8 B．5π：8 C．π：4 D．π：4
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．9
6．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．下列事件中，是随机事件的是（）
A．明天太阳从东方升起 B．任意画一个三角形，其内角和为360°
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯 D．通常加热到100℃时，水沸腾
9．正六边形的周长为12，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，若点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_____个．
12．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为_____．
15．计算：﹣(﹣π)0+()﹣1＝_____．
16．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．
17．如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为___________.
18．在相同时刻，物高与影长成正比．在某一晴天的某一时刻，某同学测得他自己的影长是2.4m，学校旗杆的影长为13.5m，已知该同学的身高是1.6m，则学校旗杆的高度是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
20．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，求CD的长
21．（6分）已知，二次函数（m，n为常数且m≠0）
（1）若n＝0，请判断该函数的图像与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若点A（n＋5，n）在该函数图像上，试探索m，n满足的条件；
（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图像上，且p＜q＜r，求m的取值范围.
22．（8分）在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值.
（1）方程x2-8x+3=0的中点值是________；
（2）已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.
23．（8分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（1）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，在网格中画出旋转后的△A1B1C1．
24．（8分）如图，港口位于港口的南偏西方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正东方向处，它沿正北方向航行到达处，侧得灯塔在北偏西方向上.求此时海轮距离港口有多远？
25．（10分）如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．
26．（10分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2.
（1）求反比例函数的表达；
（2）若射线上有点，，过点作与轴垂直，垂足为点，交反比例函数图象于点，连接，，请求出的面积.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），
∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是.
故选A.
2、C
【解析】试题分析：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；和不是同类项，不能合并，B错误；，C正确；，D错误，故选C．
考点：合并同类项．
3、D
【解析】根据中点坐标公式求得点的坐标，然后代入满足的等式进行求解即可.
【详解】∵点，点，点为弦的中点，
∴，，
∴，
又满足等式：，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．
4、B
【分析】连接OE，设正方形的边长为a．根据等腰直角三角形的性质，得OC=CF=a，在直角三角形OFC中，根据勾股定理列方程，用a表示出r的值，再根据扇形及正方形的面积公式求解．
【详解】解：连接OE，设正方形的边长为a，则正方形CDEF的面积是a2，
在Rt△OCF中，a2+（2a）2=r2，即r=a，
扇形与正方形的面积比=：a2=：a2=5π：1．
故选B．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
5、D
【分析】根据负整数指数幂的计算方法：，为正整数），求出的结果是多少即可．
【详解】解：，
计算的结果是1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂：，为正整数），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（2）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
6、C
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【详解】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7、B
【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
8、C
【分析】根据事件发生的可能性判断，一定条件下，一定发生的事件称为必然事件，一定不发生的事件为不可能事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件.
【详解】解：A选项是明天太阳从东方升起必然事件，不符合题意；
因为三角形的内角和为，B选项三角形内角和是360°是不可能事件，不符合题意；
C选项遇到红灯是可能发生的，是随机事件，符合题意；
D选项通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，不符合题意.
故选：C
【点睛】
本题考查了事件的可能性，熟练掌握必然事件、不可能事件、可能事件的概念是解题的关键.
9、D
【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为12，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为12，
∴BC=12÷6=2，
∴OB=BC=2，∴BM=BC=1，
∴OM==，
∴S△OBC=×BC×OM=×2×=，
∴该六边形的面积为：×6=6．
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10、C
【解析】设PN=a，PM=b，则ab=6，∵P点在第二象限，∴P（-a，b），代入y=中，得k=-ab=-6，故选C．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、8
【解析】试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.
考点：概率.
12、.
【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
∴AC：AE=BC：DE
∴DE=
∴
考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.
13、
【解析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°
∴AO=AB=1，由勾股定理得，
又∵AC=2，BD=2，
∴调影部分的面积为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.
14、（﹣1，1）
【分析】观察图象可知，点B1旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【详解】解：观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，
∵2018÷8＝252余数为2，
∴点B2019的坐标与B3（﹣1，1）相同，
∴点B2019的坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
15、1
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：﹣（﹣π）0+（）﹣1
＝2﹣1+2
＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是实数的混合运算，掌握立方根的定义、零指数幂的性质和负指数幂的性质是解决此题的关键．
16、（﹣2，3）．
【解析】根据坐标轴的对称性即可写出.
【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】
此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.
17、
【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．
【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，
∴∠DEA′=45°，
∴A′D=A′E，
∵在正方形ABCD中，AD=1，
∴AB=A′B=1，
∴BD=，
∴A′D=，
∴在Rt△DA′E中，DE=．
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．
18、9米
【分析】由题意根据物高与影长成比例即旗杆的高度：13.5＝1.6：2.4，进行分析即可得出学校旗杆的高度．
【详解】解：∵物高与影长成比例，
∴旗杆的高度：13.5＝1.6：2.4，
∴旗杆的高度＝＝9米．
故答案为：9米．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程并通过解方程求出旗杆的高度．
三、解答题(共66分)
19、（1）BD＝DC；（2）1；（3）详见解析.
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，可得，则BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可计算出∠ABC=71°，故∠DEC=71°，再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°，则△AOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得＝，由于＝＝，则＝，根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线．
【详解】（1）BD＝DC．理由如下：
如图1，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝71°，
∴∠DEC＝71°，
∴∠EDC＝180°﹣71°﹣71°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝71°﹣30°＝41°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝41°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝1．
∴AP＝AO＝1；
（3）设OP交AC于点G，如图1，
则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了圆的综合题；掌握切线的性质，运用切线的判定定理证明圆的切线；运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解决圆中角度与线段的计算；同时记住等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系是关键．
20、CD=1
【分析】利用相似三角形的判定和性质，先求出△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，即可求出CD的值．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠ACD +∠A=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD +∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD ，
∴△ADC ∽△CDB，
∴，
∴= AD •BD=82=16，
∴ CD=1．
【点睛】
此题运用了相似三角形的判定和性质，两个角对应相等，则两三角形相似．
21、 (1) 函数图像与轴有两个交点； (2) 或； (3) 且m≠0
【分析】（1）先确定△=b2-4ac>0，可得函数图象与轴有两个交点；（2）将点A代入中即可得m，n应满足的关系；（3）根据二次函数的增减性进行分类讨论.
【详解】解： (1)当时，原函数为
该函数图像与轴有两个交点
(2)将代入原函数得：
或
(3) 对称轴
①当2，3，4在对称轴的同一侧时，且m≠0
且m≠0
②当2，3，4在对称轴两侧时，
综上：且m≠0
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征，利用图象特征与字母系数的关系，观察图象即数形结合是解答此题的关键.
22、 (1)4；(2)48.
【分析】(1)根据中点值的定义进行求解即可；
(2)根据中点值的定义可求得m的值，再将方程的根代入方程可求得n的值，由此即可求得答案.
【详解】(1)，
x2-2×4x+3=0，
42-3=13>0，
所以中点值为4，
故答案为4；
(2)由中点值的定义得：，，
，
将代入方程，得：，，
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，新定义，弄懂新定义是解题的关键.
23、 (1)见解析;(1)见解析.
【分析】图形见详解.
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（1）如图，△A1B1C1为所作．
【点睛】
本题考查了图形的平移和旋转,属于简单题,熟悉旋转和平移的概念是解题关键.
24、海轮距离港口的距离为
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，设CF=x，根据正切的定义用x表示出AF，根据等腰直角三角形的性质用x表示出EF，根据三角形中位线定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解:如图，过点作于点 ．
设，表示出
利用，求出
列方程：
求出
求出
答：海轮距离港口的距离为．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25、（1）答案见解析；（2）45°．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26、（1）y=(x>0)；（2）△OAB的面积为2.
【分析】（1）将A点的横坐标代入正比例函数，可求出A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数求出k，即可得解析式；
（2）过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，根据平行线分线段成比例得，进而求出M点坐标，将M点的横坐标分别代入反比例函数和正比例函数，求出B、P的坐标，再利用三角形面积公式求出△POM、△BOM的面积，作差得到△BOP的面积，最后根据S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2即可求解．
【详解】解：（1）A点在正比例函数y=x的图象上，当x=2时，y=3，
∴点A的坐标为(2,3)
将(2,3)代入反比例函数解析式y= (x>0)，得，解得k=1．
∴反比例函数的表达式为y=(x>0)
（2）如图，过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，
∴.
∵PA=2OA，
∴MN=2ON=4，
∴OM=ON+MN=2+4=1
∴M点的坐标为(1,0)
将x=1代入y=，得y==1，
∴点B的坐标为(1,1)
将x=1代入y=x，得y==9，
∴点P的坐标为(1,9)．
∴S△POM=×1×9=27，S△BOM=×1×1=3
∴S△BOP=27-3=24
又∵S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2
∴S△OAB=×24=2
答：△OAB的面积为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，以及平行线分线段成比例，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用点的坐标求三角形面积是解题的关键．
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